x – общий член последовательности.
Способы задания последовательности могут быть такие же, как и y друx
x x3 , ..., x x n 1, ... n
n
1,
2 ,
n ,
x
гих функций:
1. Аналитический. Например,
2. «Кусочный». Например,
1 , если n нечетное
xn n
0 если n четное т.е.
,
xn
5, 0, ...
3, 0, 1
1, 0, 1
ный способ задания – рекуррентный. Например,
n N .
Рассмотрим примеры:
1) n
x 1 1
n
n
x
n
6 ; ...
5 ; 1
4 ; 1
3; 1
2 ; 1
1; 1
Какую бы малую окрестность точки х = 0 мы ни взяли, вне этой окрестности
окажется лишь конечное число членов. Другой такой точки нет. Точка
х = 0 является пределом этой последовательности. Запишем это так:
lim 011
n
n
3) 1
1
x
n ,
n
n
n
x
n
6 ; 7 ; ...6
4 ; 5 ; 54
3 ; 3
2 ; 2
1
. Члены последовательности как угодно близко
подходят к точкам 1 и –1.
Однако вне окрестности точки х = 1 имеется бесконечное число членов
данной последовательности. Поэтому 1 не является пределом этой последовательности,
аналогично – 1 тоже не является пределом.
Определение. Число а называется пределом последовательности n
это так: lim или xn .
xn
a
x ,
если какую бы малую окрестность точки а мы ни взяли, вне этой окрестности
будет находиться лишь конечное число членов последовательности. Запишем
a
В противном случае – расходящейся.
Определение. Точка а называется пределом последовательности n
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.
x ,
если какую бы малую окрестность этой точки мы ни взяли, все члены последовательности,
начиная с некоторого номера, попадут в эту окрестность, т.е.
5
.
2) x n те xn
n
. . 1;2;3;4 ... Эта последовательность предела не имеет.
В отличие от других функций для последовательности есть своеобразx1
2 ;
xn 1 2
x n
xn 1, т.е. xn
n
n
4 , ...,
3 , 3
2 , 2
1
n 1, ...
n
,
Стр.6
или
lim x
def
def
n
,
n
0
a U a N n n N x U a,
n
lim x a axNnnN n
.
1. Теорема. Всякая сходящаяся последовательность может иметь только
один предел.
Если из данной последовательности удалить часть ее членов, так что в
последовательности останется бесконечное число членов, и если оставшиеся
члены заново пронумеровать в прежнем порядке, то получится новая последовательность,
которая называется подпоследовательностью данной последовательности.
2.
Теорема. Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность
также сходится к тому же пределу.
3. Теорема. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
быть
ограниченная, но расходящаяся. Например, xn 1 .
и у n
x ,a y
n
n
n
4. Теорема. Пусть даны (x )
b . Тогда справедливо a b .
yn
n
5. Теорема. Пусть
n
z n
Замечание. Обратное утверждение неверно. Последовательность может
n
. Причем n x :
n
y , и пусть
n
xn z, имеют одинаковый предел, то и промежуточная последовательность n
также сходится и имеет тот же предел.
Определение. Последовательность n
вал вида
x . Если крайние последовательности
y
называется бесконечно малой,
если она стремится к 0.
Определение. Под окрестностью +∞ мы будем понимать любой интерЕ,
, где Е 0 , под окрестностью – ∞ интервал , а под
E,
окрестностью ∞ – объединение интервалов . Неравенство
, E E,
x E означает: «х принадлежит Е-окрестности ∞».
Определение. Последовательность n
lim x
n или x
x называется бесконечно большой,
если какую бы окрестность бесконечности мы ни взяли, вне этой окрестности
останется лишь конечное число членов в последовательности.
Записывается это так:
следовательность является расходящейся.
Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Обратное утверждение неверно, т.е. последовательность может быть неограниченной,
но не стремиться к бесконечности.
Например:
1)
1; 2; 1; 3; 1; 4; 1; ...
2) x nn
n 1
6
1
, т.е.
xn 0;4;0;8;0;12; ...
n . Бесконечно большая по
Стр.7
Теорема. 1) Если n – бесконечно малая последовательность, члены которой
отличны от нуля, то xn 1 – бесконечно большая.
n
отличны от нуля, то
2) Если nx – бесконечно большая последовательность, члены которой
n x n
1 – бесконечно малая последовательность.
Практические задания
1. Найти область определения функции:
а)
f x
( )
б) f (x) =
в) f (x) =
1
3x x 2
2
2
3 2 2
1
x x
x
х 3
y 2 x
х 3
lg(2 3х
б) y 3x
2
lg(5 ) , х = 4; х = с
x
2
x
x
sin x x ln(1 x )
х
3
2
4
)
2. Для функции найти ей обратную:
а)5
в) y 4 5 x
3. Найти значение функции при данных значениях переменной:
f (x) =
4. Исследовать функцию на четность, нечетность:
f (x) =
5. Даны функции, заполните таблицу:
1) y = 3x2 + sin x; 2) y + ln xy = cos y
7) y = cos(x3 + 2y) – sin3x; 8) y = arccos(
Функция задана
в явном виде
Функция задана
в неявном виде
x ; 3) y = tg(x2 + 7x);
4) y = cos(2x + 3); 5) y = (5x3 + 2x)ln x; 6) x
y + 5x + y = ln y;
3 2
5 3
2
х
х
х
); 9) y – 3x2 + cos3x = 5.
Функция является
сложной
Функция не является
сложной
7
ln(2 1)
x
Стр.8
6. Вычислить пределы числовых последовательностей:
1.
lim (3 ) n
n (3 ) n
lim
n
n 5n 4
3
2
(n
2 n
2 n
n) 7 2
9n 1
n n
8
lim (n n
n
lim
n
n
n
lim
n
n
1 .
n
2
n
n
2
3 2
n
1
n 1 ) . 2. lim (n n n
2
n
( 2)
1 .1
n
2.
2 1
lim 2 3 1
n
n
n
n
2. limn
n
n
n
3
1
2
.
(3 ) .
2
(3 )
.
2
2. lim (3 ) n
n (1 ) n
2. limn33
4 n
4 n
3n 4
n
3
1
n 1
5
2
(2 )
4
(1 ) .
4
7. Вычислить пределы числовых последовательностей:
1.
n 1
2
n 3 ) .
2
.
8. Вычислить пределы числовых последовательностей:
1.
9. Вычислить пределы числовых последовательностей:
1.
Задания для самостоятельного решения:
1.
4
.
4. lim( n
6. lim (3 ) n
n (1 ) n
2 n ). 5.
4 n
n
3 n
(2 )
(1 )
4
3
.
2 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
1. Техника вычисления предела функции в точке.
2. Техника вычисления предела функции на бесконечности.
Теоретическая часть
Рассмотрим функцию y = f (x).Придавая переменной х различные значения,
получим х1; х2; х3; ...хn... – последовательность значений аргумента. Ей соответствует:
f (x1); f (x2); f (х3); …; f (xn); … – последовательность соответствующих
значений функции.
Если из того, что любая последовательность значений аргумента, взятая из
области определения функции и – окрестности точки х0 (хn х0), сходится к
х0 (xх0) следует, что последовательность соответствующих значений функции
сходится к числу А (f (х) А), то число А называется пределом функции
f (x) в точке х0.
8
lim 33
3
n
3. limn
n
1
1
n
5 n n(n 5))
2
8
n
n
n
1
1
.
.
Стр.9
Обозначение:
Если
n x
n x
lim ( ) 0
0
x
n x
lim ( )
0
lim ( )
0
x A.
, то функция f (х) называется бесконечно малой в окрестности
точки х0.
Например: функция y = x – 4 при х4 является бесконечно малой.
Если
f x или
n x
lim ( )
0
f x , то функция называется бесконечно
большой в окрестности точки х0.
Замечание. Данные выше определения справедливы и при x±.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых
функций в окрестности некоторой точки есть функция бесконечно малая в
окрестности той же точки;
2) произведение любого конечного числа бесконечно малых функций в
окрестности некоторой точки есть функция, бесконечно малая в окрестности
той же точки;
3) произведение бесконечно малой функции в окрестности некоторой
точки на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая в окрестности
той же точки.
Бесконечно малые функции в окрестности некоторой точки х0
(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если
0
x x0
( )
lim ( )
x
x
c
.
Если с = 0, то (х) называется бесконечно малой функцией более
высокого порядка малости по сравнению с (х). Бесконечно малые функции
(х) и (х) называются эквивалентными в окрестности точки х0, если
xx0
lim ( ) 1)(
x
x
. Обозначение:
lim
x
x x
x
f x
lim ( )
0
1) lim c c , где c = const;
x x 0
2) lim c f x lim ( );
x x0
lim
x x0
( )
( )
c
x x0
f x
3) limx x0
f x g x( )
f x lim g x( );
x x0
( )
9
( )
( )
x .
( ) ~ ( )x
Предел бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится,
если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т.е.
lim
x
x x
lim ( )
0
q x
x
f x
1
1
( ) , если ( ) ~ ( ),
( )
f x
основными теоремами о пределах:
если
f1 x
x( ) ~ ( )x .
1
При вычислении пределов функций обычно пользуются следующими
f x и
существуют и конечны, то
(х) и
Стр.10