МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Книга в доступной и занимательной форме знакомит с «неформальной» физикой, которая связана с окружающим миром. Обсуждаются такие вопросы, как оценки физических величин, методы размерностей и подобия, приближенные методы, «качественные» теории, использование математического анализа, интернета и др. Книга вводит школьника (с 9-го по 11-й класс) в «творческую лабораторию» физика-исследователя. По каждой теме имеется подборка задач. Представлены задачи исследовательского характера, которые могут быть использованы в рамках школьной научной лаборатории. Отдельная часть книги вводит в основные понятия нелинейной динамики - науки продолжающей бурно развиваться в настоящее время.

Книга выдающегося шведского математика Г. Крамера «Математические методы статистики» – классическое руководство по этой дисциплине. Впервые на русском языке она была издана в 1948 г. и сыграла большую роль в развитии теоретических работ по математической статистике, а также в повышении уровня прикладных работ. Собственно математической статистике посвящена третья (последняя) часть книги, а ее вторая часть до сих пор является одним из лучших учебных пособий по теории вероятностей.

Имя выдающегося математика К. Геделя широко известно не только математикам прежде всего благодаря его знаменитой «теореме о неполноте». Биография Геделя, написанная известным логиком Крайзелем, содержит не только достаточно доступное изложение результатов Геделя в математической логике, но и раскрывает их философские истоки и смысл. Эта книга — единственная опубликованная на русском языке биография одного из самых знаменитых ученых двадцатого века.

Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются не только в математике, но и во многих областях физики, химии и биологии. Предлагаемая монография знакомит читателя с методами решения этих уравнений в явном виде. Первостепенная цель - научить читателя оценивать свои шансы на успех, не имея никаких априорных представлений о решении. Для этого используется так называемый тест Пенлеве - мощный алгоритм, подробно рассматриваемый в книге. Если нелинейное дифференциальное уравнение проходит тест Пенлеве, то оно считается интегрируемым. Если же уравнение не проходит тест Пенлеве, то система является неинтегрируемой или даже хаотической. В этом случае, однако, по-прежнему можно найти ее решения. Описанные методы иллюстрируются, главным образом, примерами из физики. К ним относятся: нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Кортевега-де Фриза, гамильтонианы Эно-Эйлеса. Все они являются интегрируемыми. К неинтегрируемым же примерам относятся: комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, уравнение Курамото-Сивашинского, реакционно-диффузионная модель Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП), модель атмосферной циркуляции Лоренца и космологическая модель IX по Бьянки.

В книге развиваются идеи Гиббса и Пуанкаре о тепловом равновесии механических систем. Хотя идеи Гиббса широко известны, многие из поставленных им проблем не решены до сих пор. Наоборот, глубокие результаты Пуанкаре по кинетике оказались невостребованными и вообще неизвестными специалистам по статистической механике. Рассматриваемый в настоящей книге круг вопросов группируется вокруг трех связанных друг с другом тем: слабая сходимость вероятностных мер (плотности которых - решения уравнения Лиувилля), иерархия хаотичности динамических систем Гамильтона, теория возмущений ансамбля слабо взаимодействующих подсистем. Полученные результаты позволяют лучше понять природу необратимого поведения термодинамических систем, дать новую интерпретацию второго начала термодинамики о росте энтропии, а также дать строгий вывод канонического распределения Гиббса, не опирающийся на эргодическую гипотезу. Текст книги структурирован в виде очерков: четыре главы в значительной степени независимы друг от друга. К каждой из глав имеется комментарий и библиография. Добавления посвящены свойствам инвариантных мер с гладкой плотностью, условиям существования дополнительных законов сохранения - первых интегралов уравнений Гамильтона, а также явлению диффузии в нелинейных динамических системах.

Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем по существу сводится к задачам многомерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона — Якоби отвечает случаю потенциальных течений. Рассказано о некоторых приложениях такого подхода, в частности, о вихревом методе точного интегрирования дифференциальных уравнений динамики.

Небольшая книга знаменитого немецкого математика Ф. Клейна посвящена некоторым математическим аспектам теории движения волчка, связанных с введением кватернионов (т. н. параметров Кэли – Клейна) и явному интегрированию с их помощью уравнений движения в случаях Эйлера и Лагранжа. Излагаются основы теории эллиптических и автоморфных функций.

В книге излагаются в очень доступной и увлекательной форме применения некоторых идей теории вероятностей в других областях математики. Основная часть книги посвящена понятию статистической независимости. Автору удалось показать, как это понятие возникает в разных видах в различных математических дисциплинах.

В книге дается сжатое введение в теорию квантовых групп, косовых категорий и квантовых инвариантов узлов и трехмерных многообразий. Особое внимание уделяется недавно открытым глубоким взаимосвязям между этими областями.

Книга основана на лекциях, прочитанных фон Карманом после симпозиума в Институте гидродинамики и прикладной математики Мэрилендского университета. В ней содержится ценная информация по широкому кругу вопросов, включая аэротермодинамику, аэротермохимию, динамику разреженных газов и магнитную газовую динамику.

Книга представляет собой обзор основных достижений гидро- и аэромеханики, написанный крупнейшим механиком Т. фон Карманом. Книга написана в живой и увлекательной форме, содержит множество исторических подробностей. Вместе с тем по ней можно получить основные сведения почти о всех разделах механики жидкости и газа.

Книга написана на основе курса лекций, прочитанных автором в Российском Государственном Университете нефти и газа им. И. М. Губкина. В пособии рассмотрены математические модели фильтрации и их использование для моделирования разработки месторождений нефти и газа.

Предлагаемая вниманию читателя книга А. Зоммерфельда посвящена изложению основ термодинамики и статистической физики. Она является пятым, хронологически последним, томом серии «Лекции по теоретической физике» и вышла уже после смерти автора. Зоммерфельд не успел закончить подготовку книги к печати, и это было выполнено Бонном и Мейкснером. По сравнению с другими томами, которые, как правило, содержали изложение избранных вопросов данной дисциплины, в настоящей книге круг рассматриваемых проблем отличается значительно большей полнотой. Как обычно для классических курсов термодинамики, автор ведет изложение аксиоматическим путем, начиная с формулировки «начал»; статистическое обоснование дается лишь значительно позднее. Для данной книги, как и для других томов этого курса, характерно стремление к максимальной конкретизации получаемых результатов.

Книга Зоммерфельда является хорошим введением в механику как отдел теоретической физики. Написанная с большим педагогическим мастерством, она, несмотря на небольшой объем, отличается богатством содержания. Много внимания автор уделяет выяснению физического смысла законов и понятий механики, чему способствует большое количество оригинальных физических примеров и задач.

Предлагаемая книга завершает собой целую эпоху в развитии математических методов аналитической небесной механики. В ней описаны некоторые вопросы поведения решений дифференциальных уравнений в целом, изложено решение задачи трех тел методом рядов Зундмана, даны методы нахождения периодических решений дифференциальных уравнений, а также рассмотрены некоторые общие вопросы устойчивости равновесных решений. Особое внимание уделено исследованию гамильтоновых систем и приложению всех полученных результатов к задачам небесной механики.

Книга выдающегося советского физика Я.Б.Зельдовича посвящена теории ударных волн и газовой динамике. Особенностью книги является не расчетные методы численного интегрирования сложных двух- и трехмерных газодинамических течений, а изложение и физическое обоснование принципиальных основ газовой динамики, предельных законов и методов решения простых, но фундаментальных задач.

В газовой динамике изучаются движения газов с большими скоростями. При таких движениях сжимаемость среды играет весьма существенную роль и поэтому законы, имеющие место в газовой динамике, совершенно иные, чем в аэродинамике и гидродинамике несжимаемой жидкости. Важное значение газовой динамики для современных авиации и баллистики не требует пояснений.

Монография известного специалиста по теории динамического хаоса и физике нелинейных явлений включает обширный материал и объединяет трудные, а также еще не решенные задачи общей теории хаотических систем. Помимо известных вещей, таких как эргодичность, элементы теории КАМ, перемешивание, нелинейный резонанс, гиперболичность и др., здесь читатель найдет широкие сведения о гамильтоновой динамике и сепаратрисному хаосу, математических бильярдах, фрактальных свойствах хаотических траекторий, теории возмущения за пределами КАМ-теории, полетах Леви и случайных блужданиях, диффузионных процессах и кинетике. Большой раздел посвящен исследованиям фрактального кинетического уравнения. Последняя часть книги содержит важную информацию, относящуюся к фундаментальным вопросам обоснования статистической физики. Особое место в монографии занимают такие достаточно новые и интересные разделы, как возвращения Пуанкаре и демон Максвелла, неэргодичность, динамические квазизахваты, сложность и энтропия, log-периодичность, динамическое охлаждение и пространственно-временная фрактальность, и др.

Книга представляет собой первую попытку изложения основных положений термодинамики необратимых процессов в форме тематически подобранных задач с решениями и указаниями. В нее включено более ста задач по общим и специальным вопросам линейной и нелинейной термодинамики необратимых процессов, по вопросам, охватывающим широкий круг явлений переноса энергии, массы и импульса в термодинамических системах, осложненных фазовыми превращениями, вязким и пластическим движением среды, диссипацией энергии в газах и плазме, релаксационными явлениями и химическими реакциями в магнитном поле.

Книга представляет собой курс лекций по электронной теории металлов, который читался для студентов старших курсов физических специальностей. Курс естественным образом вводит слушателей в систему современных представлений квантовой теории металлического состояния. Всюду можно видеть стремление автора в ясной форме представить все необходимые выкладки и вычисления, однако по замыслу этот курс призван дать лишь качественное описание только электронной структуры металлов и их свойств.

Монография представляет собой обширное и доступное введение в современную теорию термодинамики, которая выходит за пределы классической теории неравновесных процессов. Авторами представлены такие направления современной неравновесной термодинамики, как расширенная термодинамика, теория с внутренними переменными, рациональная термодинамика, термодинамика конечного времени, мезоскопическая термодинамика, гамильтоновая неравновесная термодинамика, теория информации и так далее. Цель монографии - показать, что результаты, полученные в рамках изучения термодинамики, могут успешно использоваться и в других областях знаний: механике сплошных сред, статистической физике, ядерной физике, космологии, химии, реологии, биологии. По сравнению с предыдущими это издание существенно переработано, в частности, более четко структурировано. Освещая важнейшие достижения последних лет в данной области, авторы пересматривают такие фундаментальные понятия как энтропия, температура, давление, химический потенциал; ставят новые исследовательские задачи. В третье издание включено более 100 оригинальных задач с подробными решениями, каждая глава снабжена актуальным списком литературы по расширенной неравновесной динамике и смежным областям исследования.

Настоящая книга является введением в топологическую классификацию гладких каскадов с гиперболическим неблуждающим множеством, заданных на замкнутых ориентируемых многообразиях размерности два и три. В ней содержатся результаты, полученные авторами сравнительно недавно при сотрудничестве с отечественными и французскими математиками. Основное внимание уделено решению ряда принципиальных проблем, связанных с нетривиальными эффектами, отличающими дискретные динамические системы от соответствующих потоков. Книга содержит обзор сведений из качественной теории динамических систем и смежных дисциплин, позволяющий изучать книгу практически автономно. Она окажется полезной для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников, интересующихся вопросами теории динамических систем.

Монография посвящена изложению основ термодинамической теории биологической эволюции и старения живых существ и рассчитана на читателя с естественнонаучным университетским образованием. Книга может служить учебным пособием для студентов физиков, химиков, биологов, биогеронтологов, геронтологов, медиков, социологов и может стать настольной книгой любого естествоиспытателя, интересующегося проблемами жизни как явления.

В книге дается краткое и доступное изложение фундаментальной теории фазовых превращений и приводятся области применения теории в современной практике. Данная теория используется в физике при современных разработках по изучению конденсации атомов Бозе - Эйнштейна, высокотемпературной сверхпроводимости и вихрей в сверхпроводниках, в то время как в других областях она применяется для исследования явлений «малых миров» и безмасштабных систем (таких как фондовая биржа или Интернет). Совместный анализ этих явлений позволяет выявить связь между ними и провести аналогию с общей теорией фазовых превращений.

Задачи на экстремум в настоящее время играют все большую роль в приложениях математики. Оказывается, что, несмотря на разнообразие таких задач, для их исследования можно применять единый функционально-аналитический подход, впервые предложенный А.Я. Дубовицким и А.А. Милютиным. Книга посвящена изложению этого подхода и его приложению к анализу конкретных экстремальных задач. Сначала приводятся все необходимые сведения из функционального анализа, затем дается общая схема получения условий оптимальности. В заключение с помощью этой схемы выводятся необходимые условия экстремума для ряда задач - от принципа максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимального управления до теорем двойственности в линейном программировании. Книга представляет интерес не только для математиков, но и для всех лиц, сталкивающихся с проблемами оптимизации.

Монография американского физика-теоретика Джосайи Вилларда Гиббса (J. Willard Gibbs) «Основные принципы статистической механики» давно уже стала классической книгой. Первое ее издание, ныне ставшее библиографической редкостью, было опубликовано в 1902 г. В 1905 г., уже после смерти ее автора, вышел ее немецкий перевод в обработке Е, Zermelo). Первое американское издание было перепечатано лишь в 1928 г. во втором томе полного собрания сочинений Гиббса). Это издание было повторено в 1934 г. и с этого издания и сделан предлагаемый перевод. Монография Гиббса имела огромное значение для развития теоретической физики, в частности, для развития термодинамических представлений и их приложения к самым разнообразным явлениям. Поэтому знакомство с ней необходимо для каждого физика-теоретика. Однако ее значение выходит далеко за пределы собственно теоретической физики и потому она интересна и не только для физиков-теоретиков. В своей монографии Гиббс делает значительный шаг вперед в развитии идей статистической физики, зародившейся в работах Клаузиуса, Больцмана и Максвелла, превращая ее в последовательную физическую концепцию. Гиббс исследует вопрос о соотношении между механическими и термодинамическими концепциями и разрабатывает общий, мощный метод, позволяющий, по меньшей мере принципиально, исследовать все важнейшие задачи данного цикла.

В книге охвачены как диссипативный, так и консервативный аспекты теории динамических систем, некоторые вопросы освещаются по-новому, что помогает их более глубокому пониманию. Материал книги охватывает основные разделы нелинейной динамики и теории детерминированного хаоса. Книга может являться хорошим введением в эти области.

Книга Бриджмена является первой удачной попыткой упорядочить метод размерностей для представления его в такой форме, которая была бы доступна не только искушенному и опытному исследователю, но и начинающему научному работнику. Достоинство книги — в ее простоте, конкретности и увлекательности. Помимо оригинального, критического изложения теоретических основ метода, читателю предлагается большое число искусно подобранных несложных примеров. В новое издание вошла также нобелевская лекция П. Бриджмена, посвященная физике высоких энергий.

Автором предлагаемой монографии является выдающийся британский математик Ричард Борчердс, получивший в 1998 году медаль Филдса за «работы по алгебре и геометрии и, в частности, за доказательство Moonshine conjecture». Он ввел точное математическое понятие «вершинной (операторной) алгебры», что сыграло решающую роль в развитии теории представлений (понятие, введенное в 1979 году Конвеем и Нортоном для характеристики поразительной связи между конечной простой группой Монстр и модулярными функциями.). Данная книга основана на лекциях, прочитанных осенью 2001 г. студентам университета в Беркли и направленных на ознакомление математиков с основами квантовой теории поля. В последнее время применение в математике методов и идей этой теории оказалось чрезвычайно успешным, прежде всего в маломерной топологии, симплектической геометрии и теории модулей римановых поверхностей, не говоря уже о математической физике.

В книге представлены развитые автором методы факторизации, автономизации и точной линеаризации, которые в совокупности вместе с методами группового анализа и дифференциальной алгебры позволяют создать целостную картину для изучения и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Это дает возможность конструктивно исследовать нелинейные и нестационарные задачи естествознания и, прежде всего, задачи механики и физики.

В предлагаемом курсе излагаются основы равновесной статистической физики. Курс состоит из двух частей: в первой части рассматривается классическая статистическая Физика, во второй - квантовая.

Настоящая книга по теории относительности рассчитана на студентов - физиков и математиков, не имеющих никаких предварительных знаний в этой области и математическая подготовка которых не выходит за пределы того, что необходимо для изучения классической теоретической физики.

Книга представляет собой переиздание ставшей уже классической работы Эрвина Бауэра. Эта книга, по существу, положила начало новой науке. В советский период она не переиздавалась в связи с гонениями по отношению к биологическим и биофизическим исследованиям и давно стала библиографической редкостью.

Пособие охватывает материал первой половины годового курса квантовой механики, читаемого студентам отделения ядерной физики физического факультета МГУ. Отличительной особенностью курса является органическая связь основных элементов обучения: лекций, семинаров и самостоятельной работы. В конце каждой лекции даны упражнения, подобранные так, чтобы каждое из них при условии последовательного освоения материала студент мог сделать без «подсказки». В то же время уметь решить все задачи, относящиеся к данной лекции, является необходимым условием перехода к следующей лекции.

Книга написана на основе курса лекций, читавшегося в течении многих лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета. В ней содержатся теоретическое обоснование и подробное изложение основ численных методов. Каждая глава и почти все параграфы сопровождаются большим числом задач и примеров как теоретического, так и прикладного характера.

Симплектическая геометрия — это математический аппарат таких областей физики, как классическая механика, геометрическая оптика и термодинамика. В этой небольшой книге изложены основные понятия симплектической геометрии. По сравнению с первым изданием 1985 г., вышедшем в ВИНИТИ, в книге исправлены неточности и устранены замеченные опечатки.

Книга представляет собой русский перевод ставшей уже классической монографии, написанной авторами на французском языке. В ней изложены основы эргодической теории без излишнего формализма, приводится ряд примеров из классической и небесной механики.

Данная книга отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения), и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс).

В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются сточки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли симметрий, диаграммы Ньютона и т.д.). Теория уравнений с частными производными первого порядка изложена на основе геометрии контактной структуры. В книгу включены классические и современные результаты теории динамических систем: структурная устойчивость, У-системы, аналитические методы локальной теории в окрестности особой точки или периодического решения (нормальные формы Пуанкаре), теории бифуркации фазовых портретов при изменении параметров (мягкое и жёсткое возбуждение автоколебаний при потере устойчивости), удвоение периода Фейгенбаума, теорема Дюлака и др.

В монографии рассматриваются в историческом и содержательном аспектах закономерности сил сухого трения и способы их аналитического описания в задачах механики. Обращается внимание на часто встречающуюся практику расширительного применения закона Кулона - прямое перенесение закона на случаи, в которых отсутствуют условия для его выполнения. В механике систем с сухим трением это привело к ряду ошибочных выводов и заключений. Развивается теория систем с сухим трением, основанная на адекватном применении закона Кулона, учитывающем наличие взаимосвязи между силовыми компонентами сухого трения. Наряду с общими результатами в монографии содержится решение и анализ большого количества конкретных прикладных задач в области колебаний, вибрационной технологии, управления движением.

Настоящее пособие составлено на основе курса лекций "Дополнительные главы математики", которые в течение многих лет читались автором для студентов, специализирующихся по теоретической физике, курса по выбору "Теория симметрии" для студентов третьекурсников и курса "Дополнительные главы математики с приложениями" для магистрантов физического факультета. Содержание лекций в основном представлено в форме краткого конспекта; более подробно изложены темы, по которым выполняются лабораторные задания. Задачи по каждому разделу решаются студентами на практических занятиях и самостоятельно. В целом данное пособие предназначено помочь студентам во внеаудиторной работе с рекомендованной литературой.

В российской литературе уже несколько десятилетий не издавалась литература по современной небесной механике. В этой небольшой книге выдающегося российского математика В. М. Алексеева (1932 - 1980) публикуются труды, посвященные качественным методам небесной механики и символической динамики; она состоит из лекций В. М. Алексеева в летней математической школе 1971 г. и нескольких статей, посвященный финальным движениям в задаче трех тел.

В книге дается систематическое изложение основ теории линейного абстрактного функционального уравнения. Эта теория позволяет рассматривать с единой точки зрения многочисленные классы уравнений, изучавшихся ранее вне связи друг с другом, в частности, уравнений с сингулярностями, с импульсными воздействиями, интегро-дифференциальных, с отклоняющимся аргументом, некоторые возмущения уравнения Пуассоа... Теоремы общей теории открывают новые возможности для вычислительного эксперимента в изучении краевых задач,задач управления и минимизации квадратического функционала в различных пространствах. Отдельная глава посвящена нелинейным уравнениям и краевым задачам, а также задаче минимизации нелинейных функционалов.

Дается описание двух важнейших методов математической физики: метода Фурье и метода обобщенных функций, а также и некоторых других методов, например, рассмотрены простейшие разностные схемы. Наибольшее внимание уделяется нестационарными стационарным задачам диффузии-теплопроводности, а также волновому уравнению.

In the book the basic ideas of integrational mechanics with reference to a brief course of classical mechanics are considered. The unity of mathematics, physics and applied philosophy allows to study compactly fundamentals of classical mechanics including vibration, stability and impact. Ten problems on dynamics with the analysis of typical receptions of creativity are solved in detail.

В книгу «Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория» вошли работы, посвященные исследованию интегрируемости динамических систем.

Данная книга представляет собой цикл лекций по теории относительности, которая традиционно применяется в таких областях, как шварцшильдовская метрика, смещение перигелия и отклонение света. Большое внимание уделено той области, которая может стать весьма актуальной в ближайшем будущем - гравитационному излучению.

В книге рассматривается развитие основных понятий, принципов, законов и задач классической механики до середины XVIII века.

В книге рассматриваются два природных объекта, определяющие многие особенности природы России - климат и вечная мерзлота. Представлена сложная многоплановая связь вечной мерзлоты (ее температуры, распространения, криогенных процессов) с климатом, динамика мерзлоты под влиянием неоднократных изменений климата на протяжении последних этапов геологической истории Земли и в наше время. Изложены современные представления об изменениях климата и его причинах (естественного и антропогенного характера), периодичности колебаний. Исследуется реакция вечной мерзлоты на изменения климата - естественные (колебательные, с разными периодами колебаний) и антропогенные, включая техногенное воздействие (направленного характера).

Продолжение фундаментального сочинения выдающегося английского математика и механика, сосредоточенное на развитии науки об электричестве и магнетизме в 1900–1926 гг. Автор, как и в предыдущем томе, рассказывает историю физики по мере ее создания, останавливаясь как на достижениях всемирно известных ученых, так и на вкладах, сделанных в науку менее известными, но не менее интересными и талантливыми людьми.