МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т.Н. Глушакова, К.П. Лазарев
БИЛИНЕЙНАЯ И КВАДРАТИЧНАЯ
ФОРМЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
1
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
1. Билинейная форма ............................................................................... 4
2. Квадратичная форма ............................................................................ 5
2.1. Понятие квадратичной формы ......................................................... 5
2.2. Способы приведения квадратичной формы к каноническому
виду .................................................................................................................... 7
2.2.1. Метод Лагранжа ............................................................................. 7
2.2.2. Метод Якоби ................................................................................. 11
2.2.3. Метод ортогональных преобразований ..................................... 12
2.2.3.1. Вспомогательные утверждения ............................................... 12
2.2.3.2. Алгоритм метода ортогональных преобразований ............... 13
2.3. Закон инерции квадратичной формы ............................................ 18
2.4. Классификация квадратичных форм ............................................ 21
Библиографический список .................................................................. 25
3
Стр.3
Из (1.1) следует, что b x x
x R n∈ .
B =
1
0
...
Пусть в nR базис выбран из собственных векторов матрицы B, тогда
0 ... 0
2
...
... 0
...
0 0 ...
...
n
видом квадратичной формы.
Квадратичную форму можно представить в нормальном виде:
2
k x = + + − + − − xn .
( )
x1 xk
2
Так как x x = x x i , то a == , поэтому матрица квадратичной форi
j
j
ij
k
x) = aij xx
a ji
n
(.i
i=1
j
мы – симметрическая. Элементы iia стоят на главной диагонали, коэффициенты
при смешанном произведении
xix делятся пополам и записываются
j
на ij и ji местах.
Пример 2.1. Построить матрицу квадратичной формы
k x =
( ) 5x1 + 3x + + 4x x +12x x + x x .
2
2
2
x
A =
2
3
1 2
6 4 1
2 3 4
5 2 6
1 3
8 2 3
С учетом вышесказанного, матрица квадратичной формы имеет вид
.
Определение 2.2. Сигнатура – разность между числом положительных и
отрицательных коэффициентов квадратичной формы в каноническом виде.
Определение 2.3. Две квадратичные формы называются эквивалентными,
если совпадают ранги этих форм и сигнатура.
Определение 2.4. Рангом квадратичной формы называется ранг ее
симметрической матрицы.
Теорема 2.1. Две квадратичные формы от n неизвестных с действительными
коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга
6
2
xk 1
2
Опишем, как строится матрица квадратичной формы.
Пусть квадратичная форма имеет вид
и k x = x1
( ) ( ,..., xn )
1
...
... 0
...
0 ...
...
n
x
x
1
... = 1 1x + + nxn
n
2
...
2 .
(2.1)
Запись квадратичной формы в виде (2.1) называется каноническим
b x y = − ( ) − ( )
( , ) = T
( , )
k x k y + k x y
2
( + )
.
x Bx , где B – симметрическая матрица,
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
Стр.6
невырожденными действительными линейными преобразованиями, когда
эти формы эквивалентны.
Утверждение 2.1. Если квадратичные формы эквивалентны, то нормальные
виды квадратичных форм совпадают.
2.2. Способы приведения квадратичной формы к каноническому виду
Теорема 2.2. Для любой квадратичной формы существует невырожденное
линейное преобразование, которое приводит ее к каноническому виду.
Существуют три способа приведения квадратичной формы к каноническому
виду:
1) метод Лагранжа (метод полных квадратов);
2) метод Якоби;
3) метод ортогональных преобразований.
Рассмотрим каждый из указанных способов.
2.2.1. Метод Лагранжа (метод полных квадратов)
Метод Лагранжа состоит в следующем.
1) Сначала находим слагаемое, содержащее квадрат. Пусть это слагаемое
имеет вид
полняем их до полного квадрата, который обозначим через 2
подобные слагаемые. Среди оставшихся слагаемых с jx
1
например,
jk xx j k
, то делаем замену
q
j
yp
y
ii ix . Затем выписываем все члены, содержащие ix , и доy
. Приводим
( j ≠ находим
2
i )
слагаемое, содержащее квадрат, и повторяем предыдущие рассуждения.
2) Если слагаемых с квадратами нет, а смешанные произведения есть,
x = + ,
k x = x1 + 6 x x1 2 + 5x
( )
2
2
2
xk = − y q
yp
и повторяем рассуждения первого пункта.
Пример 2.2. Привести к каноническому виду квадратичную форму
2
4
− 4 x x + 4 x
1 3
квадрата:
x1 + 6x x − 4x x = + x1 ⋅
x2 − x3 −
2
1 2
1 3
x1
2
− ⋅2 3 ( 2 ) 9x − 4x = +12x x − 9x − x .
2
2
2
3
y1
2 ( 2 ) (x1
2 3
2
2
4
2
3
2 3x2 + x1 − x3 = + 3x2 − x32 ) −
2
2
2) Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 1x и приведем
подобные слагаемые, получим:
7
2
3
− 4 x x2 4 − 8x x3 4 − x
методом Лагранжа.
1) Выпишем все члены, содержащие 1x , и дополним их до полного
α
α
Стр.7
k x = +12x x − 9x − 4x + 5x + 4x − 4x x − 8x x − =
= +12x x − 4x − 4x x − 8x x − x .
( )
квадрата:
− 4x +12x x − 4x x = −[4x −12x x + x x ] = −[(2 ) 2 (2 ) ( 3 ) +
+ ⋅2 (2 ) x4 ]
2
2
3) Выпишем все члены, содержащие 2x , и дополним их до полного
2
2 3
x2
2 4
2
2
2 3
⋅ = −[(2x2 − 3x3 + x4 ) 2( 3 )3x x4 − 9x − x ] =
= − − 6x x + 9x + x .
4 2 4
2
y
k x = − − 6x x + 9x + − 8x x − = − −14x x + x .
5) Выпишем все члены, содержащие 3x , и дополним их до полного
( )
квадрата:
9x −14x x = (3 ) 2 3x3 ⋅
2
3
3 4
x3
2
− ⋅
( )
3
7
x4 +
k x = − + − ,
y1
где
y1 = + 3x2 − x , y = 2x2 − 3x3 + x 4 , y3 = 3x3 −
x1
2 3
2
3
7
x 4 ,
3 4
y 7 x=
.
Замечания.
1) Замена переменных должна быть невырожденной (то есть обратимой).
2) Число новых и старых переменных должно совпадать.
k x = 1 2
( )
замену:
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
1 4
x x + 2 3
x x + 3 4
x x + x x
методом Лагранжа.
Решение.
Так как среди слагаемых ни одного квадрата нет, сделаем следующую
x1
Получим:
k y =
( ) (y1 − y y1 + y2 ) (y1 + y y3 + 3 4
2
= − + 1 3
y1
2 )(
y
2
2
+
y y + 1 4
2 )
y y + 2 3
8
y y − 2 4
y y + (y1 − y y =
y y + y y .
2 )
3 4
4
x2
x3
x4
= +
= −
=
=
y1
y1
y3
y4
y2
y2
.
2
y
2
2
y
2
3
y
2
4
49
9
x −
2
4
49
9
x = (3x3 −
2
4
3 )
7
x4
2
−
49
9
x .
2
4
6) Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 3x и приведем
подобные слагаемые, получим:
y1
2
y
2
2
3 4
2
3
x
2
4
3 4
x
2
4
y1
2
y
2
2
3 4
9
2
3
2
2
3 4
2
3
− −
2
4
4) Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 2x и приведем
подобные слагаемые, получим:
2
3
2
4
x2
+ ⋅
x2
⋅ − x3
y1
2
y1
2 3
2
2
2
2 3
2
3
2
2
2
2
2 4
2
3
2 4
3 4
2
4
3 4
x
2
4
Стр.8
Дальнейшие преобразования проводятся аналогично предыдущему
случаю.
Пример 2.3. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное
линейное преобразование, переводящее форму f в форму g :
2 3
f x =
g y =
( ) 2y1 + 3y + 6y − 4y y − 4y y + y y .
Решение.
( ) 2x1 + 9x + 3x + 8x x − 4x x −10x x ,
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
1 2
1 2
1 3
1 3
8 2 3
Приведем обе формы к нормальному виду методом Лагранжа.
Рассмотрим сначала форму
щие 1x , и дополним их до полного квадрата:
2
= ( 2x1 + 2 2x2 −
2x1 + 8x x − 4x x = ( 2 ) 2 ( 2 ) (2 2 ) 2( 2 )(− 2 ) =
2
1 2
1 3
2 ) 8x − 2x + ⋅2 2 2x2 ⋅
x3
−
добные слагаемые, получим:
22 2
12
82 8 2
3
Здесь
= ( 2y1 −
2y1 − 4y y − 4y y = ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 2( 2 )(− 2 ) =
2
2
2y −
1 2
2
1
2 ) 2y − 2y − ⋅2 2y ⋅
1 3
y3
x1
−
добные слагаемые, получим:
22 2
2
3
2
1
Здесь
1 =
2y1 −
2
2
2
y1
2
3
⋅ −
2
g yyyy224 3y + 6y + = 1 + y y y y3
2
= −−− +3 232 3
2
2
= + (y + 2 ) = +
2y −
2
2y 3 ,
i к i ( 1, 2, 3 ) . Получим:
2x1
x2 − = +y2
x3 = y
x3
Выразим ix через iy
+
3
( 1, 2, 3 ) :
i =
2 2x2 −
2y3
y3
8y y
2
1
2 = y 2y+
2
2x3 =
3 ,
2y1 −
2
2 + + =
2
4 4 2
2
3
2
2
.
3 y= 3 .
Так как нормальные виды квадратичных форм совпадают, приравняем
i =
2y −
2
2y3
.
2
y2 +
y1
y3
2y3 = − 2y − 2y − 4y y .
2
1
2
2
3
3
2 3
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 1y и приведем по2
1
=
2
2
2
3
f = − − + + + −10 2
2
x x xx x x xx3 = ++− =
2
3
1
2x1 + 2 2x2 −
9 2
3 3
2
2
1
= + (x2 − x3 ) = +
2 = x − x 3 ,
2
1
2x 3 ,
2
2
2
.
3 x= 3 .
Рассмотрим теперь форму g( )y . Выпишем все слагаемые, содержащие
y 1 , и дополним их до полного квадрата:
+ ⋅
x x xx3
2
2
2
3
2 2
x1
2
+ ⋅
x1
⋅
x2 +
2x3 = − 8x − 2x + x x .
2
1
2
2
3
3
8 2 3
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 1x и приведем по2
x1
x3
f
( )x . Выпишем все слагаемые, содержа9
η
ηη
η
η
η
η
νν
ν
ν
ν
ν
ν
η
ν
ν
η η
ν
Стр.9
x1
f x =
( ) 3x1 +10x + 25x −12x x −18x x + 40x x ,
2
2
2
2
2
3
1 2
1 3
g y =
( ) 5y1 + 6y +12y y .
Решение.
2
2
1 2
Приведем обе формы к нормальному виду методом Лагранжа.
Рассмотрим сначала форму
щие 1x , и дополним их до полного квадрата:
2
= ( 3x1 − 2 3x2 − 3 3x3 ) 12x − 27x − 36x x = −12x − 27x − 36x x .
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 1x и приведем
3x1 −12x x −18x x = ( 3 ) 2 ( 3 ) ( 2 3 ) 2( 3 )( 3 3x3 ) =
2
1 2
1 3
−
подобные слагаемые, получим:
2
Здесь
f = − 2x − 2x + 4x x == − ( 2x2 −
1 =
1
2
2
2
3
2
2 3
3x1 − 2 3x2 − 3 3x 3 ,
6y +12y y = ( 6 ) 2 ( 6 ) ( 6 ) 6y1 − 6 1y =
2
2
2
1 2
y2
2
y2
⋅
= ( 6y +
2
подобные слагаемые, получим:
2
1
Здесь
1 = y +
6 1
6y ,
2
6 ) 6y1 = − y6 .
y1
g = − 6y1 + 5y1 == − = −
2 y= 1 ,
2
2
1
3 y= 3 .
i к i ( 1, 2, 3 ) . Получим:
3x1
x3 = y
Выразим ix через iy
Так как нормальные виды квадратичных форм совпадают, приравняем
i =
2x2 −
−
3
2 3x2 − 3 3x3 =
2x3 = y1
( 1, 2, 3 ) :
i =
6y1 +
6y2
.
y1
2
2
1
−
2
2
1
y1 +
1
2
Подставим полученное выражение вместо слагаемых с 2y и приведем
2
2
2
.
2
2
1
2 = x −
2 2
x1
2
2
2
+ ⋅
2
3
x1
⋅ −
2 3
x2 +
2
1
x1 −
2
2
2
3
2 3
2x 3,
2 ) = −
3 x= 3 .
x3
2
2
1
2
2
.
Рассмотрим теперь форму g( )y . Выпишем все слагаемые, содержащие
y 2 , и дополним их до полного квадрата:
+ ⋅
f ( )x . Выпишем все слагаемые, содержаx2
= + y3 3
x3 = y
= −
3
y1
y2
3y − y6 3
2
.
Пример 2.4. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное
линейное преобразование, переводящее форму f в форму g :
2 3
10
η
η
η
η
η
η
ν
ν
ν
η
η
ν
ν
ν
ν
ν
ν
η
Стр.10