Л. Н. Бондаренко, М. Л. Шарапова
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ
РОДРИГА В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ1
Аннотация. <...> Рассматривается обобщенная формула Родрига, позволяющая
определить некоторые важные семейства многочленов, используемые в комбинаторном анализе. <...> Эта формула применяется для получения рекуррентных
соотношений и производящих функций. <...> В частности, с этих позиций исследуются обобщенные многочлены Эйлера и рассматриваются их свойства. <...> Для
комбинаторной интерпретации коэффициентов этих многочленов привлекаются обобщенные перестановки Гесселя – Стенли и корневые помеченные
r-угольные кактусы. <...> Также рассматриваются конечно-разностные и q-аналоги
обобщенной формулы Родрига, с помощью которых, в частности, изучаются
q-аналоги экспоненциальных многочленов и многочленов Эйлера, а также их
свойства. <...> Ключевые слова: формула Родрига, рекуррентная формула, производящая
функция, непрерывные дроби, многочлены Эйлера, тождество Ворпицкого,
перестановки Гесселя – Стенли, корневые помеченные r-угольные кактусы,
q-экспоненциальные многочлены, q-многочлены Эйлера. <...> In particular,
from this point of view it is possible to study generalized Eulerian polynomials and
consider their properties. <...> In order to combinatorially interpret the coefficients of these
polynomials the authors use generalized permutations of Gessel – Stanley and root
marked r-angle cactuses. <...> The article also considers finite-difference and q-analogues
of the generalized Rodrigues' formula, by which, in particular, the authors study the
q-analogs of exponential polynomials and Eulerian polynomials and their properties. <...> Key words: Rodrigues formula, recursion formula, generating function, continued
fractions, Eulerian polynomials, Worpitzky identity, Gessel – Stanley permutations,
root marked r-angle cactuses, q-exponential polynomials, q-Eulerian polynomials. <...> Введение
Важный метод характеризации классических ортогональных многочленов {Pn (t )}
0 состоит в применении обобщенной формулы Родрига
Pn (t ) kn1w1 (t ) D n ( w(t ) x n (t )) ,
где w(t ) – весовая функция; D d / dt ; kn – постоянная; x(t ) – функция, не
зависящая от n. <...> Эта формула имеет также конечно-разностный <...>