ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО ВГУ) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ по курсу «МАТЕМАТИКА» для студентов 1 курса экономического факультета по направлению «Государственное муниципальное управление» Воронеж 2015 1 Утверждено Научно-методическим советом экономического факультета ( протокол №6 от 19.06.2015) Методические рекомендации разработаны на кафедре Информационных технологий и математических методов в экономике экономического факультета Воронежского государственного университета Составители: к.э.н., доцент кафедры ИТ и ММЭ О.С. <...> Щекунских, старший преподаватель кафедры ИТ и ММЭ Я.А. <...> Рекомендуется для студентов 1 курса экономического факультета по направлению 38.03.04 «Государственное муниципальное управление» 2 СОДЕРЖАНИЕ ТЕМА 1. <...> Определим точки пересечения графика функции с осями координат. <...> На основании пунктов 4,5, найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости и точки перегиба. <...> Исследуем функцию на наличие у графика асимптот Найдем вертикальные асимптоты. <...> Используя результаты исследования, строим график функции, предварительно нанеся на чертеж точки пересечения с осями координат, точки экстремума, перегиба и асимптоты. <...> Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится 1. <...> 0 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ Пример 1. <...> Найти интеграл x 2 4 13 6 7 x x Решение: Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в числителе производную знаменателя. <...> Решение: Метод интегрирования дробно-рациональной функции заключается в разложении данной дроби на сумму многочлена и элементарных дробей и последующем интегрированием каждого слагаемого этого разложения. <...> В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно неизвестных A,В,С вида 16 следующего х2 A+C=0 х1 2A –A+B-2C=1 х0 -2A+2B <...>
Методические_указания_для_самостоятельной_работы_студентов_по_курсу_Математика.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО ВГУ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по курсу «МАТЕМАТИКА»
для студентов 1 курса экономического факультета по направлению
«Государственное муниципальное управление»
Воронеж 2015
1
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ………………4
Методические указания и примеры выполнения заданий……………….7
ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………………………………10
Методические указания и примеры выполнения заданий………………14
ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………..21
ТЕМА 4. РЯДЫ…………………………………………………………….22
Методические указания и примеры выполнения заданий………………23
ТЕМА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ………………………..29
ТЕМА 6. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА……………………………………….32
Методические указания и примеры выполнения заданий………………32
ТЕМА 7. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………….38
Методические указания и примеры выполнения заданий………………43
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………...47
ПРИЛОЖЕНИЯ
3
Стр.3
18.
а)
в)
19.
а)
в)
20.
а)
в)
lim 7x x 2
2
4
x
x0
x x
4
limx ctg x4 ;
lim 2 3x x
2
lim0
x 2x x x
4 x
2
3
l 3 2im 2
x
x
limx0 sin(x )
2
tg x( / 2)
2
г)
;
x arctg(2 )
x x
x
x
3
1
;
5
5
;
;
б)
г)
б)
3
;
б)
г)
xlim 3 5 2x
x
xlim x(2 5)
2
xlim 1 2
3 4 1 5x ;
x
xlim1
limx
xlim(2 3)
x
1
x
x
3 5
3 1
x
x
3 /( 1)
x
;
3 7 2
1
2x
;
Задача № 2. Исследовать функции методом дифференциального
исчисления и построить их графики
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
y 3 xx
y x
y x x
2
6
1
2
x
2
3
9 (1 )
2
x
3
y 1/4 ( xx
2
y
1/6 ( 2
3
y 1/4x x 1
2
y 1/4x x
4
4
y 12 xx
y x x
2
y x 1/3x
3
3 ( 1)
2
y ( 1)xx
2
y x x
3
2
4
2
3
2
y 1/ 2x
2
4
3)
2
x x 5)
3
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
6
y xe /1 x
x
y
y
ln
x
2
x
x
2 4
2
y x ln
y
2 x
x
y ex
x
y x
4
x
3
2
1
y 3 x
y ( 2)
y
x
( 1)x
x
y x
y ln
y
x
2 4
x
x
4 2
x 9
6x
e
2
1
x
3x
1
x
3
;
3 3x 11 6 ;
3/( 2)
2
x
x
;
2
Стр.6
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
a)
a)
a)
a)
a)
a)
a)
y x 3x
y 16 ( 1)xx
3
3
y xx
y x
3 2
x
2
x
(2 )( 1)
3
1
x
y x (2 )x
1
2
y x
x x
2
2
3
2
x
3
y 1/4( 4)( 2)
2
3
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
y ln
y x
y ln
y
x
x
x
3 2
x
x
( 1)
( 1)
x
x
y 3 x
x
y
y 1 ln
x
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ
ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Пример 1. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
а)
lxim 4
в)
lxim
0
x x 1;
tg x
x
5x 1
3
4
2
2
;
г)
б)
lx0im
x2
1 x x
2
x x
lim(5 2 )
x
2
1
2 /( 2)
x x
x
;
Решение. а) Знаменатель и числитель дроби стремятся к бесконечностям
при
x. Имеем неопределенность вида
знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на 4
4
lxim 4
x 2x 1 2/ x 1/ x
3
5x 1
1 lxim
5 1/ x
т.к. при x каждая из дробей x/2 и 1/ x стремятся к нулю.
4
б) Имеем неопределенность вида 0/0. Умножим числитель и знаменатель
на выражение
1 . Получим
x x
2
1
x x
2
7
4
x , получим
5
4
,
2
;
4(1 )x
e
x
x
4
2
3
. Разделив числитель и
Стр.7
lim
x0
( 1 x x )( 1 x x )
2
x x
2
1
lim
x0
1 x x2 1
2
x x
x x( 1)( 1 x x )
x x
1
x x2
x x
2 ( 1)
2
lim x
x0
2 (1 )
2 (1 )
x
x
x
1
в) Воспользуемся первым замечательным пределом lim 1
sin x
x
x0
lim
x0
tgx
x lim
x0
2 c 2os
2s 2in
x
x
x 2lim
x0
г) Имеем неопределенность вида
замечательным пределом
переменной y = 4 – 2x, получим
x
lim(5 2 )
x0
2/( 2)
x
lim(1 ) y
y0
2/(2 / 2 2)
y
x0
1 , поэтому воспользуемся вторым
1
lim (1 )x x
e
.После перехода к новой
lim((1 ) y
x0
Пример 2. Исследовать функцию
f x( )
x
x
3
2
3 и построить ее график
Решение. Воспользуемся следующей схемой исследования функции.
1. Найдем область определения функции. Функция не определена в
точках, где знаменатель обращается в нуль, то есть при
Следовательно,
1
3
3
D f ( 3, 3)
( )
(
, 3)
O(0,0) .
( 3, )
.
2. Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Единственной такой точкой будет точка
3. Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность. Имеем
( )
f x)
(
( x ) 3
( x )
2
3
x
x
2
3
3
f x
, то есть функция является нечетной.
График нечетной функции симметричен относительно начала
8
1/ y
)
4
e
4
c 2 2
1
os
x
2
1
2
. Имеем:
x , x2 .
Стр.8
координат, поэтому исследование функции можно провести лишь для
x 0, 3 . Функция не является периодической.
3,
4. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем
производную
f x x
( )
x
2
3
3
3 (x x 2x
2
2
2
6)
(x 3)
Приравнивая ее нулю, получаем x1 0
Точки
4,5
2
x
2
3
x x 9)
2
2
(
, x 3, x3 3
2
(x 3)
.
x , в которых производная не существует, не являются
3
точками возможного экстремума, так как они не входят в область
определения функции.
5. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую
производную
f x (x 3)
( )
(
x x 9)
2
2
2
2 x 3)
2
9
x x
(
4
2
2
6 (x x 9)
2
2
(x 3)
3
.
Вторая производная равна 0 при x = 0.
6. На основании пунктов 4,5, найдем промежутки возрастания и
убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости и точки перегиба.
Результаты исследования удобно оформить в виде таблицы, в которой
отражены изменения знака первой и второй производных.
X
f ( )x
f ( )x
f ( )x
( 3;0)
-
+
Убывает,
выпукла
вниз
0
-
0
Точка
перегиб
а,
f(0)=0
(0; 3)
-
-
Убывает,
выпукла
вниз
3
Не
существует
Не
существует
Не
существует
( 3;3)
-
+
Убывает,
выпукла
вниз
7. Исследуем функцию на наличие у графика асимптот
Найдем вертикальные асимптоты. Поскольку
9
3
0
+
Точка
минимума
f(3)=4,5
(3;)
+
+
Возрас
тает,
выпукл
а вниз
2
.
Стр.9
x ,
lim x
3 0
2 3
3
x
x ,
lim x
3 0
2
2 3
3
x
то прямая x= 3 является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение
наклонной асимптоты y = kx+b.
x
k lxim
x
f x( )
x lxim 2
b lim( ( )
f x kx ) lim(
x
x
3 1
3
x x x x
2
3 ) lim 3x
x
2
3 0
Следовательно, прямая y = x является наклонной асимптотой.
8. Используя результаты исследования, строим график функции,
предварительно нанеся на чертеж точки пересечения с осями координат,
точки экстремума, перегиба и асимптоты.
ТЕМА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Задача №1. Вычислить неопределенные интегралы
1. а) e x
c 2os
x
в) 273
2
2. а) x 4) ,
3
x dx
x
(
в) 83
xdx
10
6
s 2 ,
dx
in xdx
д) sin xcos xdx
2
3
б) e l 1n( e dx) ,
dx
x
x
г)
sin x cosx
,
б) xarctgxdx,
3
г)
1
x
3
x
1
1
dx,
Стр.10