Исследование электромагнитных волн в вакууме обычно проводят при помощи электромагнитных потенциа лов, которые выбирают так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю, ϕ = 0, а векторный потенциал A удовлетворял уравнению ∇2A− c2 1 и дополнительному условию divA = 0. <...> Тогда напряженности электрического и магнитного полей электромагнит ной волны выражаются через векторный потенциал следующим образом: E = − 1 c ∂A ∂t , B = rotA. nr c ), (1.5) Электромагнитные волны, которые описываются векторным потенциалом A(t− 4 (1.6) ∂2A ∂t2 = 0 (1.3) ∂E ∂t , (1.1) называются плоскими. <...> Напряженность электрического поля E и магнитная индукция B в плоской волне равны по модулю E = B и составляют с вектором n правовинтовую тройку: B = [nE]. плотностью энергии W = E2 +B2 8π в плоской волне соотношением g = cWn. <...> Электромагнитные волны, у которых зависимость от времени t описы вается простой периодической функцией вида cos (ωt+α), называются мо нохроматическими. <...> Важным частным случаем таких волн яв ляется монохроматическая плоская волна. <...> Напряженность электрического поля монохроматической плоской волны бывает полезно представить как вещественную часть комплексного выражения E = Re{E0ei(kr−ωt)}, (1.9) где kr − ωt фаза волны, k волновой вектор (k = ω/c), ω цикли ческая частота (или просто частота) волны, а E0 комплексный вектор, удовлетворяющий условию E0k = 0 поперечности электромагнитных волн в вакууме. <...> От вектора E0 отделяют комплексный множитель e−iα, E0 = be−iα, так, чтобы квадрат вектора b = b1 +ib2, (1.11) как и сами векторы b1 и b2, были бы вещественными величинами. <...> Если выбрать ось x вдоль вектора b1, а ось z по направлению распространения волны, то проекции напряженности электрического поля (1.9) запишутся как Ex = b1 cos(ωt−kz +α), Ey = ±b2 sin(ωt−kz +α). <...> Видно, что в каждой точке пространства конец вектора напряженности электрического поля описывает эллипс в плоскости, перпендикулярной на правлению распространения волны <...>
Задачи_по_электродинамике._Ч._2.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
Ñ. È. Ìàðìî,
Ì. Â. Фролов
ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Часть II
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Содержание
1. Переменное электромагнитное поле
2. Излучение электромагнитных волн медленно движущими
ся зарядами
4
1.1. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
12
2.1. Дипольное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения . . . . . . . 25
2.3. Cпектральное разложение излучения . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Угловое распределение излучения . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5. Поляризация излучаемых волн . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Литература
52
3
Стр.3
Переменные величины Ex и Ey удовлетворяют уравнению
E2
x
b2
1
+ E2
y
2
b2 = 1.
(1.13)
Видно, что в каждой точке пространства конец вектора напряженности
электрического поля описывает эллипс в плоскости, перпендикулярной на
правлению распространения волны. Такие волны называются эллиптиче
ски поляризованными. Знаки ¾+¿ и ¾−¿ перед коэффициентом b2 в форму
ле (1.12) соответствуют правой и левой поляризациям. В случае b1 = b2 = b
эллипс превращается в окружность, и волна (1.12) называется поляризо
ванной по кругу или циркулярной. Величина b, численно равная модулю
напряженности электрического поля, является амплитудой этой волны. Ко
гда один из векторов b1 или b2 обращается в нуль, волну называют линейно
поляризованной (поляризованной в плоскости). Ее записывают в одном из
двух видов
E = eE0 cos (ωt−kr+α),
E = eE0ei(kr−ωt),
(1.14)
(1.15)
где e единичный вектор поляризации, E0 амплитуда, а α постоянный
сдвиг фазы. Физический смысл имеет только вещественная или мнимая
часть комплексного выражения (1.15).
1.1. Уравнения Максвелла
Примеры решения задач
Пример 1.1. Показать, что магнитное поле B в вакууме в отсутствие
токов и зарядов (ρ = 0, j = 0) удовлетворяет волновому уравнению
∇2B−
1
c2
∂2B
∂t2 = 0.
котором j = 0, и ó÷èòûâàÿ, что divE = 0 (òàê как ρ = 0), получим
∇2B = −
1
c
∂t rotE.
∂
Подставив сюда rotE из уравнения (1.1.4), получим волновое уравнение
(1.16) для магнитной èíäóêöèè.
Пример 1.2. В цилиндрических координатах компоненты вектора ин
дукции магнитного поля в свободном пространстве имеют вид Br = Bϕ = 0
6
(1.16)
Ðåøåíèå. Применив операцию rot к обеим частям уравнения (1.1.2), в
Стр.6
и Bz = B(r, t), где функция B(r, t) и ее производные ограничены. Îïðå
делить напряженность E вихревого электрического поля, индуцированного
данным магнитным полем.
Решение. Запишем уравнение Максвелла (1.1.4) в интегральной фор
ìå:
Edl = − dt
1
c
d ∫
BdS.
(1.17)
Из геометрии задачи ясно, что напряженность E вихревого электрического
поля перпендикулярна вектору B и не зависит от координат ϕ и z. Возь
мем в качестве контура в (1.17) окружность радиусом r с центром на оси
симметрии магнитного поля и с плоскостью, перпендикулярной вектору B.
Тогда из (1.17) получим
E = −cr
1
∫r
0
∂tB(ξ, t)ξdξ.
∂
ция B является решением волнового уравнения (1.16).
Пример 1.3. Заряд Q и масса m однородно заполняют объем шара.
нениям Максвелла divE = 0 и rotB = 1
c
∂E
∂t , в которых заданная ôóíê
В начальный момент времени t0 = 0 включается внешнее магнитное поле
с напряженностью B = B(t), которая постоянна по направлению и удо
влетворяет начальному условию B(0) = 0. Зависимостью вектора B от
координат в пределах шара можно пренебречь. Под влиянием магнитного
поля шар приходит во вращение. Пренебрегая обратным влиянием враща
ющегося шара на внешнее магнитное поле, определить угловую скорость ω
вращения.
Решение. Используя результаты предыдущей задачи, находим напря
женность вихревого электрического поля
E = 1
2c
∫
[
rdB
dt
]
,
где r радиус-вектор точки наблюдения, проведенный из центра шара.
Момент сил, приложенный к шару,
[r×ρE]dV = −
QR2
5c
L = 2
5mR2ω
7
dB
dt .
Производная по времени от механического момента
(1.18)
Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что напря
женность E найденного вихревого электрического поля удовлетворяет урав
Стр.7
шара равна моменту внешних сил. Это приводит к дифференциальному
уравнению
интегрирование которого с учетом начального условия дает следующее зна
чение угловой скорости:
dω
dt = −
2mc
ω = −
dB
dt ,
QB
2mc.
Задачи для самостоятельного решения
заряда ∂ρ
∂t +div j = 0.
íû.
1.1. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения
1.2. Ïîêàçàòü, что уравнения divB = 0 и rotE = −
1.3. Ïîêàçàòü, что уравнения divE = 4πρ и rotB = 4π
c j+ 1
1
c
c
∂B
∂t совместны.
Q
∂E
∂t ñîâìåñò
1.4. Используя соответствующее уравнение Максвелла и соображения
симметрии, получить закон Кулона.
1.5. Показать, что поток вектора E через замкнутую поверхность равен
нулю, если внутри поверхности отсутствуют заряды.
1.6. Ïîêàçàòü, что поля B и E можно представить в виде
B = rotA, E = −
c2
∂2E
∂t2 = 0.
1
c
∂A
∂t −∇ϕ .
ков и зарядов (ρ = 0, j = 0) удовлетворяет волновому уравнению
∇2E−
1.2. Электромагнитные волны
Примеры решения задач
и E2 = E02 cos (ωt−kr+α2) поляризованы во взаимно перпендикулярных
направлениях. Считая амплитуду этих волн одинаковой, найти поляриза
ном виде
E1 = Re[E01ei(kr−ωt−α1)], E2 = Re[E02ei(kr−ωt−α2)].
8
Пример 1.4. Две монохроматические âîëíûE1 = E01 cos (ωt−kr+α1)
цию результирующей волны.
Решение. Запишем напряженности электрических полей в комплекс
1.7. Показать, что электрическое поле E в вакууме в отсутствие то
1
Стр.8