РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
СИБИРСКИЙ
ЖУРНАЛ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ
№3
ТОМ 18
СЕНТЯБРЬ
ИЮЛЬ
2015
НОВОСИБИРСК
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ
ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ
СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Стр.1
СИБИРСКИЙЖУРНАЛ
Т. 18
№ 3
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
СибЖВМ
2015
Научный журнал
Сибирское отделение РАН
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
Редакционная коллегия:
Главный редактор
Зам. гл. редактора
Зам. гл. редактора
Отв. секретарь
С. И. Кабанихин
Ю.М. Лаевский
А.М. Мацокин
Л.Ф. Васильева
Члены редколлегии:
С. Н. Васильев, А.Ф. Воеводин,Ю. С. Волков, С.К. Годунов,
Б.С. Елепов, В. П. Ильин, Б.А. Каргин, А. Н. Коновалов, В.И. Кузин,
Ю.А. Кузнецов, В. Э. Малышкин, Г.А. Михайлов, В.Г. Романов,
Е. Е. Тыртышников, А.М. Федотов, В. В. Шайдуров, Ю.И.Шокин
Зав. редакцией Л.Ф. Васильева
Научные направления журнала: теория и практика вычислительных методов математики,
математической физики и других прикладных областей; математические модели
теории упругости, гидродинамики, газовой динамики и геофизики; распараллеливание
алгоритмов; модели и методы биоинформатики.
Журнал реферируется в «SCOPUS», «Zentralblatt Math», «Academic OneFile»,
«SCImago», «NA DIGEST», «EI-Compendex», «Expanded Academic», «Google Scholar»,
«OCLC», «Springer», «Summon by ProQuest».
Начиная с 2008 г. журнал переводится на английский язык и издается издательством
«Springer» под названием «Numerical Analysis and Applications».
Правила представления рукописей: рукописи, предназначенные для публикации в журнале,
должны быть посланы в адрес редакции в двух экземплярах, написаны на русском или английском
языках объемом не более 14 с., размер текста на странице 225х155 мм, шрифт 11 pt.
Статьи должны быть также представлены в электронной форме (файл PDF, файл в L
ATEXе
со вставленными рисунками в форматах: PNG или PCX, или BMP, или EPS, или CDR). К
статье должны быть приложены: заключение экспертного совета, английское название статьи
и транслитерация фамилий авторов (для русскоязычной публикации), аннотации на русском и
английском языках, код(ы) классификации УДК, ключевые слова и фразы и полная информация
об авторах, а также заполненный бланк Договора о передаче авторских прав с электронной
подписью без указания номера, тома и года выхода публикации. Публикации статей бесплатны
для всех. Электронные версии статей могут быть присланы по электронной почте.
Присланные в журнал рукописи статей не возвращаются.
Адрес редакции: Редакция СибЖВМ, ИВМиМГ СО РАН,
просп. Акад. Лаврентьева, 6, Новосибирск, 630090, Россия.
Тел.: (383)330-87-27. Факс: (383)330-87-83.
E-mail: sibjnm@sscc.ru
http://www.sscc.ru/SibJNM
- ИВМиМГ СО РАН, 2015
c
ii
июль–сентябрь
Основан в феврале 1998 г. Выходит 4 раза в год
Учредители:
Стр.2
СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. 2015. Т. 18, №3
Содержание
Баландин А.Л. Томография бессиловых полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Бандман О.Л., Киреева А.Е. Стохастическое клеточно-автоматное моделирование
колебаний и автоволн в реакционно-диффузионных системах . . . . . . . . . . 255
Бычков И.В., Зоркальцев В.И., Казазаева А.В. Весовые коэффициенты в
методе взвешенных наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Задорин А.И. Интерполяция Лагранжа и формулы Ньютона–Котеса для функций
с погранслойной составляющей на кусочно-равномерных сетках . . . . . . . . . . . 289
Окуонгае Р.И., Ихиле М.Н.О. Жестко устойчивые линейные многошаговые методы
со второй производной с двумя гибридными точками . . . . . . . . . . . . . . 305
Перепелкин Е.А. Обратная задача на собственные значения для одного класса
матриц второго и третьего порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Солодуша С.В., Япарова Н.М. Численное решение обратной граничной задачи
теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода . . . . . . . . . . . . . . 327
Тарков М.С. Решение задачи коммивояжера с использованием рекуррентной нейронной
сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
iii
Стр.3
СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. 2015. Т. 18, №3
УДК 514.7+517.98+519.61
Томография бессиловых полей
А.Л. Баландин
Институт динамики систем и теории управления им. В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии
наук, ул. Лермонтова, 134, Иркутск, 664033
E-mail: balandin@icc.ru
Баландин А.Л. Томография бессиловых полей // Сиб. журн. вычисл. математики /
РАН. Сиб. отд-ние.–– Новосибирск, 2015.––Т. 18, № 3.–– С. 237–253.
Для исследования бессиловых полей предложено использовать методы вычислительной томографии.
Для обращения лучевого преобразования разработан метод мультипольного разложения. Метод
основан на разложении векторного поля и лучевого преобразования по специальным базисным векторным
функциям. Приведены аналитические выражения лучевого преобразования базисных векторных
функций и представлены результаты численного моделирования.
DOI: 10.15372/SJNM20150301
Ключевые слова: вычислительная томография, сферические гармоники, обратные задачи.
Balandin A.L. Tomography of force-free fields // Siberian J. Num. Math. / Sib. Branch
of Russ. Acad. of Sci.–– Novosibirsk, 2015.––Vol. 18, № 3.––P. 237–253.
In order to investigate the force-free fields it is proposed to use the computerized tomography methods.
For the inversion of the ray transformation, the method of multipole fields expansion has been developed.
This method is based on the expansion of a vector field and the ray transformation over the special basis of
vector-functions. Analytical expressions for the ray transform of the basis vector-functions and the results of
computer simulation are given.
Keywords: computerized tomography, spherical harmonics, inverse problems.
1. Введение
В астрофизике [1, 2], в физике плазмы [3, 4], в задачах гидродинамики [5, 6] важную
роль играют так называемые бессиловые поля. Теория и множество приложений бессиловых
полей описаны в книге [7]. Бессиловые магнитные поля удовлетворяют условию,
что магнитное поле в некоторой области везде параллельно вектору плотности тока, т. е.
J Ч B = 0. Аналогом магнитным бессиловым полям в гидродинамике является поля,
удовлетворяющие условию
∇×V = ΩV ,
где V — скорость среды. Решения этого уравнения, когда Ω есть функция координат,
известны как поля Бельтрами (Beltrami); решения, когда Ω — постоянная величина,
являются полями Тркалиан (Trkalian). Таким образом, существует аналогия между скоростью
V и магнитным полем B, а также между завихренностью ∇ · V и вектором
плотности тока J. В работе предполагается разработка томографических методов диагностики
таких полей применительно к задачам физики плазмы, возможно также применение
этих методов для исследования Солнечной короны.
Проблема трёхмерной (3D) векторной томографии заключается в реконструкции неизвестного
векторного поля в ограниченной области по известному лучевому преобразованию.
Методы векторной томографии широко используются для исследования физических
объектов. Например, проблемы восстановления распределения поля скоростей и
магнитного поля в физике плазмы рассматривались в [8, 9], использование ультразвуковых
время-пролётных измерений в жидкостно-подобных средах для определения поля
- Баландин А.Л., 2015
c
Стр.4
238
СИБИРСКИЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. 2015. Т. 18, №3
скоростей свидетельствует о возможностях векторной томографии в исследовании физических
сред [10]. Другую информацию о приложениях и дополнительные ссылки по
векторный томографии можно найти в работах [11–15]. В отличие от скалярной томографии
задача векторной томографии не имеет единственного решения, так как ядро лучевого
преобразования содержит потенциальные поля с нулевыми граничными значениями.
Поэтому невозможно восстановить потенциальную составляющую векторного поля,
используя только результаты лучевого преобразования, а восстанавливается только соленоидальная
компонента. Достаточно эффективным методом для решения этой задачи
является метод мультипольного разложения, когда векторное поле и лучевое преобразование
разлагаются по определённым базисным функциям. При этом удобно выбрать
такую систему базисных векторных функций, что все компоненты и любые линейные
комбинации из этих компонент преобразовывались бы при повороте системы координат
единым образом. Такому условию удовлетворяет, например, совокупность 2l +1 сферических
функций Ylm; m = −l, . . . , l. Совокупность 2l+1 величин, которые при вращении
системы координат преобразуются так же, как сферические функции Ylm, называются
сферическими тензорами или тензорными сферическими гармониками [16]. Простейшим
примером такого сферического тензорного оператора (неприводимого тензорного оператора)
являются функции f(r)Ylm(ˆ
r), где f(r) — произвольная функция r, ˆ
fields) [20, 21], так как поля скоростей и магнитные поля, как правило, удовлетворяют
условию соленоидальности. ВекторыMm
l ,Nm
l ,Lm
соленоидальными векторами и, следовательно, формируют соленоидальный базис для
векторных полей.
Векторное поле g(r), подлежащее определению, рассматривается в системе координат
l ,Nm
векторные сферические гармоники решают проблему разложения произвольного векторного
поля [17–19], например, в задачах диагностики плазмы в качестве базисных векторных
функций удобнее использовать векторы Хансена Mm
r = r
r . Хотя
l (Hansen multipole
l , как видно из определения (9), являются
S(ex, ey, ez) в евклидовом пространстве R3 с координатами r = (x, y, z). В системе координат
регистрации проекционных данных S векторное поле имеет вид g(r), r = Rr.
C помощью матрицы вращения R cистема координат S переводится в систему координат
S. Векторное поле при этом преобразуется следующим образом:
g(r) = Rg(r) = Rg(R−1r) или в виде g(r) = Rg(R−1r).
Для произвольного вращения, определяемого положительными углами Эйлера (α,β, γ),
матрица вращения R записывается в виде
R =
cosαcosβ cos γ −sinαsin γ
sinαcosβ cos γ +cosαsin γ
−sinβ cos γ
−cosαcosβ sin γ−sinαcos γ
−sinαcosβ sin γ+cosαcos γ
sinβ sin γ
0 α < 2π, 0 β π, 0 γ < 2π.
Статья состоит из семи пунктов и приложения. Во введении кратко описана постановка
задачи и используемый инструмент для её решения. Определение и представление
бессилового поля даны в п. 2. В третьем пункте приводятся определение лучевого преобразования
и теорема о центральном сечении для векторных полей. В четвёртом и пятом
пунктах вводятся определения векторов Хансена, вычисляются их трёхмерные преобразования
Фурье и получены аналитические выражения лучевого преобразования для
векторов Хансена. Результат численного моделирования представлен в шестом пункте.
В приложении приведены некоторые вспомогательные данные.
cosαsinβ
sinαsinβ
cosβ
,
(1)
Стр.5