Приведение квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду . <...> Комплексные числа и действия над ними . <...> Единичные векторы, перпендикулярные плоскости и идущие в положительном направлении оси z, определяют одну ориентацию плоскости, cos = ± 1+ f + fy f y x 2 2 ; cos = 1 ± 1+f +fy x 2 то единичное поле нормалей задается равенством o n =± где g Ф Ф ,Ф ,Ф . rad x y z Отметим, что в любой точке поверхности вектор gradФ перпендикулярен к этой поверхности. <...> Основные дифференциальные операции в декартовой системе координат Если каждой точке М некоторой области пространства поставлено в соответствие число (скаляр) (M ) , то говорят, что задано скалярное поле. <...> В прямоугольной системе координат, скалярное поле (M ) станет функцией трех переменных (x,y,z ). <...> Поскольку gradz =0,4 gradz , то угол между gradz и gradz равен нулю. <...> Согласно свойству градиента в этом случае угол между вектором e P 0 то он коллинеарен вектору и g zrad должен быть тупым, Поскольку gradz =0,4 gradz , то угол между gradz и rad P1 P 0 P 0 прямой x – 3y = 4 и направлен в сторону убывания поля. <...> Криволинейный интеграл II рода непрерывное векторное поле должна быть согласована с ориентацией линии. <...> Поток векторного поля Пусть имеем векторное поле F(x,y,z)=F(M)=(P,Q,R) , координаты которого P,Q,R – непрерывны в некоторой области G трёхмерного пространства. <...> Тогда циркуляция вектора F по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L F,dr rot F,n d . o L S Предполагается, что ориентация нормали o n к поверхности S согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки. <...> Требуется вычислить: 1) поток векторного поля F через поверхность σ1 в направлении нормали 1n ; 2) поток векторного <...>
Сборник_заданий_к_типовым_расчетам_и_контрольным_работам_по_математическим_дисциплинам._Ч._2.pdf
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
С 23
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.;
доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В.
Авторский коллектив:
Бородицкий М. П., Зуев В. Н., Кодачигова Л. К., Мархель Э. Г.,
Сапунцов Н. Е., Сухинов А. И.
Главный редактор
доктор физико-математических наук, профессор А. И. Сухинов.
Заместитель гл. редактора:
кандидат физико-математических наук, профессор М. П. Бородицкий.
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках
национального проекта «Образование»
по «Программе развития федерального государственного образовательного
учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»
Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным
С 23
работам по математическим дисциплинам. Ч. II: учеб. пособие /
Под редакцией А. И. Сухинова. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ,
2009. – 539 с.: ил. 88.
ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-5
Сборник содержит задачи по теории функций комплексной
переменной, операционному исчислению, векторному анализу, уравнениям
математической физики, теории вероятности и математической статистики.
В начале каждой главы приводится сводка теоретических положений,
определений и формул, а также дается подробное решение типичных
заданий, входящих в варианты. В «Сборнике» содержится более 5000 задач
для самостоятельного решения.
Пособие рекомендуется для студентов, аспирантов и преподавателей
технических и экономических вузов; может быть использовано как при
очной, так и при дистанционной формах обучения.
Сборник заданий подготовлен в рамках межвузовской комплексной
программы «Наукоемкие технологии образования».
ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-5
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
© ТТИ ЮФУ, 2009
© Южный федеральный
университет, 2009
2
2
Стр.2
CОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………6
I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ .........................................................................8
1. Вектор-функция скалярного аргумента ......................................8
2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные
операции в декартовой системе координат ..................................12
3. Криволинейный интеграл II рода. Формула Грина ................19
3.1. Криволинейный интеграл II рода .................................19
3.2. Формула Грина ...............................................................21
4. Поток векторного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и
Стокса................................................................................................23
4.1. Поток векторного поля ...................................................23
4.2. Теорема Гаусса-Остроградского....................................26
4.3. Теорема Стокса................................................................26
5. Потенциальное поле....................................................................47
6. Оператор Гамильтона..................................................................50
6.1. Понятие оператора Гамильтона.....................................50
6.2. Дифференциальные операции 1-го порядка.................51
6.3. Дифференциальные операции 2-го порядка.................53
7. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты
Ламэ. Основные дифференциальные операции теории поля в
криволинейных координатах..........................................................56
7.1. Длина дуги........................................................................56
7.2.Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламэ.....56
7.3. Инвариантное определение ротора и дивергенции .....62
Задания..............................................................................................72
II. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ...........................104
1. Определение и классификация дифференциальных
уравнений с частными производными........................................104
2. Характеристические поверхности (характеристики)
квазилинейного уравнения второго порядка. Приведение
квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому
виду .................................................................................................107
3. Основные уравнения с частными производными. Задачи
для уравнений с частными производными .................................113
4. Методы решения задач для уравнений с частными
производными………....................................................................115
3
3
Стр.3
4.1. Метод характеристик…………………………………115
4.1.1. Метод Даламбера...............................................115
4.1.2. Фазовая плоскость.............................................119
4.2. Метод разделения переменных (метод Фурье) ..........129
4.2.1.Ортогональные системы....................................129
4.2.2. Функции Бесселя...............................................130
4.2.3. Модифицированные функции Бесселя...........132
4.2.4. Сферические функции Бесселя........................133
4.2.5. Шаровые и сферические функции .................135
4.2.6. Схема метода Фурье .........................................137
4.3. Метод интегральных преобразований ........................269
Задания............................................................................................283
III. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ .....................................................339
1. Комплексные числа и действия над ними ..............................339
1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел...............339
1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел 340
2. Функции комплексного переменного......................................344
2.1. Кривые и области на комплексной плоскости...........344
2.2. Аналитические функции...............................................348
3. Интегрирование функций комплексного переменного.........350
4. Ряды.............................................................................................353
4.1. Ряд Тейлора....................................................................353
4.2. Ряд Лорана......................................................................355
5. Изолированные особые точки..................................................359
6. Вычеты и их применение к вычислению интегралов............363
6.1. Определение и вычисление вычетов...........................363
6.2. Применение вычетов к вычислению интегралов.......366
7. Преобразование Лапласа...........................................................374
7.1. Преобразование Лапласа и его свойства.....................374
7.2. Нахождение изображения по оригиналу ....................379
7.3. Нахождение оригинала по изображению ...................381
7.4. Решение линейных дифференциальных уравнений
операционным методом.......................................................384
7.5. Решение систем линейных уравнений
операционным методом.......................................................386
Задания.........................................................................................389
4
4
Стр.4
IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА........................................................................................425
1. Классическое определение вероятности.................................425
2. Элементы комбинаторики……………………………………428
3. Геометрическое определение вероятности.............................433
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.....................437
5. Формула полной вероятности. Формула Байеса....................440
6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли .......444
7. δ-функция и ее свойства...........................................................447
8. Законы распределения и числовые характеристики
случайных величин........................................................................448
9. Двумерные случайные величины ...........................................458
10. Функции случайных аргументов ...........................................468
11. Характеристические функции................................................480
12. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева....................482
13. Квантили случайных величин................................................483
14. Точечные и интервальные оценки параметров
распределения ................................................................................485
15. Проверка статистических гипотез .........................................488
16. Критерий 2
..............................................................................499
Задания............................................................................................501
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................537
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................538
5
5
Стр.5