1) Неравенство sin cos 1◦ < cos 1◦ следует из того, что в первой четверти sinx< x. <...> 2) Неравенство cos 1◦ < cos sin 1◦ выполняется потому, что 1◦ > sin1◦ , а в первой четверти cosx убывает. <...> Неравенство sin cosx< cos sinx справедливо при всех x. <...> Аналогичным образомстроятся графикифункций y = arccos(cosx), y = arctg(tg x),y = arcctg(ctg x). <...> Тогда площадь треугольника AOC равна 1 2R2 sin t, а площадь сектора AOC равна 1 2R2t. <...> 1 2R2 sint< 1 то есть Площадь треугольника OCB равна 1 2R2 tg t. <...> Соотношения между длинами сторон и величинами углов в прямоугольном треугольнике Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, будем считать, что его угол C прямой (то есть его величина равна π/2), длины отрезков AB, AC и BC (которые везде в пособии будут обозначены как |AB| , |AC| , |BC|) равны c, b и a соответственно. <...> Полезно знать, что эти формулы на самом деле есть не что иное, как переписанные утверждения, вытекающие из определений тригонометрических функций величин острых углов, а именно: синус величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению c = a sin A = a cos B = b sin B = b cos A длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы; косинус величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы; тангенс величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, противолежащего этому углу, к длине катета, прилежащего к этому углу; котангенс величины острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине катета, противолежащего этому углу. <...> Соотношения между длинами сторон и величинами углов в равнобедренном треугольнике Пользуясь вышеизложенными фактами, получим непосредственно вытекающие из них важные соотношения между длинами сторон, длиной высоты, проведённой к основанию, и величинами углов в равнобедренном треугольнике. <...> Длина боковой стороны <...>
Математика._Сборник_задач_по_углубленному_курсу.pdf
ББКУДК 514
22.151.0я721.9
М34
М34
Математика. Сборник задач по углубленному курсу :
учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва,
Ю. А. Попов [и др.] ; под ред. М. В. Федотова. — 5-е изд.,
электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2020. — 329 с. —(ВМК
МГУ—школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-707-3
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного
экзамена. Пособие содержит теоретический материал и подборку
задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению
как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
ББКУДК 514
22.151.0я721.9
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика.
Сборник задач по углубленному курсу : учебно-методическое
пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов [и др.] ; под
ред. М. В. Федотова. — 4-е изд. —М. : Лаборатория знаний, 2018. —
324 с. : ил. —(ВМК МГУ—школе). — ISBN 978-5-00101-090-6.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
○c Б. А. Будак,
ISBN 978-5-00101-707-3
○c Лаборатория знаний, 2015
Н. Д. Золотарёва,
Ю. А. Попов,
В. В. Сазонов,
Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов, 2018
Стр.3
Оглавление
От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Часть I. Алгебра
1. Элементы теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Целые числа. Делимость и остатки . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
9
9
9
1.2. Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Смешанные задачи на целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические
неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах
и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах
и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические
замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1. Недоопределённые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 59
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Использование различных свойств функций и применение графических
иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Стр.4
4
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства
и монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . 83
6.4. Использование графических иллюстраций . . . . . . . . . . . 89
7. Метод оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . . 98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8. Задачи на доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 106
8.2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств . . . . . . . . . . . . . 111
9. Использование особенностей условия задачи . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное
введение параметров, смена ролей параметра и переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование
единственности решения, необходимые и достаточные
условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия . . . . . . . 123
9.4. Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Часть II. Геометрия
131
1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.1. Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.2. Теоремы синусов и косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.3. Биссектриса, медиана, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.4. Подобие треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.5. Площадь треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.1. Углы в окружностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.2. Касательные, хорды, секущие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3. Четырёхугольники и многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.1. Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.2. Трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.3. Общие четырёхугольники и многоугольники . . . . . . . . . . 231
4. Задачи на доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.2. Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.3. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.4. Площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5. Задачи на построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.1. Алгебраический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.2. Метод геометрических мест точек . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.3. Метод симметрии и спрямления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.4. Метод параллельного переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.5. Метод подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Стр.5
5
5.6. Метод поворота и смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . 285
6. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.2. Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.3. Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.4. Комбинации тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Стр.6