Краткий курс лекций по математическому анализу: теоретические основы и примеры решении задач: учебно-методическое пособие (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГЛАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.Г. КОРОЛЕНКО» КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЧАСТЬ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Для студентов направления «Педагогическое образования» естественно-научных профилей Глазов 2015

Стр.1

Утверждено на заседании кафедры математики, теории и методики обучения математике Протокол № __ от _________ Краткий курс лекций по математическому анализу: теоретические основы и примеры решении задач: учебно-методическое пособие для студентов направления «Педагогическое образования» естественно-научных профилей. Часть 1. Введение в анализ. – Глазов: Глазов. гос. пед. ин-т. 2015. – 56 с. Составитель: Н.В. Леонтьева, канд. пед. наук, старший преподаватель кафедры математики, теории и методики обучения математике ГГПИ им. В.Г. Короленко. Рецензент: Закирова Н. М., канд. технических наук, доцент Методическое пособие «Краткий курс лекций по математическому анализу» предназначено для студентов направления «Педагогическое образование» естественнонаучных профилей, содержит краткие теоретические сведения по ведущим разделам учебного курса «Математический анализ» и примеры решения основных задач. Пособие может быть использовано для подготовки к лекционным, семинарским занятиям, экзаменам и для самостоятельной работы студентов. Первая часть пособия посвящена определению функции – основного понятия математического анализа. Также рассматриваются вопросы, связанные с введением понятия предела. © Глазовский государственный педагогический институт, 2015

Стр.2

Часть 1. Введение в анализ Глава 1. Множество действительных чисел Числовая ось Основным понятием курса математического анализа является понятие действительного числа. Построение множества действительных чисел начинается с натуральных чисел. Числа вида 1, 2, 3, … называют натуральными числами. Множество натуральных . чисел обозначается Присоединение к натуральным числам нуля и чисел противоположных по знаку натуральным дает множество целых чисел. Обозначают множество целых чисел . Числа, которые можно представить в виде дроби p q , где и pq – целые числа ( q 0 ), называют рациональными. Множество рациональных чисел обозначается Можно показать, что существуют числа, не являющиеся рациональными. Такие . числа называют иррациональными. Присоединение множества иррациональных чисел к множеству рациональных чисел образует множество вещественных или действительных чисел, обозначаемое Замечание. Множество действительных чисел замкнуто относительно четырех . арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления). Для множества действительных чисел существует наглядная геометрическая интерпретация – числовая прямая или числовая ось. Определение 1. Числовой осью называют прямую, на которой выбраны начало отсчета точка O, единичный отрезок OE и положительное направление (рис. 1). O E Рис 1. Числовая прямая Обозначают числовую прямую также В большинстве случаев понятия числа и точки числовой оси не различают. . называют числовым промежутком и обозначают Иногда рассматривают не всю числовую ось, а только ее часть, которую обычно ab; обозначения и названия для отдельных видов промежутков:  ( ; )ab – интервал;  [ ; ]ab – отрезок;  ( ; ]ab – полуинтервал, содержащий конец b ; . Существуют следующие x

Стр.3

 [ ; )ab – полуинтервал, содержащий конец a . Величину ()b a b a называют длиной промежутка ab; равен , то получаем неограниченный промежуток или луч. Кванторы существования и общности Для более компактной записи математических выражений используют два основных два основных вида кванторов: – квантор существования, заменяющий выражение «существует» (обозначается ); – квантор общности, заменяющий «для всех» (обозначается ). Модуль действительного числа a 0 , или число a , если 1. Определение 2. Модулем действительного числа a называют само число a , если a aa a 0 . Иначе ,0 ,0   Основные свойства модуля: a 0 ; 2. aa  ; 3. aaa   ; 4. 5. a c c a c ac ac ac          , ( 0c  ); , ( 0c  ); 6.   aa    . a b a b ; 7.  ; a a , ( 0)b bb 8. 9. 10. a b a b a b a b    (неравенство треугольника);    ; a b a b    . . Если один из концов Грани числовых множеств Рассмотрим непустое множество действительных чисел {} бесконечное. Определение 3. Множество {}    . Число m называют нижней границей множества {} нижнюю границу, то оно имеет бесконечно много нижних границ.  x x x m m { }: x . Если множество имеет x , в общем случае x называется ограниченным снизу, если

Стр.4