МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Получено выражение для силы взаимодействия с плоской поверхностью испаряющейся капли, движущейся по нормали к плоскости, при малой величине зазора между ними в приближении гидродинамической теории смазки. Рассматривается влияние эффектов скольжения, скачка температуры и скорости испарения капли на время изменения зазора между каплей и плоской поверхностью, температура которой превышает температуру кипения капли.

Данные методические указания представляют собой базовый курс лекций по трем темам с учетом современных представлений и уточнений. Они включают важнейшие понятия, термины, а также содержат различные примеры по наиболее сложным моментам. Каждая тема оснащена контрольными вопросами и заданиями, а также содержит тестовые задания в формате ЕГЭ.

С использованием метода ЯМР 1H впервые изучена кинетика диффузии молекул H2O в волокнистом цеолите натролите [Na2Al2Si3O10]-2H2O. Обнаружено, что при ступенча-том нагреве цеолита на воздухе частота диффузионных прыжков молекул, увеличиваясь в первый момент, экспоненциально падает со временем. Проведение подобного эксперимента в водной среде приводит к обратному эффекту. Полученные результаты под-тверждают высказанное ранее предположение о существенной роли междоузельных де-фектов - сверхгидратированных локальных состояний в механизме молекулярной диффузии.

Рассматривается концентрация напряжений при наличии в упругом теле двух и более упругих концентраторов. Отдельно взятый концентратор в отсутствие остальных создает свое поле напряжений, которое вычисляется через внешнее поле с помощью тензора-оператора концентрации. Поле напряжений от нескольких концентраторов заменяется взаимодействием полей напряжений каждого из концентраторов. В работе исследуется тензорная теория концентрации напряжений от нескольких концентраторов различной природы, описывающая их взаимодействие. Найдено приближенное аналитическое выражение для тензора концентрации напряжений в плоскости с двумя круговыми отверстиями, которое сопоставляется с известными решениями.

В работе рассматривается построение управляющих краевых условий для задачи нагрева одномерного стержня до заданной температуры. Представлены две модификации предложенного в работах А. В. Фурсикова метода, позволяющие учитывать ограничения на структуру решения и управление. Приводятся результаты расчетов для нагревающих элементов, расположенных как снаружи, так и внутри стержня. Полученные алгоритмы допускают естественное обобщение на широкий класс уравнений, в том числе на нелинейные уравнения типа Навье-Стокса, а также на задачи стабилизации по начальным данным и правой части.

Рассматривается задача о классификации подмножеств вершин единичного n-мерного куба по "симметрическому" признаку. Даются приложения к изучению аддитивных каналов связи.

Кольцо R называется IIC-кольцом, если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром кольца R. Рассматриваются некоторые результаты о кольцах частных полупервичных IIC-колец и показывается на примерах, что эти свойства не сохраняются в случае произвольных IIC-колец. Также доказываются более общие свойства IIC-колец, касающиеся их колец частных.

В работе изучается внутренняя структура тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости микрополярной теории. В частности, рассмотрена задача о нахождении собственных значений и собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы. Построена полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы. Приведены некоторые определения и теоремы. Даны различные представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений в новых терминах.

Рассматривается задача о полноте систем одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида. В работе получены критерии полноты для указанных функциональных систем.

Показано, что минимальное значение отношения относительных пределов текучести, найденных по энергетическому критерию текучести в двух вариантах, является показателем состояния с наименьшим сопротивлением пластической деформации. Различие в положении графиков относительных пределов текучести в этих вариантах позволяет сделать оценку проявления материалом тензорной нелинейности. Алгоритм методики предполагает нелинейность характеристик как функций интенсивности напряжений и угла вида напряженного состояния.

Для коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа при 1 A 1−c −1 A y >= x 2 ln x, x y ln x<= |α| <=0, 5, c>2 и ‖c‖ >= δ получена нетривиальная оценка Sc(α; x, y)= e(α[nc]) ≪ y lnA x, x−y

В работе построены нелинейные уравнения движения ортотропной пластины на основе трехмерных нелинейных уравнений теории упругости. Полученная модель пластины обеспечивает высокую точность, что продемонстрировано в статике на примере задачи Б.Ф. Власова о действии синусоидальной нагрузки на шарнирно закрепленную плиту.

Приведены условия совместности в трехмерной и двумерной линейной микрополярной теории упругости в отличных от используемых в научной литературе формах и аналог формулы Чезаро. Кроме того, получены формулы для определения антисимметричной части тензора деформаций (напряжений) и антисимметричной части тензора изгиба-кручения (моментных напряжений).

Строится континуум различных логик, что доказывает тот факт, что мощность решетки расширений логики двух отношений эквивалентности Ext является континуумом.

Проведен анализ главных членов общих асимптотических разложений решений первой краевой задачи трехмерной теории упругости в перемещениях (квазистатика, сжимаемость) для цилиндрического слоя. Естественным малым асимптотическим параметром является отношение толщины слоя к длине образующей. При этом радиус основания может быть любого "промежуточного", включая концы, порядка. Такой геометрией обладает, например, цилиндрическое тело, имеющее характерные макро-, микро- и наноразмеры по различным направлениям.

Цель изучения курса "Концепции современного естествознания" – сформировать у будущего специалиста: целостное представление о процессах и явлениях, происходящих в живой и неживой природе; понимание возможностей современных научных методов познания природы и навыки овладения ими на уровне, позволяющем корректно формулировать задачи естественнонаучного содержания, возникающие в его профессиональной деятельности и обыденной жизни. В учебном пособии - более тысячи контрольных заданий в тестовой форме, что позволяет достичь цели, поставленной автором - самым эффективным образом научить студента трудиться самостоятельно, вдумчиво. Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов-экономистов и соответствует Государственным образовательным стандартам подготовки специалистов по межотраслевым специальностям: маркетинг (061 500, ЕН.Ф.02), бухгалтерский учет, анализ и аудит (060 500, ЕН.Ф.05), финансы и кредит (060 400, ЕН.Ф.05), а также мировая экономика (060 600, ЕН.Ф.03), экономика и социология труда (060 200, ЕН.Ф.02) и информационные системы (071 900, ЕН.Ф.02)

Получены различные формы представления условий совместности (сплошности) в тензорах деформаций и изгиба-кручения, а также в тензорах напряжений и моментных напряжений.

В работе дается оценка числа слагаемых в обобщенной проблеме Варинга для нечетных целозначных многочленов.

С использованием метода И.Н. Векуа представления общего решения эллиптических уравнений 2n-го порядка с помощью n аналитических функций получены общие решения гиперболических уравнений четвертого и шестого порядка в предположении, что правые части этих уравнений разлагаются в ряд по синусам относительно времени. К упомянутым уравнениям и уравнениям гиперболического типа более высокого порядка приводятся системы уравнений различных приближений для призматического тонкого тела в моментах относительно системы ортогональных полиномов Лежандра.

В статье вводится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли - целочисленных характеристик, естественным образом связанных с тензором структурных констант алгебры Ли. Доказывается нижняя оценка на степени полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления алгебры Ли, формулируемая в терминах кронекеровых индексов.

Проведен анализ подходов выделения головной части таксономического спектра флоры водорослей на примере разделенного по высотности местообитания полного списка видов из водоемов Южно-Таджикской депрессии, составляющего 1 072 вида (1 190 с разновидностями и формами) из 9 отделов. Статистически достоверными оказались результаты, полученные для таксонов всех уровней методом стандартного отклонения, а при выделении 10 таксонов только для уровня отделов, классов и порядков. Выделение методом 50% было адекватным только для маловидовых сообществ. Установлено, что видовое богатство уменьшается с возрастанием высотности местообитания, а внутривидовой полиморфизм, наоборот, увеличивается с 1,12 до 1,20. Присутствие цианобактерий во флоре снижается с высотой. Происходит также обогащение сообществ харовыми и диатомовыми водорослями наряду с увеличением индекса полиморфизма, что свидетельствует о большей адаптационной способности харовых и диатомовых в условиях климатических изменений.

Эта книга - уникальна. Пожалуй, нет любителей орхидей, кто не слышал бы о ней. Изданная сто лет назад, в 1913 году, не потерявшая актуальности и по сей день, она могла бы перенести десятки изданий, но не была переиздана ни разу. Ее написал известный в свое время человек: врач - терапевт и хирург, коллекционер живописи Иван Иванович Трояновский. Орхидеи были его сильным и долгим увлечением - до самой смерти. Трояновский стал одним из основателей и председателем Московского Общества Любителей Орхидей. Среди моря книг об орхидеях очень трудно встретить такую, по которой можно учиться выращивать и понимать эти прекрасные растения. Книга Трояновского - именно учебник. Прослеживая жизнь растений по месяцам на протяжении всего года, Трояновский дает подробные указания по культуре орхидей всех температурных групп, по сезонным работам и даже по устройству и отоплению оранжерей. Завершают книгу очень ценные для любителей «Краткие таблицы по культуре орхидей».

Книга объединяет круг вопросов, связанных с исследованием качественных свойств решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для уравнений в частных производных и связанных с ними спектральных задач. Содержатся подробные доказательства результатов, полученных авторами как классическими, так и оригинальными методами исследования.

Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Изложен широкий круг проблем и методов классического математического анализа, линейной алгебры, математического программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и нечетких множеств. Разнообразные примеры и задачи иллюстрируют применение рассмотренных методов. Представленные разделы относятся к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых является обязательным для подготовки специалистов в области экономики.

Учебник подготовлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по дисциплине «Концепции современного естествознания». Представлена широкая панорама естественнонаучных концепций в их историческом развитии, имеющих важное мировоззренческое и методологическое значение. Освещены различные процессы и явления в живой и неживой природе, принципы эволюции, воспроизводства и развития живых систем.

Практические занятия построены таким образом, чтобы студенты могли познакомиться с основными функциональными возможностями программы, получили практические навыки в регистрации растровых изображений, создании векторных карт и работе с геостатистикой. Практикум снабжен перечнем заданий и пояснениями к их выполнению. Пособие предназначено для бакалавров 3 курса, направления «География».

Анализируется реакция древостоев Западного Кавказа на возможное снижение численности доминирующих видов. Результаты показали, что в этом случае в древостоях следует ожидать роста численности сопутствующих видов, расширения ими спектра занятых местообитаний, появления новых видов (компенсационные процессы). Причем в древостоях одних типов можно ожидать существенного роста численности только одного из сопутствующих видов деревьев, преимущественно субдоминанта, в других – двух-трех, в третьих – большинства сопутствующих видов. Данные различия можно объяснить разным соотношением в ценозах видов деревьев с разной жизненной стратегией.

В случае заданного поля перемещений с использованием матричного подхода определяются деформации в длинном круглом цилиндре из несжимаемого материала, закручиваемом в условиях, близких к условиям плоской деформации. Рассматриваются различные аппроксимации представления матриц деформации, а также обобщающее их выражение в виде логарифма матрицы симметричного оператора, полученной путем перемножения прямой и транспонированной матриц оператора деформации (растяжения). Найдены выражения для компонент тензора деформаций.

Рассматривается пример нелинейного случайного блуждания на дискретной прямой Z. При определенном выборе параметров показывается, что он обладает некоторыми свойствами, отсутствующими в классическом случае, например имеет однопараметрическое семейство инвариантных мер и интеграл движения.

Итерационный попеременно-треугольный кососимметричный метод (ПТКМ) используется для решения СЛАУ, полученной при аппроксимации центрально-разностной схемой первой краевой задачи конвекции–диффузии–реакции и использовании стандартного перебора узлов сеточной области. Для знакопеременного коэффициента реакции даны достаточные условия неотрицатльной определенности матрицы СЛАУ, полученной в результате такой аппроксимации. Это свойство гарантирует сходимость достаточно широкого класса итерационных методов, в частности ПТКМ. На тестовых задачах проверено соответствие теории вычислительному эксперименту и дано сравнение ПТКМ и SSOR.

В пособии в сжатой и доступной форме освещены самые важные современные концепции физики, химии, философии, биологии и других наук о неживой и живой природе. Наиболее сложные вопросы и проблемы естествознания изложены в простой и ясной форме. Книга позволит быстро и качественно подготовиться к семинарам, зачетам и экзаменам.

Рассматриваются основные учения и школы современного естествознания, анализируется творчество выдающихся ученых-естественников, чьи идеи сыграли и продолжают играть исключительную роль в становлении и развитии духовной культуры, создании новой научной картины мира. Предлагается философское осмысление неживой и живой природы, учения о глубинном уровне структурной организации материи — элементарных частицах и полях, современные космологические концепции, теории, раскрывающие особенности пространственно-временного континуума, исследования взаимосвязи космоса и живой природы, систем «природа-биосфера-человек» и «биосфера-техносфера-ноосфера». Предлагаемые тесты способствуют более глубокому и эффективному усвоению дисциплины.

Предыдущие издания (ЮНИТИ, 1997, 1999, 2003) подтвердили актуальность этого учебного курса и возможность достижения главной цели — помочь студентам вузов (экономических и гуманитарных) овладеть современной естественно-научной картиной мира, синтезировать в единое целое гуманитарную и естественно-научную культуры, сформировать у будущих специалистов естественно-научный способ мышления, целостное мировоззрение. Учебник призван способствовать более эффективному усвоению курса и осознанию студентами фундаментальных принципов и закономерностей развития природы — от микромира до Вселенной.

Рассматриваемые в учебнике основные концепции естествознания составляют ядро современной научной картины мира и имеют важное значение для формирования научного мировоззрения и общей культуры студентов. Дается словарь важнейших терминов и понятий.

Учебник подготовлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по дисциплине «Концепции современного естествознания», которая входит в учебные планы всех гуманитарных специальностей вузов. В работе представлена широкая панорама концепций, освещающих различные процессы и явления в живой и неживой природе, описываются современные научные методы познания мира. Основное внимание уделено рассмотрению концепций современного естествознания, имеющих важное мировоззренческое и методологическое значение.

Учебное пособие является руководством по освоению и выполнению заданий дисциплины «Компьютерное моделирование». Содержит общие сведения о системе КОМПАС-3D, примеры моделирования деталей, создание сборки, контрольные вопросы. Пособие разработано в соответствии с учебной программой по дисциплине «Компьютерное моделирование».

Изложены результаты комплексных исследований по программе экспедиции «Арктический плавучий университет - 2014» на НИС «Профессор Молчанов» в акваториях Белого. Баренцева и Карского морей. Представлены данные по изучению арктических почв, биоресурсов прибрежных территорий. Рассмотрены вопросы адаптации человека к арктическим условиям. Проведен мониторинг арктического социокультурного пространства. Изучены политико-правовые и социально-экономические особенности поселений западного сектора Северного морского пути. Проведена ежегодная образовательная программа для студентов, магистрантов и аспирантов.

Сосна обыкновенная может приспосабливаться к различным экологическим условиям, развивая как глубоко идущую, так и поверхностную корневую систему. Данные о строении и развитии корневых систем сосны позволяют повысить эффективность лесокультурных, лесохозяйственных и гидротехнических мероприятий в лесопарковом хозяйстве, выявить опасные и аварийные деревья. Устойчивость деревьев связана с распределением скелетных корней в плоскости и их размерами. Поэтому целью исследования являлось изучение структуры корневой системы сосны в Архангельском лесничестве (Архангельская область). Исследования по изучению строения корневой системы сосны проводились в сосняках лишайниковом, мохово-лишайниковом, черничном и долгомошном. Корневую систему подроста и деревьев сосны изучали путем частичного или полного освобождения ее от почвы. Установлено, что в сосняке лишайниковом формируется полноценно развитый стержневой корень. В остальных типах леса стержневой корень имеет резко сбежистую форму (форму «редьки») или не развивается. У зрелых деревьев в сосняке черничном, долгомощном, мохово-лишайниковом четко выраженный стержневой корень отсутствует. В процессе взросления дерева он переходит в хорошо развитые горизонтальные корни или принимает горизонтальное направление. До 10-летнего возраста корневая система подроста развивается одинаково в различных типах леса. В более старшем возрасте происходит дифференциация структуры и пара-метров корневой системы в зависимости от условий произрастания. Превышение доли вертикальных корней после 10-летнего возраста указывает на наличие патологии корневой системы или нижней части ствола. Мощность корнеобитаемого слоя в сосняке черничном больше, но проникновение вглубь вертикальных корней и радиус скелетных корней преобладают в сосняке лишайниковом. Следовательно, устойчивость наземной части деревьев в сосняке лишайниковом формируется за счет развития стержневого и скелетных корней, в сосняке черничном – в результате значительной разветвленности как вертикальных, так и горизонтальных корней. Высокая вероятность вывала деревьев в сосняке долгомощном связана не только с поверхностной корневой системой, но и с патологией ее развития.

Методическое пособие «Краткий курс лекций по математическому анализу» предназначено для студентов направления «Педагогическое образование» естественно-научных профилей, содержит краткие теоретические сведения по ведущим разделам учебного курса «Математический анализ» и примеры решения основных задач. Пособие может быть использовано для подготовки к лекционным, семинарским занятиям, экзаменам и для самостоятельной работы студентов. Первая часть пособия посвящена определению функции – основного понятия математического анализа. Также рассматриваются вопросы, связанные с введением понятия предела.

Рассмотрена зависимость коэффициента динамической вязкости н-алканов от давления и температуры. На основании литературных данных построены однопараметрические корреляции для изобар. Выявлена линейная корреляция между температурами кипения, плавления и обнаруженным параметром барической зависимости вязкости для гомологического ряда алканов.

Разработана методика совместного количественного определения кортизола и его метаболита (6-бета-гидроксикортизола) в моче крыс. Анализ проводили с использованием метода высокоэффективной жидкостной хроматографии с тандемным масс-детектором. Предел количественного определения кортизола и его метаболита составил 1, 0 и 2, 5 нг/мл соответственно.

В статье предпринята попытка показать предпосылки создания и первый период деятельности кафедры аналитической химии химического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Особое внимание уделено организаторской, учебной и научной работе первых заведующих кафедрой аналитической химии профессоров А. Е. Успенского и Е. С. Пржевальского на рубеже 1920-1930-х годов. В статье использованы архивные источники, партийно-государственные документы, научная литература и воспоминания участников описываемых событий.

В среде сверхкритического водного флюида при синтезе бемита и корунда в их структуре образуются оптически активные сложные структурные комплексы, включающие ионы церия, кислородные вакансии и гидроксильные группы.

В настоящее время садово-парковые предприятия Санкт-Петербурга ежегодно составляют паспорта (реестры) объектов озеленения, в которых возраст деревьев указывается лишь в трех градациях: до 5, 5…15 и 16…30 лет. Но древесные породы в городских насаждениях живут и дольше, увеличивая при этом высоту и диаметр ствола. При инвентаризации городской растительности замеряют высоту и диаметр, а возраст отмечают по градациям, что совершенно не объективно. Цель наших исследований – установить зависимость между возрастом деревьев, произрастающих в сложных экологических условиях города, их высотой и диаметром. Задачами исследований являлись: изучение видового разнообразия паркового ценоза Московского парка Победы; оценка возрастной структуры насаждений парка; распределение деревьев парка по видам растений и ступеням толщины; установление зависимости возраста деревьев от их высоты и диаметра; статистическая оценка полученных уравнений связи возраста, высоты и диаметра деревьев. При исследованиях использовали определители древесных пород, общепринятую методику замера таксационных показателей деревьев и компьютерную программу для получения уравнений связи между возрастом деревь-ев, их высотой и диаметром. Установлено, что наиболее тесная связь между этими показателями характеризуется параболической кривой, что подтверждается значени-ем коэффициента детерминации (0,35…0,84) и среднеквадратическим отклонением (2,45…4,97 %). Прямая и гиперболическая зависимости характеризуются менее тес-ной связью. Используя полученные уравнения связи, можно установить возраст де-ревьев, необходимый для оценки возрастной структуры древостоя и назначения лесо-водственных мероприятий в парковых насаждениях Санкт-Петербурга. Результаты исследований планируется использовать в практике садово-паркового хозяйства крупных мегаполисов, а также в учебном процессе подготовки бакалавров по следующим направлениям: лесное дело, ландшафтная архитектура, землеустройство, кадастры

Проведено исследование влияния внешних и внутренних факторов на процессы фор-мирования годичных колец для трех видов хвойных (Larix sibirica, Pinus sylvestris, Picea obovata), произрастающих на двух участках с различной степенью почвенного увлажнения в лесостепной зоне Южной Сибири. Получены и рассмотрены индекси-рованные хронологии ширины годичных колец и нормированные хронологии анато-мических характеристик клеток древесины (количество клеток в годичном кольце, их радиальные размеры, толщина стенок). Данные характеристики являются резуль-татами трех этапов дифференцировки клеток. Нормировка клеточных хронологий к 15 клеткам была проведена для возможности сравнения годичных колец с разным количеством клеток. Были выявлены и математически описаны взаимосвязи между исследованными характеристиками древесины. Ширина годичных колец зависит от продукции клеток (т. е. от их количества) и фактически является результирующей характеристикой этого этапа дифференцировки клеток, судя по очень высокому уров-ню достоверности линейной аппроксимирующей функции. Радиальный размер клеток также существенно зависит от их продукции, эта зависимость нелинейная и аппрок-симируется экспоненциальной функцией. Связь между размером клетки и толщиной ее стенки более сложная, для ее аппроксимации были использованы полиномиальные функции. На основе этих соотношений предложена методика индексирования хроно-логий анатомических характеристик клеток. Были проанализированы статистические характеристики измеренных и индексированных хронологий (коэффициенты чувствительности, межсериальные коэффициенты корреляции, стандартные отклонения). Также проведен корреляционный анализ взаимосвязей разных характеристик между собой и одинаковых характеристик клеток, расположенных в разных частях годичного кольца. Результаты показали, что общий внешний сигнал наиболее сконцентрирован в камбиальной зоне, в процессе формирования клеток непосредственное влияние внешних факторов на их характеристики ослабевает. Для дендроклиматологии результаты данной работы дают методические приемы выделения влияния текущих климатических условий на анатомические характеристики клеток, что может быть использовано для реконструкции оказывающих значимое влияние на формирование древесины климатических факторов

На основании данных эксперимента, проведенного летом 2013 г., проанализирована пространственная изменчивость кислотности и химического состава атмосферных осадков в Москве и Подмосковье. Проанализированы синоптические процессы, применен метод обратных траекторий частиц. Показано, что более высокие значения pH характерны для восточных районов Подмосковья. Кислотные осадки могут наблюдаться как в центре города, так и в чистых удаленных районах. По составу ионов в целом можно говорить о преобладании кальция в комбинации с гидрокарбонатами, хлоридами, сульфатами. В пространственном распределении устойчивее сохранение соотношений основных ионов, а не минерализации и pH. В целом довольно пестрая картина распределения минерализации и pH (особенно внутри мегаполиса), скорее всего, свидетельствует о преобладании влияния локальных источников на загрязнение атмосферных осадков.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре аналитической хими и химического факультета Воронежского государственного университета.

Представлены результаты исследования региональных особенностей климатических колебаний пространственно-временного распределения льдов на акватории Баренцева моря в 1977—2010 гг. Показана динамика межгодовой и сезонной изменчивости основных элементов ледового режима (площадь ледяного покрова, положение кромки льда, продолжительность ледового периода). Выявлены общие черты и различия ледовых условий исследуемых акваторий.

На основе данных за 1948-2004 гг. с помощью объективных методов автоматической идентификации циклонов были выявлены основные районы зарождения средиземноморских циклонов, описаны основные закономерности путей их перемещения, определены особенности межсезонной изменчивости характеристики зарождения и перемещения средиземноморских циклонов.

Разработана комплексная двухмерно-одномерная математическая модель и численный метод для исследования волновых процессов в проточных системах открытых русел и водоемов. Математическая модель основана на базе одномерных, осредненных по поперечному сечению уравнений гидродинамики (уравнения Сен-Венана) и двухмерных, осредненных по ширине русла или водотока (продольно-вертикальная модель). Численный метод разработан с применением неявных разностных схем.