И. В. Бойков, Т. В. Елисеева
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
ТИПА В ОБЛАСТИ С ФРАКТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Аннотация. <...> Предложены методы численного решения первой краевой задачи
для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа в «снежинке
Коха». <...> Ключевые слова: фрактальная граница, снежинка Коха, краевая задача, уравнение эллиптического типа. <...> Введение
Понятие фрактала становится одной из парадигм современной фундаментальной и экспериментальной физики, радиофизики и радиолокации. <...> Поэтому интерес представляют математические методы и вычислительные алгоритмы для моделирования нелокальных процессов и явлений в областях
фрактальной геометрии. <...> В работе предложены методы численного решения
первой краевой задачи для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца и для
уравнения эллиптического типа с экспоненциальной нелинейностью в «снежинке Коха». <...> Построение предфракталов
В качестве области , в которой будут решены краевые задачи, рассмотрим снежинку Коха с размерностью Хаусдорфа DH ln 4 ln 3 , полученную из равностороннего треугольника [1]. <...> Равносторонний треугольник можно рассматривать как предфрактал
0-го поколения K 0 . <...> Поместим его на сетку с шагом h0 по оси Ox и шагом
h0 3 по оси Oy таким образом, чтобы вершины K 0 совпали с узлами сетки
(рис. <...> Для построения предфрактала 1-го поколения K1 строится сетка
с шагом h1 по оси Ox и шагом h1 3 по оси Oy, где h1 h0 3 . <...> 2 изображен предфрактал 2-го поколения K 2 , по каждому направлению шаг h2 и
h2 3 соответственно, h2 h0 32 . <...> При описанном способе построения сетки
вершины предфрактала K N совпадают с узлами сетки; шаг hN по оси Ox и
hN 3 по оси Oy, hN h0 3N ; длина звена предфрактала 2hN . <...> Предфрактал K N располагаем таким
образом, чтобы центр фигуры лежал в начале координат и K N содержался
в квадрате 1,1 1,1 . <...> Решение первой краевой задачи
для линейных уравнений эллиптического типа
Пусть в ограниченной области R 2 требуется <...>