Книга 1.indb 1
11.03.2013 22:21:20
Стр.1
ARISTEAS. Philologia classica et historia antiqua.
Supplementa. Volumen III.
Книга 1.indb 2
11.03.2013 22:21:20
Стр.2
Прокл Диадох
КОММЕНТАРИЙ К ПЕРВОЙ
КНИГЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА
Перевод А.И. Щетникова
Университет Дмитрия Пожарского
Москва
2013
Книга 1.indb 3
11.03.2013 22:21:20
Стр.3
УДК 821.14’02
ББК 83.3(0)3
Щ-70
Подготовлено к печати и издано по решению Ученого совета
Университета Дмитрия Пожарского, 2012 год
Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида
(перевод А.И. Щетникова). – М.: Русский Фонд Содействия Образованию
и Науке, 2013. – 368 с. – (Приложение № III к журналу «Аристей.
Вестник классической филологии и античной истории»).
Составленный Проклом комментарий к первой книге Начал Евклида
впервые переведён на русский язык в полном объёме. Ранее
Ю.А. Шичалин перевёл и издал в 1994 году Введение к этому комментарию,
составляющее около 1/6 от объёма всего текста.
Трактат Прокла – это единственный дошедший до наших дней
античный комментарий к Евклиду. От представляет первостепенный
интерес как с точки зрения истории математики и её преподавания, так
и с точки зрения истории философии. Прокл излагает в трактате свои
взгляды на природу математики и математического мышления, обсуждает
устройство математических текстов, даёт краткий очерк истории
античной математики.
В трактате содержится обсуждение аксиом, постулатов и определений
Евклида, а также даётся подробный комментарий ко всем 47
предложениям I книги Начал. Особый интерес представляет обсуждение
Проклом проблематики, связанной с V постулатом Евклида. В
частности, здесь обсуждаются античные попытки доказательства V постулата,
и одно из таких доказательств принадлежит самому Проклу.
© Щетников А.И., 2013
© Белоусова А.В., верстка, оформление, 2013
© Русский Фонд Содействия Образованию и Науке, 2013
ISBN 978-5-91244-063-2
Книга 1.indb 4
11.03.2013 22:21:20
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРОКЛ И ЕГО КОММЕНТАРИЙ
К ПЕРВОЙ КНИГЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА .................. 7
Жизнь Прокла ........................................ 7
Сочинения Прокла и краткий обзор его философии ......... 9
Евклид и его «Начала» ................................ 12
«Введение» Прокла и жанр математического наставления ... 18
Философия математики у Прокла ....................... 20
Прокл как комментатор «Начал» ........................ 23
«Начала» как осевое произведение античной математики ... 27
Текст и перевод ...................................... 28
Литература .......................................... 28
ВВЕДЕНИЕ: Часть I ..................................... 32
Глава 1. Промежуточное положение математических
предметов ........................................... 32
Глава 2. Общие начала математического бытия:
предел и беспредельное ............................... 34
Глава 3. Общие математические теоремы ................. 36
Глава 4. Как существует общее знание? .................. 37
Глава 5. Критерий математических наук. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 6. Порождение математических родов и видов ....... 40
Глава 7. Устройство общей математики .................. 45
Глава 8. Польза математики ............................ 46
Глава 9. Ответ всем тем, кто принижает математику ....... 51
Глава 10. В самом ли деле Платон отвергает математику? ... 53
Глава 11. Требования, предъявляемые к математику ........ 56
Глава 12. Пифагорейское разделение математических наук . . 59
Глава 13. Разделение математических наук по Гемину ...... 61
Книга 1.indb 5
11.03.2013 22:21:20
Стр.5
6 Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «НАЧАЛ»
Глава 14. Почему венцом математических наук считается
диалектика? ......................................... 65
Глава 15. Возникновение имени математики .............. 67
ВВЕДЕНИЕ: Часть II .................................... 69
Глава 1. Геометрическая материя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Глава 2. Предмет геометрии ............................ 75
Глава 3. Различие геометрии и арифметики ............... 77
Глава 4. Геометрия в целом. Применение геометрии ....... 79
Глава 5. Возникновение и развитие геометрии ............ 81
Глава 6. Математические сочинения Евклида ............. 86
Глава 7. Назначение «Начал» ........................... 87
Глава 8. Смысл слова «элемент» ........................ 88
Глава 9. Порядок предложений в «Началах» .............. 91
Глава 10. Цель первой книги ........................... 96
Глава 11. Деление первой книги ........................ 97
Глава 12. Обращение к читателю ........................ 98
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ....................................... 99
ПОСТУЛАТЫ И АКСИОМЫ ........................... 167
ПРЕДЛОЖЕНИЯ: ЧАСТЬ 1 ............................. 183
ПРЕДЛОЖЕНИЯ: ЧАСТЬ 2 ............................. 299
Книга 1.indb 6
11.03.2013 22:21:20
Стр.6
362 Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «НАЧАЛ»
к прямому углу прилежат стороны 3 и 4, а противолежит 5, так
что квадрат 5 равен квадратам этих сторон. Ведь он равен 25, а
квадрат 3 равен 9 и квадрат 4 равен 16. Так что сказанное ясно
для чисел.
Известны определённые методы нахождения таких треугольников,
один из которых приписывают Платону, другой –
Пифагору. Метод Пифагора исходит из нечётных чисел. Этот
метод принимает данное нечётное число за меньший из катетов,
и, возведя его в квадрат и вычтя единицу, принимает половину
остатка за больший катет. Прибавив к последнему единицу,
получаем гипотенузу. К примеру, возьмём три, возведём в
квадрат, вычтем единицу из 9, возьмём половину от 8, а именно
4, прибавим единицу и получим 5. Найден прямоугольный треугольник
со сторонами три, четыре, пять. Метод Платона исходит
из чётных чисел. Данное чётное число берётся как один
из катетов, делится пополам, и половина возводится в квадрат;
прибавлением единицы к квадрату [429] получаем гипотенузу,
а вычитанием единицы из квадрата получаем другой катет. К
примеру, возьмём 4, половину от него, то есть 2, возведём в
квадрат и получим 4. Вычитая единицу, получим 3, а прибавляя
единицу, получим 5. И вот построен тот же самый треугольник,
что и предыдущим методом. Ведь квадрат этого числа равен
квадрату 3 и квадрату 4, сложенным вместе.
Всё это выходит за рамки рассматриваемого вопроса. Но
поскольку доказательство автора Начал является ясным, я думаю,
что мне здесь не следует быть многоречивым, но нужно
удовлетвориться написанным. Ведь те, кто делали добавления
к этому, как последователи Герона и Паппа, по необходимости
добавляли то, что доказывается в шестой книге, хотя оно и не
относится к делу. Так что мы сейчас последуем дальше.
Книга 1.indb 362
11.03.2013 22:21:49
Стр.362
ПРЕДЛОЖЕНИЯ: Часть 2
363
XLVIII. Если в треугольнике квадрат на одной стороне
равен квадратам на двух оставшихся сторонах, то
угол между оставшимися сторонами треугольника
будет прямым.
Эта теорема обратна предыдущей как целое к целому. Ведь
если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен
квадратам оставшихся сторон; [430] и если он равен квадратам
оставшихся сторон, то треугольник прямоугольный, и прямой
угол охвачен оставшимися сторонами. Доказательство автора
Начал ясно. Пусть имеется треугольник ΑΒΓ, и квадрат на ΑΓ
равен квадратам на ΑΒ, ΒΓ. Восставим из точки Β перпендикуляр
к ΒΓ. Если кто-то скажет, что автор Начал провёл перпендикуляр
по другую сторону, а не по эту, мы ответим, что это
рассуждение – о невозможном, ибо он не может падать ни внутри
треугольника, ни снаружи, но только по ΑΒ. Но допустим,
что это возможно, и пусть он падает по ΒΕ. Тогда, поскольку
угол ΕΒΓ – прямой, угол ΓΖΒ будет острым, а смежный с ним
угол ΑΖΒ – тупым. Тем самым ΑΒ больше ΒΖ. Поскольку положено,
что ΑΒ равна ΒΕ, соединим ΕΓ. Поскольку угол ΕΒΓ –
прямой, тем самым квадрат на ΕΓ равен квадратам на ΕΒ, ΒΓ.
Но ΕΒ равна ΒΑ, и квадрат на ΕΓ равен квадратам на ΑΒ, ΒΓ.
Стало быть, квадрат на ΕΓ равен квадрату на ΑΓ, и тем самым
ΕΓ равна ΑΓ. Но ΕΒ равна ΑΒ. Получается, что построенные
на ΒΓ прямые ΒΕ, ΕΓ соответственно равны [431] прямым ΒΑ,
ΑΓ, что невозможно.
Книга 1.indb 363
11.03.2013 22:21:49
Стр.363
364 Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «НАЧАЛ»
Пусть теперь перпендикуляр не падает внутри. Но он не может
падать и снаружи, по другую сторону от ΑΒ. Допустим, что
это возможно, и пусть он падает по ΒΗ, и пусть ΒΗ равна ΑΒ.
Соединим ΓΗ. Поскольку угол ΗΒΓ – прямой, тем самым квадрат
на ΗΓ равен квадратам на ΒΗ, ΒΓ. Но ΒΗ равна ΒΑ, поэтому
квадрат на ΗΓ равен квадратам на ΑΒ, ΒΓ. Однако и квадрат на
ΑΓ равен квадратам на ΑΒ, ΒΓ. Поэтому ΗΓ равна ΑΓ. Но на той
же прямой ΒΓ также и ΗΒ равна ΒΑ, что невозможно. Так что
перпендикуляр, восставленный к ΒΓ в точке Β, не может падать
ни внутри, ни снаружи. Поэтому он падает по ΑΒ, и треугольник
ΑΒΓ – прямоугольный. И возражение разрешено.
Этой теоремой автор Начал завершает свою первую книгу.
Он представил здесь много видов обращения: целое к целому,
целое к части, часть к целому. Он научил нас решению многих
задач: как делить линии и углы, как размещать, строить,
прикладывать. Он коснулся так называемых парадоксальных
мест в математике и познакомил нас с местными теоремами;
[432] он обсудил общие и частные теоремы; он показал разницу
между неопределёнными и определёнными задачами; и
мы, следуя ему, всё это отчётливо изложили. Целую книгу он
посвятил обзору теории простейших прямолинейных фигур,
отыскивая их построение и исследуя присущие им свойства.
Что касается нас, если мы сумеем так же пройти и через
остальные книги, нам надо будет возблагодарить богов; но
если нас отвлекут другие занятия, мы предложим любителям
этой теории последовательно разобрать остальные книги таким
же путём, излагая все сложности и разделяя найденное,
поскольку имеющиеся сейчас комментарии полны неясностей
и ничего не дают для изложения причин, диалектических различений
и философской теории.
Книга 1.indb 364
11.03.2013 22:21:49
Стр.364
УНИВЕРСИТЕТ ДМИТРИЯ ПОЖАРСКОГО
КНИГИ, ПЛАНИРУЮЩИЕСЯ К ИЗДАНИЮ В 2012 г.
(книги, уже готовые к изданию
или находящиеся на стадии редактуры и верстки):
ИСТОРИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ:
1. Каштанов C.М.: «Исследование о молдавской грамоте XV века»
2. Мереминский С.Г.: «История Англов. Генрих Хантингдонский»
3. Баранова С.И.: Керамическая «летопись» колокольни храма Святых
Адриана и Наталии (Святых Апостолов Петра и Павла) в Москве
4. «Каталог нательных крестов, обнаруженных в ходе археологических
исследований в Москве в 1989—2009 гг.». Под руководством Главного
археолога города Москвы, академика РААСН и ААН, профессора
Александра Григорьевича Векслера
5. Каталог «Скандинавские древности на территории Руси. VIII—XIII
вв.». Руководители проекта: д.и.н. Мельникова Е.А., д.и.н. Петрухин
В.Я., к.и.н. Пушкина Т.А., д-р И. Янссон
6. Немецкие хроники Х – ХI вв. и Адам Бременский. Деяния архиепископов
Гамбургской церкви
7. Марей А.В.: «Вестготская правда»
8. Джаксон Т.Н.: «Исландские королевские саги о Восточной Европе»
9. Виноградов А.Ю.: «Деяния Андрея и Матфия в городе людоедов»
ИСТОРИЯ ДРЕВНЕЙ И СРЕДНЕВЕКОВОЙ РУСИ:
10. Столярова Л.В.: «Детектив 16-го века: расследование причин смерти
царевича Дмитрия на базе сохранившихся исторических источников»
11. Ткаченко В.А. «Некрополь Свято-Троицкой Сергиевой лавры конца
XIV — начала XXIв.»
12. Евсеева Л.М.: «Аналойные иконы в Византии и Древней Руси. Образ
и литургия»
13. Монография: «Древняя Русь в свете зарубежных источников». Под
редакцией Т.Н. Джаксон, И.Г. Коноваловой, Е.А. Мельниковой, А.В.
Подосинова, Г.В. Глазыриной. Данная монография издается в комплекте
с пятитомником одноименной хрестоматии: «Античные источники»,
«Византийские источники», «Древнескандинавские источники»,
«Восточные источники», «Западноевропейские источники».
Книга 1.indb 365
11.03.2013 22:21:49
Стр.365
ЭТНОГРАФИЯ, АРХЕОЛОГИЯ И ФОЛЬКЛОРИСТИКА:
14. Иванова Л.И.: «Персонажи карельской мифологической прозы»
15. Лобанова Н.В., В.Ф. Филатова: «Археологические памятники в районе
Онежских петроглифов»
16. Лобанова Н.В.: «Петроглифы Онежского озера»
17. Кривощапова Ю.А.: «Русская народная энтомология: этнолингвистический
аспект»
18. Сборник статей: «Именослов. История языка. История культуры»
(Отв. ред. Успенский Ф.Б.)
ЕВРОПЕЙСКАЯ МЕДИЕВИСТИКА:
19. Мереминский С.Г.: «Формирование традиции: английское историописание
вторая половина 11 – первая половина 12 веков»
20. Гимон Т.В.: «Историописание раннесредневековой Англии и Древней
Руси: Сравнительное исследование»
21. Перевод книги: «Stender-Petersen A. Die Varagersage als Quelle der
altrussischen Chronik. Aarhus, 1934» . Редактура и подготовка вступительной
статьи Е.А. Мельникова
22. Перевод книги: «Goetz L.K. Deutsch-russische Handelsgeschichte des
Mittelalters. Lubeck, 1922.» Редактура и подготовка вступительной
статьи Е.А. Мельникова
23. Виноградов П.Г.: «Средневековое поместье в Англии». Подготовка
книги к переизданию, комментарии и вступительная статья Гладков
А.К.
24. Виноградов П.Г.: «Римское право в средневековой Европе». Подготовка
книги к переизданию, комментарии и вступительная статья
Гладков А.К.
25. Виноградов П.Г.: «Исследования по социальной истории Англии в
Средние века». Подготовка книги к переизданию, комментарии и
вступительная статья Гладков А.К.
26. Виноградов П.Г.: «Исследование по истории феодального строя Лангобардской
Италии». Подготовка книги к переизданию, комментарии
и вступительная статья Гладков А.К.
ИСТОРИЯ 20-ГО ВЕКА. «ХОЛОДНАЯ ВОЙНА» И ДРУГИЕ ВОЙНЫ:
27.
Платошкин Н.Н.: «Интервенция США в Доминиканской республике
1965 года»
Книга 1.indb 366
11.03.2013 22:21:49
Стр.366
28. Платошкин Н.Н.: «История Сандинистской революции в Никарагуа»
революции»
29. «Многосторонняя дипломатия в биполярной системе международных
отношений» (отв. ред. Н.И. Егорова).
30. «Хмурые будни холодной войны. Ее солдаты, прорабы и невольные
участники» (Отв. ред. Степанов А.С.)
31. Куликов В.П.: «История Русского Военного Воздушного Флота
1885—1917»
АНТИЧНОСТЬ И ВИЗАНТИНИСТИКА:
32. Домановский А.Н.: «Государственный контроль и регулирование
торговли в Византии IV—IX вв.»
33. Сорочан С.Б.: «Византийский Херсон (вторая половина VI — первая
половина X вв.). Очерки истории и культуры»
34. Лидов А.М.: «Росписи Ахталы»
35. «Латинские Панегирики — XII — PANEGYRICI LATINI». Перевод с
латинского языка, статья, комментарии и приложение Шабага И.Ю.
36. Жмудь Л.Я.: «Пифагор и ранние пифагорейцы»
ГЕОПОЛИТИКА И ГЕОЭКОНОМИКА:
37. Рахаев Д.Я.: «Политика России на Северном Кавказе в первой четверти
XVIII века»
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ:
38. Рязановский А.Р.: Пособие по математике для поступающих в «математические
вузы»: «500 способов и методов решения задач по математике»
ЕГИПТОЛОГИЯ:
39.
Лаврентьева Н.В.»Мир ушедших. Дуат: Образ иного мира в искусстве
Египта (Древнее и Среднее царства)
Книга 1.indb 367
11.03.2013 22:21:49
Стр.367
ARISTEAS. Philologia classica et historia antiqua.
Supplementa. Volumen III.
Научное издание
Прокл Диадох
КОММЕНТАРИЙ К ПЕРВОЙ
КНИГЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА
Перевод: Андрей Иванович Щетников
Печатается по решению
Ученого совета Университета Дмитрия Пожарского
Дизайн и верстка: А.В. Белоусова
Подписано в печать 15.01.13 Формат 140х205
Бумага офсетная, 80 гр.. Печать офсетная.
Тираж 500 экз. Заказ.
Русский Фонд Содействия Образованию и Науке
119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 13, стр. 1
www.s-and-e.ru
Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., д. 6
Книга 1.indb 368
11.03.2013 22:21:49
Стр.368