Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний (290,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова В.Ш. Бурд МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ Ярославль, 2013

Стр.1

УДК 517.928 ББК В 161.6 Б 91 Рецензенты: кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника» ЯГТУ; кандидат физико-математических наук, доцент ЯГПУ П.А. Корнилов Б 91 Бурд В.Ш.Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний / Научный редактор П.Н. Нестеров. — Ярославль: ЯрГУ, 2013 — 420 с. ISBN 978-5-8397-0934-8 Одним из наиболее важных асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений с малым параметром является так называемый метод усреднения. Эта книга посвящена изложению теории метода усреднения на бесконечном интервале и приложениям метода к задачам теории колебаний. Книга адресована широкой аудитории математиков, физиков и инженеров, которые интересуются асимптотическими методами теории нелинейных колебаний. Она доступна студентам старших курсов по физико-математическим направлениям подготовки. Издание финансируется в рамках государственного задания высшим учебным заведениям на 2013 год (регистрационный номер: 8.7843.2013). Рис. 11. Библиогр.: 188 назв. РЕДКОЛЛЕГИЯ С.Д. Глызин, П.Н. Нестеров (научный редактор) УДК 517.928 ББК В 161.6 Б 91 ISBN 978-5-8397-0934-8 ⃝ Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, c 2013 ⃝ Бурд В.Ш., 2013 c

Стр.2

Оглавление Предисловие Часть I. Усреднение линейных уравнений Глава 1. Периодические и почти периодические функции. Краткое введение 9 13 14 1.1. Периодические функции . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Почти периодические функции . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Векторно-матричные обозначения . . . . . . . . . . 22 Глава 2. Ограниченные решения 25 2.1. Однородная система уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Ограниченные решения неоднородных систем . . . 26 2.3. Лемма Боголюбова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Глава 3. Леммы о регулярности и устойчивости 36 3.1. Регулярные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Лемма о регулярности . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Регулярность периодических операторов . . . . . . 42 3.4. Лемма об устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Глава 4. Параметрический резонанс в линейных системах 51 4.1. Системы с одной степенью свободы. Случай гладкого параметрического возмущения . 51 4.2. Параметрический резонанс в линейных системах с одной степенью свободы. Системы с ударами . . 55 4.3. Параметрический резонанс в линейных системах с двумя степенями свободы. Простой и комбинационный резонансы . . . . . . . 59 4.4. Параметрические колебания струны . . . . . . . . . 63

Стр.3

4 Оглавление Глава 5. Высшие приближения метода усреднения для линейных уравнений. Задача устойчивости. Метод И.З. Штокало 66 5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2. Преобразование основной системы . . . . . . . . . . 67 5.3. Замечание о периодическом случае . . . . . . . . . 70 5.4. Устойчивость решений системы линейных дифференциальных уравнений с пп коэффициентами, близкими к постоянным . . 73 5.5. Пример. Обобщенное уравнение Хилла . . . . . . . 76 5.6. Экспоненциальная дихотомия . . . . . . . . . . . . . 80 5.7. Устойчивость решений систем с малым параметром и экспоненциальная дихотомия . . . . 83 5.8. Оценка обратного оператора . . . . . . . . . . . . . . 85 Глава 6. Линейные дифференциальные уравнения с быстрым и медленным временем 87 6.1. Обобщенные леммы о регулярности и устойчивости 87 6.2. Пример. Параметрический резонанс в уравнении Матье с медленно меняющимся коэффициентом . 92 6.3. Высшие приближения и задача устойчивости . . . 94 Глава 7. Асимптотическое интегрирование и метод усреднения 98 7.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.2. Преобразование основной системы . . . . . . . . . . 99 7.3. Асимптотическое интегрирование адиабатического осциллятора . . . . . . . . . . . . . 104 Глава 8. Линейные сингулярно возмущенные уравнения c почти периодическими коэффициентами 110 Часть II. Усреднение нелинейных уравнений 117 Глава 9. Системы в стандартной форме c почти периодическими коэффициентами. Первое приближение 118 9.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.2. Теорема существования. Почти периодический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Стр.4

Оглавление 5 9.3. Теорема существования. Периодический случай . . 123 9.4. Исследование устойчивости почти периодического решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.5. Более общая зависимость от параметра . . . . . . . 132 9.6. Почти периодические решения квазилинейных систем со многими степенями свободы . . . . . . . 134 9.7. Системы с быстрым и медленным временем . . . . 142 9.8. Принцип усреднения для одного класса сингулярно возмущенных систем . . . . . . . . . . 148 Глава 10. Системы в стандартной форме. Первые примеры 154 10.1. Динамика отбора генетической популяции в изменяющейся среде . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.2. Периодические колебания квазилинейных автономных систем с одной степенью свободы и осциллятор Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . 156 10.3. Резонансные периодические колебания квазилинейных систем с одной степенью свободы 164 10.4. Субгармонические решения . . . . . . . . . . . . . 168 10.5. Cлабонелинейное уравнение Дуффинга. Резонансные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.6. Уравнение Дуффинга. Вынужденные субгармонические колебания . . . 179 10.7. Почти периодические решения вынужденного уравнения Дуффинга без демпфирования . . . . . 184 10.8. Почти периодические решения возмущенного осциллятора Ван дер Поля. Нерезонансный случай . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.9. Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля под действием почти периодической силы с медленно изменяющейся амплитудой . . . 191 10.10. Резонансные колебания осциллятора Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . 193 10.11. Два слабо связанных осциллятора Ван дер Поля 195 10.12. Возбуждение параметрических колебаний ударами в нелинейных системах . . . . . . . . . . 199 10.13. Вынужденные колебания уравнения Дуффинга. Двухчастотное воздействие . . . . . . . . . . . . . 207

Стр.5

6 Глава 11. Маятниковые системы с колеблющимся подвесом Оглавление 210 11.1. История и физические применения . . . . . . . . . 210 11.2. Уравнение движения простого маятника с вибрирующим подвесом . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.3. Введение малого параметра и приведение уравнений к стандартной форме . . . . . . . . . . 215 11.4. Исследование устойчивости состояний равновесия 217 11.5. Устойчивость верхнего состояния равновесия стержня с распределенной массой . . . . . . . . . 220 11.6. Плоские вибрации точки подвеса . . . . . . . . . . 222 11.7. Маятник с исчезающей во времени амплитудой колебаний точки подвеса . . . . . . . 225 11.8. Многочастотные колебания подвеса маятника . . 229 11.9. Система маятник-шайба с вибрирующим основанием (маятник Челомея) . . . . . . . . . . . 234 Глава 12. Высшие приближения метода усреднения 242 12.1. Формализм метода усреднения для систем в стандартной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 12.2. Основная теорема о высших приближениях в периодическом случае . . . . . . . . . . . . . . . 246 12.3. Теорема о высших приближениях в почти периодическом случае . . . . . . . . . . . . 250 12.4. Общая теорема о высших приближениях в почти периодическом случае . . . . . . . . . . . . 254 12.5. Высшие приближения для систем с быстрым и медленным временем . . . . . . . . . 257 12.6. Поддержание вращательных режимов маятника с колеблющейся точкой подвеса . . . . . . . . . . . 259 12.7. Устойчивость в критическом случае пары чисто мнимых корней для двумерной автономной системы . . . . . . . . 266 12.8. Бифуркация рождения цикла (бифуркация Андронова–Хопфа) . . . . . . . . . . 271 Глава 13. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях и усреднение на неограниченном интервале 278 13.1. Основные обозначения и вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Стр.6

Оглавление 7 13.2. Теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях . . . . . . . . . . . . . 281 13.3. Интегральная сходимость и близость решений на неограниченном интервале . . . . . . . . . . . . 287 13.4. Теоремы об усреднении . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.5. Системы с быстрым и медленным временем . . . 293 13.6. Близость медленных переменных на бесконечном интервале в системах с быстро вращающейся фазой . . . . . . . . . . . . 296 Глава 14. Системы с быстро вращающейся фазой 301 14.1. Системы с одной степенью свободы, близкие к консервативным. Переменные действие–угол . . 301 14.2. Переменные действие–угол для гамильтоновой системы с одной степенью свободы . . . . . . . . . 305 14.3. Автономные возмущения гамильтоновой системы с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . . . 307 14.4. Переменные действие–угол для математического маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 14.5. Квазиконсервативный виброударный осциллятор 314 14.6. Формальная схема усреднения для систем с быстрой фазой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Глава 15. Резонансные периодические колебания в неавтономных системах с быстро вращающейся фазой 325 15.1. Преобразование основной системы в окрестности невырожденного резонансного уровня . . . . . . . 327 15.2. Поведение решений основной системы в окрестности невырожденного резонансного уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 15.3. Вынужденные резонансные колебания и вращения математического маятника . . . . . . 331 15.4. Резонансные колебания в системах с ударами . . 338 Глава 16. Резонансные пп колебания в нелинейных двумерных системах с медленно меняющимися параметрами 346 16.1. Постановка задачи и преобразование основной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 16.2. Существование и устойчивость пп решений . . . 349

Стр.7

8 Оглавление 16.3. Вынужденные колебания и вращения математического маятника под действием двухчастотного возмущения с близкими частотами . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Часть III. Приложения Приложение А. Почти периодические функции Приложение Б. Устойчивость решений дифференциальных уравнений 365 366 377 Б.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Б.2. Теоремы об устойчивости по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . . 381 Б.3. Функции Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Приложение В. Некоторые сведения из функционального анализа 389 В.1. Банаховы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 389 В.2. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 В.3. Принцип сжатых отображений . . . . . . . . . . . . 398 Литература 401

Стр.8