Справочник по математике. 5–9 классы (999,60 руб.)

Стр.3

Стр.77

Стр.78

Стр.79

УДК 372.851 ББК 74.262.22 С74 6+ на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699. Издание допущено к использованию в образовательном процессе Р е ц е н з е н т – учитель математики высшей категории ГБОУ «Лицей 1508 СП № 1388» Г.В. Миронова. C74 Справочник по математике. 5–9 классы / сост. А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – 5-е изд., эл. – 1 файл pdf : 80 с. – Москва : ВАКО, 2021. – (Школьный справочник). – Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : электронный. ISBN 978-5-408-05664-4 В справочнике приведены основные сведения по всем базовым темам арифметики и алгебры 5–9 классов. Изложение теоретического материала сопровождается примерами решения задач. Справочник имеет прикладной практический характер. Предназначен как для текущего обучения, так и для подготовки к экзаменам (ОГЭ и ЕГЭ). При небольшом объеме в справочнике содержится вся необходимая информация для эффективного обучения. УДК 372.851 ББК 74.262.22 Электронное издание на основе печатного издания: Справочник по математике. 5–9 классы / сост. А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – 4-е изд. – Москва : ВАКО, 2021. – 80 с. – (Школьный справочник). – ISBN 978-5-408-05181-6. – Текст : непосредственный. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации. ISBN 978-5-408-05664-4 © ООО «ВАКО», 2017

Стр.3

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ЧИСЛА И ВЫЧИСЛЕНИЯ Натуральные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Свойства делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Нахождение НОД двух натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Нахождение НОК двух натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Обыкновенные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Основное свойство дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Сравнение обыкновенных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Сложение и вычитание дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Умножение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Деление дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Порядок выполнения действий в числовых выражениях . . . . . . . . . . . . . . 13 Пропорции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Проценты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Три основные задачи на проценты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ Одночлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Действия с одночленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Действия с многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Произведение одночлена на многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Произведение многочлена на многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Тождества сокращенного умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Методы разложения многочленов на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Дроби, содержащие переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Основное свойство дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Действия с дробями. Сложение и вычитание дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Умножение дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Возведение дроби в степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Деление дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Преобразование рациональных выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 СТЕПЕНИ И КОРНИ Степень с натуральным показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Степень с целым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Свойства степеней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Стр.77

Содержание 77 Сравнение степеней чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Арифметический квадратный корень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Основные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Свойства арифметического квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Арифметический корень n-й степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Определение корня n-й степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Основные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Свойства арифметического корня n-й степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Сравнение корней из чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Иррациональность в знаменателе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Степень с рациональным показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Свойства функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Нули функции. Промежутки знакопостоянства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Монотонность функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Свойства и графики некоторых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Построение графика линейной функции y = kx + b (k ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . 32 Построение графика квадратичной функции y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) . . . . . 32 Преобразование графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Преобразование графика функции, содержащей знак модуля . . . . . . . . . . . . . 36 УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Примеры некоторых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Возможные случаи решения квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Теорема, обратная теореме Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Разложение квадратного трехчлена на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Биквадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Некоторые методы решения уравнений третьей и четвертой степеней . . . . . . 42 Решение уравнений с помощью разложения на множители . . . . . . . . . . . . 42 Решение уравнений с помощью замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Использование замены переменной при решении некоторых специальных типов уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Уравнения, содержащие модуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Простейшие иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Типичные иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 График уравнения с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Примеры графиков уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Возможные случаи решения систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 49 Некоторые методы решения систем нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . 50 НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ Числовые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Числовые промежутки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Неравенства с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Линейные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Стр.78

78 Содержание Квадратные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Простейшие неравенства с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Решение систем неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Неравенства с двумя переменными и их системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Способы задания последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Свойства последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Арифметическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Способы задания арифметической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Характеристическое свойство арифметической прогрессии . . . . . . . . . . . . 63 Формулы суммы n первых членов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Способы задания геометрической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Характеристическое свойство прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Формула суммы n первых членов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Задачи с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Приложение 2. Задачи с целочисленными решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Уравнения первой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Уравнения второй степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Приложение 3. Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Начала статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Основы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Стр.79