Моше Гиттерман, Вивиан (Хаим) Хэлперн ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ Краткое изложение и современные приложения Перевод с английского Ю.С.Детковой Под редакцией С. С. Савинского Москва Ижевск 2006 УДК 536.75 ББК 22.317.24 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №06-02-30034. <...> Данная теория используется в физике при современных разработках по изучению конденсации атомов Бозе –Эйнштейна, высокотемпературной сверхпроводимости и вихрей в сверхпроводниках, в то время как в других областях она применяется для исследования явлений «малых миров» и безмасштабных систем (таких как фондовая биржа или Интернет). <...> Фазовые превращения первого рода в теории Ландау . <...> Метод ренорм-групп при решении одномерной модели Изинга 56 5.4. <...> Метод ренорм-групп двумерной модели Изинга для квадратной решетки (1) . <...> Метод ренорм-групп для решения модели Изинга для квадратной решетки (2) . <...> Модель нормального распределения и сферическая модель . <...> Вихри в сверхтекучих жидкостях и сверхпроводниках . <...> . . . . . . . . . 126 Предисловие к русскому изданию Книга представляет краткий и хорошо систематизированный учебный курс по теории фазовых переходов, включающий в себя теорию среднего поля Ландау, модель Изинга, элементы теории критических явлений: метод ренорм-групп, ε-разложение Вильсона, скейлинг, универсальность. <...> В физике эти методы иллюстрируются на примерах фазовых переходов: парамагнетик–ферромагнетик, сверхтекучесть и сверхпроводимость, бозе-конденсация атомов, вихри в сверхпроводниках. <...> Несмотря на сжатый стиль изложения, авторам удалось свести воедино большое разнообразие теоретических вопросов, включая обсуждаемые в современной литературе явления в динамических системах: самоорганизованная критичность, повреждения в безмасштабных сетях. <...> С. С. Савинский, Удмуртский государственный университет, г. Ижевск Введение В основе данной книги лежит курс лекций одного из авторов (Гиттерман <...>
Фазовые_превращения._Краткое_изложение_и_современные_приложения..pdf
УДК 536.75
ББК 22.317.24
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту
№06-02-30034.
Гиттерман М., Хэлперн В.
Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения. —
М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных
исследований, 2006. — 128 с.
В книге дается краткое и доступное изложение фундаментальной теории фазовых
превращений и приводятся области применения теории в современной практике.
Данная теория используется в физике при современных разработках по изучению
конденсации атомов Бозе –Эйнштейна, высокотемпературной сверхпроводимости
и вихрей в сверхпроводниках, в то время как в других областях она применяется
для исследования явлений «малых миров» и безмасштабных систем (таких как фондовая
биржа или Интернет). Совместный анализ этих явлений позволяет выявить
связь между ними и провести аналогию с общей теорией фазовых превращений.
ISBN 5-93972-599-6
c
ББК 22.317.24
2004 World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
c
Перевод на русский язык: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена
или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование, запись на магнитный
носитель, или помощи любой другой системы хранения и обработки информации,
если на то нет письменного разрешения издательства.
All rights reserved. This book, or part thereof, may not be reproduced in any form or by any
means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or any information
storage and retrieval system now known or to be invented, without written permission
from the Publisher.
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.4
Оглавление
Предисловие к русскому изданию . . . ... .. .. ... .. ... 8
Введение ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 9
ГЛАВА 1. Фазы и фазовые переходы .. ... .. .. ... .. ... 11
1.1. Классификация фазовых переходов . . . .... ... .... . 14
1.2. Фазовые переходы второго рода . .... .... ... .... . 16
1.3. Корреляции . . .... ... .... .... .... ... .... . 17
1.4. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 19
ГЛАВА 2. Модель Изинга . . . ... .. ... .. .. ... .. ... 20
2.1. Одномерная модель Изинга .... .... .... ... .... . 22
2.2. Двумерная модель Изинга .... .... .... ... .... . 23
2.3. Трехмерная модель Изинга .... .... .... ... .... . 27
2.4. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 29
ГЛАВА 3. Теория среднего поля .. .. ... .. .. ... .. ... 30
3.1. Теория среднего поля Ландау . . .... .... ... .... . 31
3.2. Фазовые превращения первого рода в теории Ландау .... . 33
3.3. Уточнение теории Ландау, позволяющее учесть флуктуации . 34
3.4. Критические индексы ... .... .... .... ... .... . 36
3.5. Критерий Гинзбурга . ... .... .... .... ... .... . 37
3.6. -разложение Вильсона .. .... .... .... ... .... . 37
3.7. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 40
ГЛАВА 4. Скейлинг .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 41
4.1. Соотношения между критическими индексами . ... .... . 42
4.2. Соотношения масштабов . .... .... .... ... .... . 45
4.3. Динамическое масштабирование . .... .... ... .... . 49
4.4. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 50
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 5. Ренорм-группа . . . ... .. ... .. .. ... .. ... 52
5.1. Неподвижные точки отображения .... .... ... .... . 52
5.2. Основной принцип теории ренорм-групп .... ... .... . 54
5.3. Метод ренорм-групп при решении одномерной модели Изинга 56
5.4. Метод ренорм-групп двумерной модели Изинга для квадратной
решетки (1) ... ... .... .... .... ... .... . 57
5.5. Метод ренорм-групп для решения модели Изинга для квадратной
решетки (2) . ... .... .... .... ... .... . 59
5.6. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 63
ГЛАВА 6. Фазовые превращения в квантовыхсистемах .. .. .
. 64
6.1. Симметрия волновой функции .. .... .... ... .... . 64
6.2. Обменное взаимодействие между частицами Ферми .... . 65
6.3. Квантовая статистическая физика .... .... ... .... . 68
6.4. Сверхтекучесть ... ... .... .... .... ... .... . 71
6.5. Конденсация Бозе –Эйнштейна для атомов ... ... .... . 72
6.6. Сверхпроводимость . ... .... .... .... ... .... . 73
6.7. Высокотемпературные сверхпроводники .... ... .... . 77
6.8. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 79
ГЛАВА 7. Универсальность .. ... .. ... .. .. ... .. ... 80
7.1. Ферромагнетик Гейзенберга и сопутствующие модели . . . . 80
7.2. Многочастичные спиновые взаимодействия . . . . . .... . 83
7.3. Модель нормального распределения и сферическая модель . . 85
7.4. Модель x–y .. .... ... .... .... .... ... .... . 87
7.5. Вихри . .... .... ... .... .... .... ... .... . 90
7.6. Взаимодействие между вихрями . .... .... ... .... . 91
7.7. Вихри в сверхтекучих жидкостях и сверхпроводниках . . . . 93
7.8. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 93
ГЛАВА 8. Случайные системы и малые миры . . . ... .. ... 95
8.1. Перколяция связей .. ... .... .... .... ... .... . 95
8.2. Модель Изинга со случайными взаимодействиями .. .... . 97
8.3. Спиновые стекла . . . . . . .... .... .... ... .... . 98
8.4. Системы «малого мира» . .... .... .... ... .... . 100
8.5. Эволюционирующие графы ... .... .... ... .... . 103
8.6. Фазовые превращения в системах малых миров ... .... . 104
8.7. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 106
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ГЛАВА 9. Самоорганизованная критичность .. .. ... .. ... 107
9.1. Степенные законы распределения .... .... ... .... . 108
9.2. Песочная куча .... ... .... .... .... ... .... . 110
9.3. Распределение соединений в сетях ... .... ... .... . 112
9.4. Динамика сетей ... ... .... .... .... ... .... . 113
9.5. Анализ сетей с использованием теории среднего поля . . . . 117
9.6. Концентраторы безмасштабных сетей . . .... ... .... . 119
9.7. Заключение .. .... ... .... .... .... ... .... . 121
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 122
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 126
Стр.7