Математика

This book is the second in the series. It contains lecture notes of the Second Yaroslavl Summer School on Discrete and Computational Geometry that took place in July and August of 2013. We hope this volume will be useful to all students and post graduates interested in the state-of-the-art in this field. Funded by Russian Government Grant 220 Contract 11.G34.31.0053

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова проводит с 15 по 18 октября 2013 года в г. Ярославле международную конференцию «Нелинейная динамика и её приложения», посвященную 150-летию со дня рождения Поля Пенлеве. Данный сборник содержит тезисы докладов, представленных на конференцию. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции. Конференция проводится при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 13-01-06090 г и гранта Правительства РФ по постановлению №220, договор № 11.G34.31.0053.

Funded by Russian Government Grant 220 / Contract 11.G34.31.0053

The International Delaunay Laboratory of Discrete and Computational Geometry introduces a new books series: the Delaunay Library. We open the series with the First Yaroslavl Summer School on Discrete and Computational Geometry, which contains lecture notes accompanying the short courses delivered in July and August of 2012. We hope this volume will be useful to all students and post graduates interested in the current state-of-the-art in this field. Funded by Russian Government Grant 220 / Contract 11.G34.31.0053/

Workshop on Program Semantics, Specification and Verification: Theory and Applications is the leading event in Russia in the field of applying of the formal methods to software analysis. Proceedings of the fourth workshop dedicated to formalisms for program semantics, formal models and verification, programming and specification languages, etc.

Одним из наиболее важных асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений с малым параметром является так называемый метод усреднения. Эта книга посвящена изложению теории метода усреднения на бесконечном интервале и приложениям метода к задачам теории колебаний. Издание финансируется в рамках государственного задания высшим учебным заведениям на 2013 год (регистрационный номер: 8.7843.2013).

Предназначено для студентов университетов, обучающихся по направлению 010200.62 Математика и компьютерные науки (дисциплина «Дополнительные главы математического анализа», цикл БЗ), очной формы обучения.

Предназначен для студентов, обучающихся по направлению 010200.62 Математика и компьютерные науки, специальности 090301.65 Компьютерная безопасность (дисциплина «Дискретная математика», циклы БЗ, С2), очной формы обучения.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010200.62 Математика и компьютерные науки (дисциплина "Аналитическая геометрия", цикл БЗ) и специальности 090301.65 Компьютерная безопасность (дисциплина "Геометрия", цикл С2), очной формы обучения.

В сборнике представлены работы молодых ученых, аспирантов и студентов. В статьях рассматриваются различные проблемы алгебры и теории динамических систем.

Представлено системное изложение теории управления и математический аппарат управления в экономике. Наряду с традиционными (стандартными) математическими методами исследования операций проведен анализ и изложены методы решения задач векторной оптимизации, лежащих в основе математических моделей, используемых при разработке и принятии управленческого решения в области экономики. Представлены теоретические основы и конструктивные методы решения векторных (многокритериальных) задач математического программирования при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия. Методы принятия решений в условиях определенности и неопределенности. Большинство математических методов сопровождаются конкретными числовыми примерами из области управления экономикой и их решением в системе Matlab.

Учебник содержит традиционные разделы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики в объеме, предусмотренном требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по естественным, гуманитарным и социальным направлениям. Изложение материала снабжено необходимыми рисунками, содержит более ста наглядных примеров. Предназначено для студентов высших учебных заведений. Может быть использовано преподавателями, аспирантами и студентами, использующими в своей практике математические средства анализа информации.

Данное учебно-методическое пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям подготовки 080100.62 Экономика, 080200.62 (080500.62) Менеджмент, 080400.62 Управление персоналом, 081100.62 Государственное и муниципальное управление. В пособии изложены основы высшей математики по прикладным разделам: применение линейной алгебры в экономике, аналитической геометрии в экономике, математического анализа в экономике (предельный анализ и интегральное исчисление). В конце даются контрольные работы для самостоятельной работы студентов. К каждой контрольной работе даны подробные указания.

В сборнике «Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ» опубликованы результаты научных исследований, а также методических и проектно-конструкторских разработок в области прикладных задач теоретической физики, математического моделирования физических процессов, ядерной физики, физики ядерных реакторов, исследований по термоядерному синтезу, электрофизики, физики ускорителей, приборов и техники эксперимента, физики лазеров, гидродинамики, реологии, физики горения и взрыва, физической химии, экологии, материаловедения, безопасности, средств защиты от несанкционированных действий, электроники, радиотехники, оптоэлектроники.

Издается с 1984г. В серии публикуются результаты научных работ по следующим разделам: физические свойства веществ при больших плотностях энергии; теория переноса излучения и вещества; теория многофазных сред и течений; отдельные физические проблемы атомной энергетики; квантовая теория элементарных процессов в плазме; общие вопросы теоретической физики. Публикуются как чисто теоретические работы из этих разделов, так и работы прикладного характера с доведением их до конкретных способов расчета и численных результатов или простых инженерных формул, пригодных для численной оценки рассматриваемых явлений. Главный редактор - Академик РАН Ю.А. Трутнев

Издается с 1978г. В данной серии публикуются оригинальные работы, обзоры и краткие сообщения по следующим научным направлениям: математическое моделирование физических процессов и свойств веществ, численные и аналитические методы решения прикладных задач математической физики и механики сплошной среды; вычислительная математика и применение математических методов и электронно-вычислительной техники в научных исследованиях; вопросы программирования; вопросы структуры алгоритмов и программ для современных ЭВМ; вопросы создания вычислительных комплексов и сетей ЭВМ. Главный редактор - д-р ф.-м. наук Р.М.Шагалиев

Целью работы является изучение основных методов построения UD-реализаций дискретного фильтра Калмана, обладающих улучшенными вычислительными свойствами по сравнению со стандартной реализацией фильтра Калмана, а также построение новой расширенной формы ортогонализованного UD-фильтра, которая должна обладать следующими свойствами: устойчивость по отношению к ошибкам машинного округления, отсутствие операции извлечения квадратного корня, избавление от операции матричного обращения на каждой итерации алгоритма, компактность и удобство записи ортогонализованной формы UD-фильтра. Рассматриваются методы реализации UD-фильтров. Первой UD-реализацией фильтра Калмана является последовательный алгоритм Бирмана, а самыми современными являются ортогонализованные блочные алгоритмы. Подход к построению квадратно-корневых блочных алгоритмов был предложен Кайлатом. В настоящей работе именно этот подход применяется для построения новой формы расширенного ортогонализованного UD-фильтра. В работе изучены существующие к настоящему времени методы построения UD-фильтра. Наиболее эффективными в вычислительном плане и подходящими для реализации на современных вычислительных комплексах являются ортогонализованные формы UD-фильтра. Предложена новая форма расширенного ортогонализованного UD-фильтра, обладающая рядом преимуществ по сравнению с другими.

При моделировании кинетики химических реакций, расчете электронных схем и электрических сетей и других важных приложений возникает необходимость решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения таких задач применяются L-устойчивые численные схемы. В таких методах при большой размерности системы дифференциальных уравнений основные вычислительные затраты приходятся на декомпозицию матрицы Якоби. Сокращения затрат достигают замораживанием матрицы Якоби, т. е. применением одной матрицы на нескольких шагах интегрирования. Дополнительного сокращения затрат добиваются за счет применения алгоритмов интегрирования на неоднородных схемах. В состав таких алгоритмов включаются явные и L-устойчивые методы. Эти алгоритмы сами распознают, является задача жесткой или нет. Эффективная численная схема выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. Здесь разработан неоднородный алгоритм интегрирования на основе L-устойчивого и явных двухстадийных методов. Построено неравенство для контроля устойчивости схемы Рунге-Кутта второго порядка точности. На основе стадий этого метода предложена численная формула первого порядка с расширенным до 8 интервалом устойчивости. На основе L-устойчивой (2, 2) -схемы и численных формул типа Рунге-Кутта первого и второго порядков точности разработан алгоритм переменной структуры, в котором эффективный метод выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. При расчетах по L-устойчивому методу допускается замораживание матрицы Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Алгоритм предназначен для решения как жестких, так и нежестких задач. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность построенного алгоритма.

Эта работа – одна из первых работ, в которой подробно, со всеми доказательствами рассматривается задача синтеза надежных схем с элементами, подверженными неисправностям двух типов. Предполагается, что базисным элементам приписана функция штрих Шеффера (антиконъюнкция) и базисные элементы в неисправные состояния переходят независимо друг от друга. Первый тип неисправностей характеризуется тем, что при любом входном наборе базисного элемента на его выходе с некоторой вероятностью появляется значение, противоположное конъюнкции входных значений (т. е. имеем инверсные неисправности на выходах). Второй тип неисправностей появляется также на любом входном наборе элемента с некоторой (возможно, отличной от инверсной неисправности) вероятностью и характеризуется тем, что на выходе элемента появляется неопределенность. Отметим также, что в каждый такт работы базисный элемент подвержен только одной из двух названных неисправностей. Цель данной работы: исследовать возможность построения надежных схем, найти метод синтеза надежных схем, получить нетривиальные верхние и нижние оценки ненадежности схем.

Гиперсингулярные интегралы в настоящее время находят все большие области применения – аэродинамика, теория упругости, электродинамика и геофизика. При этом их вычисление в аналитическом виде возможно лишь в весьма частных случаях. Поэтому приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов являются актуальной задачей вычислительной математики. Этой задаче посвящено много работ. В частности, И. В. Бойковым и Ю. Ф. Захаровой опубликованы циклы работ по построению оптимальных методов вычисления гиперсингулярных интегралов. В 1975 г. в докладах АН СССР (т. 221, № 1) опубликована статья К. И. Бабенко, в которой он сообщил об открытии им принципиально новых – ненасыщаемых численных методах. Отличительной особенностью последних является способность автоматически подстраиваться под классы корректности решений рассматриваемых задач. Анализ известных квадратурных и кубатурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов показал, что они являются насыщаемыми. Поэтому является актуальной задача построения ненасыщаемых алгоритмов вычисления гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов. Этой задаче посвящена данная работа.

Рассматривается формализм, предназначенный для представления специального расширения класса конечных автоматов - так называемых обобщенных недетерминированных конечных автоматов. Из изложенных в статье алгоритмов эквивалентного преобразования определяемых авторами автоматов и аналога теоремы Клини для них вытекает не столько эквивалентность их и обычных конечных автоматов (эта эквивалентность очевидна априори), сколько возможность определения операции дополнения (и вообще обобщенных регулярных выражений) обычными "автоматными" методами. Также в статье описан метод построения конкретного обобщенного автомата, который определяет заданное обобщенное регулярное выражение. Данный метод вытекает из доказательства аналога теоремы Клини. Представленные расширенные возможности для описания регулярных языков могут быть полезны в некоторых приложениях, например, в контекстном поиске.

Цель работы: изучение математической модели распространения поверхностных электромагнитных ТЕ-волн в плоском неоднородном диэлектрическом волноводе, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Материал и методы исследования: проблема сводится к исследованию нелинейного интегрального уравнения с ядром в виде функции Грина. Существование решений интегрального уравнения доказано с помощью метода сжимающих отображений. Для численного решения задачи предложены два метода: итерационный алгоритм (доказана его сходимость), а также метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши (метод пристрелки). Результаты: доказано существование корней дисперсионного уравнения - постоянных распространения волновода. Получены условия, когда могут распространятся k волны, указаны области локализации соответствующих постоянных распространения. Выводы: полученные результаты свидетельствуют о наличии волноводного режима распространения электромагнитных волн в нелинейной среде.

Рассматривается один из важнейших разделов математической кибернетики - теория синтеза, надежности и сложности управляющих систем. К числу основных модельных объектов математической теории синтеза, сложности и надежности управляющих систем относятся схемы из ненадежных функциональных элементов, реализующие булевы функции. В ряде результатов, относящихся к реализации булевых функций надежными схемами из ненадежных функциональных элементов, фигурирует параметр N[g] - наименьшее число функциональных элементов, необходимых для реализации функции голосования x в рассматриваемом полном базисе. Оказалось, что еще и другие функции (обозначим их множество через G), обладают свойствами, аналогичными свойствам функции голосования. Эти функции в статье называются обобщенными функциями голосования. Цель данной работы - получить верхнюю оценку величины N[G], которая была бы справедлива в произвольном базисе.

Предлагается математическая модель, описывающая процесс воспроизводства научных кадров на этапе поступления в аспирантуру с использованием системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, излагается численный алгоритм ее решения. Неизвестные параметры математической модели находятся на основе известных статистических данных за промежуток времени, предшествующий прогнозируемому. Далее в статье приводятся результаты прогнозирования процесса воспроизводства научных кадров на основе построенной математической модели.

Рассматривается обратная задача электродинамики - задача определения тензора магнитной проницаемости односекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Разработан метод решения такой задачи. На основе предложенного метода построена математическая модель.

Рассмотрены два итерационных метода определения диэлектрической проницаемости. Получены результаты, показывающие сходимость методов. Представлены графики зависимости значения диэлектрической проницаемости от числа итераций для тел сложной геометрической формы.

Рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на бесконечно тонком идеально проводящем экране. Задача сведена к интегродифференциальному уравнению. Предложен метод Галеркина. Получены численные результаты.

Рассматривается вопрос построения гомотопически устойчивого аналога симплициального объекта. Предъявляется конструкция высших симплициальных операторов, доказывается теорема об их существовании на гомологиях цепного комплекса. Доказательство теоремы существования конструктивно, что позволяет строить полученные высшие симплициальные множества как гомотопически устойчивые аналоги симплициальных на гомологиях цепных комплексов.

Доказываются 28 свойств, связывающих предполные классы трехзначной логики.

Рассматривается реализация функций трехзначной логики схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе Россера-Туркетта. Предполагается, что вероятность появления одного неверного значения на выходе любого базисного элемента на каждом входном наборе равна [эпсилон], а следовательно, вероятность ошибки равна 2[эпсилон].

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с оператором условной остановки. Предполагается, что функциональные операторы с вероятностью [эпсилон] ([эпсилон] (0, 1/2) ) подвержены инверсным неисправностям на выходах, а операторы условной остановки абсолютно надежны. Из полученных результатов о верхней оценке ненадежности неветвящихся программ следует, что почти все функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности неветвящимися программами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной [эпсилон] при [эпсилон] [стремящейся к] 0.

Во второй части статьи подробно рассматривается пример построения бинарного отношения # и множества блоков заданного регулярного языка - в процессе выполнения процедуры канонизации задающего его автомата. Приведены два алгоритма объединения состояний недетерминированного автомата. На основе этих алгоритмов сформулированы сокращенный вариант алгоритма дуговой минимизации, а также алгоритм добавления дуги.

В первой части настоящей статьи рассматриваются некоторые вспомогательные алгоритмы, необходимые одновременно для двух проблем минимизации недетерминированных конечных автоматов - вершинной и дуговой. Приводится несложный алгоритм минимизации детерминированных автоматов, с помощью которого производится одновременное построение функций разметки состояний. Доказываются вспомогательные утверждения о входных языках состояний базисного автомата, необходимые для алгоритмов эквивалентного преобразования произвольных недетерминированных конечных автоматов.

Рассматривается обобщенная формула Родрига, позволяющая определить некоторые важные семейства многочленов, используемые в комбинаторном анализе. Эта формула применяется для получения рекуррентных соотношений и производящих функций. В частности, с этих позиций исследуются обобщенные многочлены Эйлера и рассматриваются их свойства. Для комбинаторной интерпретации коэффициентов этих многочленов привлекаются обобщенные перестановки Гесселя-Стенли и корневые помеченные r-угольные кактусы. Также рассматриваются конечно-разностные и g-аналоги обобщенной формулы Родрига, с помощью которых, в частности, изучаются g-аналоги экспоненциальных многочленов и многочленов Эйлера, а также их свойства.

Рассматривается обратная задача электродинамики - задача определения эффективной диэлектрической проницаемости многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками. Разработаны рекуррентные методы решения прямой и обратной задач. На основе разработанных методов построены математические модели для двух- или трехсекционной диафрагм.

Построена сопряженная спектральная задача при условиях биортогональности для вязкоупругой пластинки с переменной толщиной. Сформулирована спектральная задача, описывающая распространение изгибных плоских волн в волноводе. Численные решения спектральных задач проводились на ЭВМ программным комплексом, основанным на методе ортогональной прогонки С. К. Годунова в сочетании с методом Мюллера.

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с оператором условной остановки (стоп-оператором) в произвольном полном конечном базисе. В исправном состоянии стоп-оператор прекращает работу программы, если на его вход поступает единица. Предполагается, что и функциональные операторы, и стоп-операторы программы ненадежны, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга. Считаем, что вычислительные операторы с вероятностью [эпсилон] ([эпсилон] принадлежит множеству (0, 1/2) ) подвержены инверсным неисправностям на выходах. А для операторов условной остановки рассматриваются два типа неисправностей. Неисправность первого типа характеризуется тем, что при поступлении единицы на вход стоп-оператора он с вероятностью [дельта] ([дельта] принадлежит множеству (0, 1/2) ) не срабатывает, и, следовательно, работа программы продолжается. Неисправность второго типа такова, что при поступлении нуля на вход стоп-оператора он с вероятностью [эта] ([эта] принадлежит множеству (0, 1/2) ) срабатывает, и, следовательно, работа программы прекращается. Доказано, что любую булеву функцию f можно реализовать программой, ненадежность которой не больше max {[эпсилон], [эта]} + 145 [сигма]{2} при всех [эпсилон] принадлежит множеству (0, 1/960] и [сигма]=max{[эпсилон], [дельта], [эта]}.

Предложены методы численного решения первой краевой задачи для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа в "снежинке Коха".

Рассматривается вопрос построения аналога симплициальных вырождений в A[бесконечность]-случае. Предъявляется конструкция высших граней, доказывается теорема об их существовании на гомологиях, а также рассматривается вопрос о действии дифференциала на таком объекте. Доказательство теоремы существования конструктивно, что позволяет строить полученные новые объекты на гомологиях цепных комплексов. При доказательстве теорем используется техника SDR-ситуаций.

Описываются математические модели противобактериального иммунного ответа, представленные в виде систем нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и запаздываниями. Исследуется устойчивость моделей при различных начальных условиях, отражающих различные состояния организма.

Рассматриваются абелевы подгруппы действительных унитреугольных групп третьего, четвертого и пятого порядков и изоморфные им группы кортежей длины 2, 3, 4 действительных чисел. На последних получены линейные пространства, альтернативные арифметическому пространству. Операции над векторами альтернативных пространств задаются нелинейными формулами. Группы автоморфизмов пространств одной размерности задаются нелинейными формулами различного вида. Все рассматриваемые линейные пространства являются подсибсонами. Определены сибсоны размерностей 3, 6, 10.

Получены коэффициенты явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта. Построены неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной схемы. Результаты моделирования пиролиза этана демонстрируют повышение эффективности за счет дополнительного контроля устойчивости.

Рассматриваются четыре комбинаторные задачи, параметризованные кратностью r элемента базового мультимножества: распределение индексов vp-монотонных перестановок, обобщенные перестановки Гесселя-Стенли и обобщенные частично упорядоченные множества Баклавского-Эдельмана, обобщенные числа Стирлинга и обобщенные частично упорядоченные множества разбиений, обобщенные статистики и обобщенные многочлены Эйлера. Для исследования этих задач привлекаются различные методы.

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с оператором условной остановки в полном конечном базисе B, содержащем некоторую функцию вида x{a[1]} [1] v x{a[2]} [2], a[1], a[2] {0, 1}. Предполагается, что функциональные операторы с вероятностью [эпсилон] ([эпсилон] (0, 1/2) ) подвержены инверсным неисправностям на выходах, а операторы условной остановки абсолютно надежны. Доказано, что любую булеву функцию f можно реализовать неветвящейся программой, функционирующей с ненадежностью не больше [эпсилон] + 81[эпсилон]{2} при [эпсилон] (0, 1/960).

Даются достаточные условия существования счетного множества обобщенных втулочных связей, совместимых с нетривиальными ARG-деформациями поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при заданном коэффициенте рекуррентности.

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в полном конечном базисе B, содержащем специальные функции. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью [эпсилон] (0, 1/2) подвержены неисправностям типа 0 на выходах. Доказано, что почти для всех булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной [эпсилон] при [эпсилон] [стрелка вправо] 0. Эта оценка ненадежности в два раза меньше, чем в случае инверсных неисправностей на выходах элементов в соответствующих базисах.

Рассмотрено решение интегрального уравнения, полученного из краевой задачи Коши для уравнения Гельмгольца. Представлен численный метод Галеркина. Получены численные результаты решения, задачи в двух случаях при k ? 0 и k = 0 с использованием субиерархического алгоритма на плоских экранах произвольной формы.

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с условной остановкой в полном конечном базисе B, содержащем конъюнкцию x[1] & x[2]. Предполагается, что функциональные операторы с вероятностью [эпсилон] подвержены инверсным неисправностям на выходах. Решается задача синтеза надежных неветвящихся программ в двух случаях: 1) оператор условной остановки абсолютно надежен, 2) оператор условной остановки ненадежен.

Доказывается существование счетного множества коэффициентов рекуррентности ARG-деформаций поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при условии, что вдоль края поверхность подчинена обобщенной втулочной связи, для которой существуют нетривиальные ARG-деформации поверхностей.

Описаны алгоритмы и комплекс программ для математического моделирования в системах компьютерной математики нелинейных обобщенно-механических систем. Встроенные в пакет программные процедуры позволяют получать численные решения в форме сплайнов, B-сплайнов и кусочно-заданных функций. Описаны разработанные программные процедуры операций над сплайнами, позволяющие проводить аналитические вычисления с конвертированными численными решениями как с обычными функциями.