Фундаментальные и общие проблемы математики. Основания математики, математическая логика

Книга знакомит читателя с тем, как развивалось с течением времени понятие математического доказательства. Некоторые иллюстративные и интересные математические результаты приведены с доказательствами и поясняющими примерами. Рассмотрен вклад в историю доказательства многих великих математиков. Легкий и увлекательный стиль автора делает изложение доступным широкому кругу читателей.

Материал учебного пособия основан на лекциях, прочитанных автором в Южном федеральном университете по магистерской программе «Математическое образование» в рамках курса «История математики и математического образования в России». Учебное пособие содержит два модуля, в первом из которых изложена краткая история развития европейской математики XVII-начала XVIII вв.; второй модуль представляет собой биографический справочник выдающихся персоналий в области математики, создавших математику переменных величин. В приложениях представлены контрольно-измерительные материалы для входного и итогового контроля.

Нечёткая логика — обобщение классической логики и теории множеств, она базируется на понятии нечёткого множества, впервые введённого Лотфи Заде в 1965 году. Это не обычная «истинная или ложная» (1 или 0) логика, на которой основаны современные компьютеры. Принадлежность объекта к нечеткому множеству определяется не только условием «да или нет», но любыми условиями в интервале. Предметом нечёткой логики считается исследование рассуждений в условиях нечёткости, размытости, сходных с рассуждениями в обычном смысле, и их применение в вычислительных системах. В книге речь пойдёт далеко не о строгой математике: нечёткая логика является составной частью широкого понятия «искусственный интеллект». Область применения нечёткой логики колоссальна — от разработки устройства интеллектуальных кухонных приборов до построения систем управления сложными производственными процессами.

Учебное пособие затрагивает специальные разделы математики: математическая логика и теории автоматов, алгебра высказываний, исчисление высказываний, элементы теории алгоритмов, регрессионный анализ, методы оптимизации. Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки. Пособие содержит лабораторный комплекс и ряд инженерных задач с акцентом на программную реализацию методов вычислительной математики.

Криптография существует уже несколько тысяч лет. Мастерство шифрования и дешифровки было востребованным издревле и в разных целях, будь то тайная любовная переписка монарших особ или радиограммы военных разведчиков из вражеского тыла. Книга рассказывает об истории этой шпионской науки, парадоксах и витках в ее развитии, приведших к новым революционным открытиям; об ученых, внесших мировой вклад в криптографическое дело. Сегодня, когда информация приобретает едва ли не главную коммерческую ценность и политическое значение, искусство криптографии становится мощным средством в борьбе за влияние и превосходство. Грядет новый и решающий этап в эволюции вычислительных систем: эпоха квантовых компьютеров. Уже очень скоро информация, хранимая в наших базах данных, устремится в совсем другую реальность, странный и таинственный мир, открытый для нас Максом Планком век назад. Мир, в котором правят иные законы физики и живут иные частицы, делая его столь привлекательным для сокровенных человеческих тайн. Итак, мы снова ждем ответа на вопрос: грядет ли окончательная победа шифрования над дешифровкой в свете ожидаемого появления квантовых компьютеров?

Любому школьнику сложно: столько уроков, домашних заданий, книг и учебников. А сколько еще сложностей: проблемы с одноклассниками, встречи с новым и неизведанным, выбор будущей профессии и своего пути. Как во всем этом не запутаться? Как принимать правильные, логически выверенные решения? Как не запутаться в огромном океане информации? Логика и критическое мышление, один из самых ключевых навыков ХХI века. Эта книга как раз об этом. Она интересная и нескучная, в ней собраны 10 историй, с которыми так или иначе встречался каждый. Авторы этой книги, настоящие исследователи критического мышления, помогут найти правильные ответы и все разложить по полочкам.

Книга является второй частью монографии «Классификация счётных моделей полных теорий», состоящей из двух частей. В книге рассмотрены генерические эренфойхтовы теории и реализации предпорядков Рудин–Кейслера в этих теориях; решение проблемы Гончарова–Миллара о существовании эренфойхтовой теории, имеющей счётные, не почти однородные модели; стабильные генерические эренфойхтовы теории (решение проблемы Лахлана); гиперграфы простых моделей и распределения счётных моделей малых теорий, а также распределения счётных моделей теорий с континуальным числом типов.

Учебное пособие включает программу экзамена по математической логике и теории алгоритмов, вопросы для самопроверки разной степени сложности по разделам математической логики и теории алгоритмов и ответы к ним, рекомендации к выполнению контрольной работы. Учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы и подготовки к тестированию.

Изложен теоретический материал по разделам дискретной математики: множества, отношения, математическая логика, графы, который проиллюстрирован большим количеством примеров. Каждый раздел завершается вопросами и заданиями для самоконтроля. Приведены задания для самостоятельной работы.

Нечёткая логика — раздел математики, обобщающий классическую логику и теорию множеств. В книге рассмотрен путь становления нечёткой логики как совершенно новой области науки, ее составляющие, принципы, противоречия и прогнозы развития. Но речь пойдёт далеко не о строгой математике: нечёткая логика является составной частью широкого понятия «искусственный интеллект». Область применения нечёткой логики колоссальна — от разработки устройства интеллектуальных кухонных приборов до построения систем управления сложными производственными процессами.

Чем больше одни стремятся что-то скрыть, тем больше другие хотят это «что-то» узнать. Когда люди только научились писать, их тайны материализовались, представ в образе символов, иероглифов, букв, цифр. Но в таком виде они стали доступны другим. С этого времени началось извечное соревнование между шифровальщиками, пытающимися скрыть информацию, и криптоаналитиками, стремящимися расшифровать ее. Криптография сегодня — это область научных, прикладных, инженерно-технических исследований, основанная на фундаментальных понятиях математики, физики, теории информации и сложности вычислений. В книге рассказывается об истории криптографии: от примитивных систем шифрования и дешифровки, придуманных людьми еще в древние времена, до современных компьютерных алгоритмов — как существующих, так и тех, над которыми работают нынешние ученые-криптографы.

В пособии рассмотрены различные подходы к формализации понятия алгоритм: машина Тьюринга, алгоритмы Маркова, рекурсивные функции. Пособие ориентировано на студентов 3-4 курсов математических факультетов педагогических вузов, обучающихся по специальности 050201 «Математика и информатика» и 050202 «Информатика и математика».

Рассмотрены машины Тьюринга, вопросы алгоритмической разрешимости, основные классы сложности, NP-полнота, схемная сложность.

Приведены краткие теоретические сведения по математической логике. Даны темы лабораторных работ. Методические указания содержат задания по традиционным разделам курса математической логики и теории алгоритмов.

В учебном пособии реализуются принципы вариативности исследовательских профессионально-ориентированных задач и технических проблем, допускающих моделирование математическими средствами, в основном известными студентам технических университетов из курса высшей математики. Анализируются эвристические методы составления и решения профессионально-ориентированных задач, затрагиваются проблемы понимания исследователем собственных ощущений и способов мыслительной деятельности во время исследования и творческого процесса. Учебное пособие можно использовать в качестве дополнения к существующим учебным пособиям по математике.

Книга содержит основные сведения из формально-логических систем. Это функции алгебры логики (булевы функции), теорема Поста о функциональной полноте, k-значные логики, производные булевых функций, аксиоматические исчисления высказываний, предикатов, секвенций, резолюций и язык программирования Пролог. Рассматриваются монадическая логика, конечные автоматы и представимые ими языки, темпоральная логика, аксиоматический язык программирования OBJ3. В основу книги положен многолетний опыт преподавания авторами дисциплины «Дискретная математика» на факультете бизнес-информатики, на факультете компьютерных наук Национального исследовательского университета Высшая школа экономики и на факультете автоматики и вычислительной техники Национального исследовательского университета Московский энергетический институт.

Учебное издание содержит краткий теоретический материал по каждому из разделов дисциплины «Теория множеств», примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения.

Рассматривается естественное обобщение свойства редукции для полимодальных алгебр доказуемости на произвольные GLP-алгебры. В частности, это свойство установлено для свободных GLP-алгебр и для некоторых топологических GLP-алгебр (GLP-пространств)

Построение "родственных" последовательностей автоморфизмов.

Книга представляет собой краткое, но математически строгое введение в анализ различных алгоритмов с точки зрения доказывания их правильности. Вы ознакомитесь с основными свойствами линейных, ветвящихся и циклических алгоритмов и способами их проверки. Книга содержит большое количество теоретических задач и практических примеров на языке Python.

Продолжение исследования проблемы "странности" деревьев.

В книге, написанной коллективом нейробиологов из Института биологии развития РАН и группой математиков из Института проблем управления РАН, излагается гетерохимическая концепция работы нервной системы. Согласно этой концепции, распространенное представление о мозге как о рефлекторной «проволочной сети» не соответствует действительности. Решающую роль в его работе играют эндогенно активные нейроны и ансамбли, способные генерировать поведение даже в отсутствие внешних стимулов, а язык общения между нейронами и отделами нервной системы является химическим. Этот язык основан на разнообразии сигнальных молекул — нейротрансмиттеров и нейрогормонов, которые действуют не только в синаптических щелях, но и во всем межклеточном пространстве. В книге рассказывается об эволюции языка нейротрансмиттеров, о клеточных механизмах генерации поведения, нейромодуляции, роли трансмиттеров в выборе поведения и адаптации к внешним переменам. Для математической формализации этой концепции понадобились принципиально новые подходы, которым посвящена вторая часть книги. В ней дается обзор математических моделей нейронов и нейронных сетей и подробно описывается оригинальная дискретная модель химических взаимодействий между нейронами. Приводятся разнообразные примеры моделирования реальных нервных систем с помощью этой модели.

Учебное пособие (продолжение одноименного учебного пособия, изданного в 2004 г.) посвящено различным аспектам построения и анализа эффективных алгоритмов решения некоторых задач. Материал разбит на главы по предметным областям и по методам решения задач. Главы посвящены геометрическим методам в задачах информатики, рекурсии, динамическому программированию и структурам данных. Пособие рассчитано на студентов факультетов информатики и вычислительной техники, обучающихся по специальности 351500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем (дисциплина "Методы построения эффективных алгоритмов", блок ДС), очной формы обучения, а также может оказаться интересным для школьников, принимающих участие в олимпиадах по информатике.

В основу данной работы положено представление о том, что информация - это содержание символа, изображенного различными графическими конструкциями. В монографии обсуждаются все аспекты измерения и переработки информации посредством анализа графических символьных конструкций.

Настоящее учебное пособие содержит базовые теоретические представления и методы решения основных типовых задач по курсам «Дискретная математика» и «Дискретная математика, математическая логика и их приложения в математике и компьютерных науках».

Логика высказываний рассматривается в данном учебном пособии применительно к восприятию студентов-гуманитариев, с более подроб- ным, чем в классических учебниках, изложением наиболее важных ее разделов. Адресовано студентам, изучающим курс «Логика» в рамках социаль- но-экономических и гуманитарных направлений подготовки.

Рассматривается решение логико-познавательных задач, охватывающих все важнейшие разделы учебной дисциплины «Математика и информатика»: кодирование и представление информации в ЭВМ, множества, элементы математической логики, введение в теорию вероятностей. Приводится необходимый минимум теоретических знаний. Примеры сопровождаются иллюстрациями, схемами и таблицами, позволяющими неформально усвоить материал, помогающий развитию мыслительных способностей студентов. Приводятся задания для самостоятельного решения.

Проблема анализа произведений искусства математическими методами.

В представленном пособии в доступной форме рассказывается о фундаментальных понятиях дискретной математики – логике, булевых функциях, множествах, отношениях и графах. Теория изложена кратко, но иллюстрирована многочисленными простыми для понимания примерами. Изложение курса дискретной математики представлено в форме решения математических задач различной сложности, связанных с программированием. Предложены алгоритмы решения этих задач, написанные на «псевдокоде». Пособие может быть использовано при изучении дисциплин «Дискретная математика», «Информатика», «Линейная алгебра и дискретная математика», «Логика» студентами института легкой промышленности моды и дизайна (направление подготовки «Информационные системы и технологии»), инженерного химико-технологического института (направление подготовки «Информационная безопасность»), института управления, автоматизации и информационных технологий (направление подготовки «Информатика и вычислительная техника»).

Изданная в Германии в 1930 г., книга выдающегося гроссмейстера, чемпиона мира, философа и математика Эм. Ласкера впервые выходит на русском языке. Любители шахмат почерпнут из этой книги основы и других, не менее увлекательных игр, таких как го, английские и немецкие шашки, трик-трак, также изобретенной самим маэстро игрой «Ласка»; «поломают» голову над математическими задачами, предназначенными для своего рода состязаний.

В пособии изложены основные вопросы булевой алгебры. Рассмотрены свойства булевых функций, методы их минимизации и приведения к нормальным формам. Приведено описание всех замкнутых классов булевых функций, а также методы определения полноты систем таких функций. Кроме того, в пособии рассматриваются вопросы практического применения булевой алгебры при построении математических моделей в различных областях. Помимо основных понятий и теоретических результатов, пособие включает алгоритмы и примеры решения типовых задач, поэтому оно является не только дополнением к материалам лекций по курсу «Дискретная математика», но и поддержкой самостоятельной работы обучающихся. Подготовлено на кафедре информатики и вычислительной математики.

Один из крупнейших в мире научных журналов, орган Президиума Российской академии наук. Журнал «Доклады Российской академии наук» публикует сообщения о крупных научных исследованиях, имеющих приоритетный характер, и оригинальных, нигде ранее не опубликованных исследованиях в области математики, естественных и технических наук. В архиве журнала публикации членов Российской Академии наук, а также членов других академий и видных ученых зарубежных стран. В работе издания участвуют научные работники учебных институтов, университетов и НИИ страны. Журнал рассчитан на специалистов во всех областях математики и естествознания.

Составленный Проклом комментарий к первой книге "Начал" Евклида впервые переведён на русский язык в полном объёме. Трактат Прокла – это единственный дошедший до наших дней античный комментарий к Евклиду. Он представляет первостепенный интерес как с точки зрения истории математики и её преподавания, так и с точки зрения истории философии.

В пособии изложены основы универсальной алгебры и теории квазимногообразий, разделов математики, находящихся на стыке алгебры и математической логики. От читателя требуется владение основами алгебры в рамках курса «Линейная алгебра», читаемого на I курсе всех факультетов НГТУ.

Посвящено теории счетчиковых машин, представляющих собой абстрактные математические модели вычислений. Затрагивает интересные факты из теорий вычислимости и сетей Петри, не вошедшие в известные классические монографии. Основное внимание уделяется счетчиковым машинам «малой размерности», т.е. машинам, содержащим один, два или три счетчика. Наибольший интерес представляют занимающие центральное положение в этом пособии результаты исследований Р. Шреппеля о «чистой» вычислительной способности двухсчетчиковых машин Минского и результаты Дж. Хопкрофта и Ж.-Ж. Пансио о полулинейности множества достижимости двумерных систем векторного сложения с состояниями.

Юи, дочь владельцев отеля, мечтает оснастить его по последнему слову техники. Но прежде, чем строить крупные планы, надо справиться с решением элементарных задач – в частности, наладить работу электрического оборудования в здании. Героиня манги пройдёт все этапы знакомства с электрооборудованием, начиная с простейшего (розетки и выключатели) и заканчивая электроприборами и сложными системами, включая трансформаторную подстанцию, аварийное освещение и средства защиты от стихийных бедствий. В разделах изложена базовая информация, при этом в каждой главе приводится дополнительный материал. Те, кому достаточно получить общее представление об устройстве и работе электрооборудования, могут пропустить эти страницы и остановиться на начальном уровне.

В пособии изложены основы универсальной алгебры и теории решеток, разделов математики, находящихся на стыке алгебры и математической логики. От читателя требуется владение основами алгебры в рамках курса «Линейная алгебра», читаемого на I курсе всех факультетов НГТУ.

Учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплин «Дискретная математика», «Математическая логика и теория алгоритмов». Пособие содержит краткий курс дискретной математики и математической логики. В каждом разделе приведены подробно разобранные примеры.

Предлагается программа для моделирования и анализа рассуждений.

Формирование математической логики, отличие ее от интегрированной.

Настоящее пособие включает основные вопросы программы философской части кандидатского экзамена по данному курсу и предназначено для аспирантов и соискателей ученых степеней всех научных специальностей, относящихся к блоку математических наук. Пособие адресовано также тем, кто интересуется историей и методологией математики.

Монография посвящена автоматным счетчиковым машинам и тем формальным языкам, которые способны распознавать/задавать эти абстрактные математические машины. Приведенные здесь результаты представляют интерес как для теории формальных моделей вычислений, так и для теории формальных языков, поскольку автоматные счетчиковые машины (и соответственно их языки) занимают особое положение в иерархии формализмов в границах от конечных автоматов до машин Тьюринга (счетчиковых машин Минского). Свойства автоматных счетчиковых машин изучаются с привлечением теории правильных квазипорядков и теории вполне структурированных систем переходов, которые оказываются полезными для решения задач анализа семантических свойств различных формальных моделей, являющихся более слабыми по вычислительной мощности (выразительной способности), чем машины Тьюринга.

Пособие подготовлено на кафедре функционального анализа и операторных уравнений математического факультета Воронежского государственного университета

Один из крупнейших в мире научных журналов, орган Президиума Российской академии наук. Журнал «Доклады Российской академии наук» публикует сообщения о крупных научных исследованиях, имеющих приоритетный характер, и оригинальных, нигде ранее не опубликованных исследованиях в области математики, естественных и технических наук. В архиве журнала публикации членов Российской Академии наук, а также членов других академий и видных ученых зарубежных стран. В работе издания участвуют научные работники учебных институтов, университетов и НИИ страны. Журнал рассчитан на специалистов во всех областях математики и естествознания.

Один из крупнейших в мире научных журналов, орган Президиума Российской академии наук. Журнал «Доклады Российской академии наук» публикует сообщения о крупных научных исследованиях, имеющих приоритетный характер, и оригинальных, нигде ранее не опубликованных исследованиях в области математики, естественных и технических наук. В архиве журнала публикации членов Российской Академии наук, а также членов других академий и видных ученых зарубежных стран. В работе издания участвуют научные работники учебных институтов, университетов и НИИ страны. Журнал рассчитан на специалистов во всех областях математики и естествознания.

В данном методическом пособии рассматриваются основы проектирования систем и управления сложными экономическими объектами, а также вопросы моделирования экономических процессов.

Курс обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из важных разделов современной математики и имеет большое значение в современном математическом образовании. Данное учебное пособие посвящено вопросам существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения вида y′ = f (x, y), зависимости решения от параметров, интегрированию некоторых уравнений первого и n-го порядка в квадратурах. Рассматриваются методы нахождения аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Пособие содержит большое число подробно решенных примеров различного уровня сложности, что способствует глубокому усвоению теории.

Один из крупнейших в мире научных журналов, орган Президиума Российской академии наук. Журнал «Доклады Российской академии наук» публикует сообщения о крупных научных исследованиях, имеющих приоритетный характер, и оригинальных, нигде ранее не опубликованных исследованиях в области математики, естественных и технических наук. В архиве журнала публикации членов Российской Академии наук, а также членов других академий и видных ученых зарубежных стран. В работе издания участвуют научные работники учебных институтов, университетов и НИИ страны. Журнал рассчитан на специалистов во всех областях математики и естествознания.

публикуются результаты исследований по биологическим, физико-математическим и техническим наукам. В разделе «Математика и компьютерные науки» публикуются результаты, полученные в области теоретической, прикладной математики, компьютерных наук. В разделе «Физика и технические науки» публикуются результаты исследований по физическим и техническим наукам, в том числе по общим вопросам физики, общим проблемам физического эксперимента, физике элементарных частиц, теории полей и др. В разделе «Естественные науки» публикуются результаты фундаментально-ориентированных исследований в области рационального природопользования и охраны природных ресурсов, многолетних исследований по физиологии развития человека, биоразнообразию Северного Кавказа, рассматриваются вопросы создания концептуальной модели онтогенеза и адаптации в условиях полимодальных воздействий среды, создания и реализации здравоцентристской парадигмы здоровья учащейся молодежи, экологические основы рационального освоения природных ресурсов. В разделе «Геоинформационные системы» публикуются данные, составляющие интеллектуальную географическую информационную систему, основанные на знаниях и обеспечивающие комплексную диагностику эколого-ресурсного потенциала территории, рассматриваются вопросы технологии автоматизированной географической диагностики территории и др

В учебном пособии рассматриваются основные виды нетиповых задач, предлагаются упражнения по арифметике, алгебре, непосредственно связанные с преподаванием математики в начальной школе, и методы их решения. Учебное пособие написано для студентов факультета педагогики и методики начального образования, преподавателей педагогических вузов и колледжей, учителей начальных классов