Прикладная физика № 2, 2012
5
Общая физика
УДК 533.951
Взаимодействие заряженных частиц с электрическим полем,
имеющим прыгающую фазу
Д. Г. Андреев, Н. С. Ерохин
Представлен анализ взаимодействия заряженных частиц с электрическим полем, имеющим
прыгающую фазу. Показана возможность генерации потоков быстрых частиц в этом
процессе с ростом их энергии на несколько порядков величины. Рассмотрена зависимость
динамики ускорения от параметров стохастически прыгающей фазы электрического поля
и определены оптимальные условия высокой эффективности данного взаимодействия с генерацией
сверхтепловых заряженных частиц.
PACS: 52.40Db, 52.80.Pi
Ключевые слова: электрическое поле, стохастически прыгающая фаза, энергия заряда, амплитуда колебаний,
случайное распределение, сверхтепловые частицы, пробой газов.
Введение
Одним из важных вопросов плазменной электроники
является исследование эффективности
взаимодействия электромагнитных волн, имеющих
стохастические характеристики, с веществом
[1—4]. Данная проблема представляет интерес для
объяснения механизмов генерации потоков ускоренных
частиц в лабораторной и космической
плазме, включая плазменную астрофизику, а также
околоземное пространство.
Согласно экспериментальным работам [2—4],
использование микроволнового излучения со стохастически
прыгающей фазой позволяет реализовать
эффективный бесстолкновительный нагрев
электронов и пробой газа при меньших напряженностях
электрического поля, наблюдать прохождение
этого излучения через плазму с плотностью
выше критического значения (просветление волновых
барьеров). Кроме того, возможны процессы
образования немаксвелловских хвостов ускоренных
электронов и более эффективного возбуждение
резонаторов.
Ерохин Николай Сергеевич1, 2, профессор.
1Российский университет дружбы народов.
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
Андреев Дмитрий Геннадиевич1, аспирант.
E-mail: andemitry@gmail.com
2 Институт космических исследований РАН.
Россия, 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 84/32.
Тел. (495) 333-41-00. E-mail: nerokhin@mx.iki.rssi.ru
Статья поступила в редакцию 25 сентября 2011 г.
© Андреев Д. Г., Ерохин Н. С., 2012
Настоящее сообщение посвящено исследованию
(на основе численных расчетов) взаимодействия
заряженных частиц с электрическим полем,
имеющим прыгающую фазу, и анализу эффективности
этого взаимодействия в зависимости от исходных
параметров. Путем введения нормированных
переменных данная задача сводится к
решению канонического уравнения осциллятора с
внешней силой заданной частоты, имеющей в простейшем
варианте единичную безразмерную амплитуду.
При постоянной фазе поля это соответствует
единичной амплитуде колебаний скорости
заряда. Параметрами взаимодействия являются
характерный интервал времени между скачками
фазы, степень размытости скачка фазы и типичная
амплитуда скачков. В частности, ниже полагалось,
что величина скачка фазы является случайной величиной,
равномерно распределенной в интервале
(-π, π). Рассмотрены различные варианты для интервала
времени между скачками фазы, например,
нецелое число полупериодов электрического поля
и др. Размытость скачка фазы моделировалась
ступенькой, имеющей малую, но конечную толщину.
Проведенные
расчеты показали, что при числе
скачков порядка тысяч и более возможны варианты
сильного ускорения заряда, а именно, безразмерная
амплитуда его скорости в стохастическом
поле может возрастать до десятков и сотен. Следовательно,
за счет прыгающей фазы максимум
энергии заряженной частицы при ее взаимодействии
с осциллирующим электрическим полем может
увеличиться в сотни, тысячи и более раз. Показано
также, что имеются оптимальные условия
Стр.1
6
для реализации такого эффективного взаимодействия.
Основные
уравнения и результаты расчетов
Некоторые качественные особенности движения
частицы в поле волны являются достаточно
известными [5, 6]. Например, в поле электромагнитной
волны, поляризованной по кругу, частица
движется по окружности, плоскость которой перпендикулярна
направлению распространения волны.
В поле однородной линейно поляризованной
поперечной волны заряд движется по синусоидальной
кривой. Наиболее простая модель описания
(в бесстолкновительном случае) стохастического
ускорения частиц основана на следующем
одномерном уравнении для скорости заряженной
нерелятивистской частицы v(t):
dv/dt = qE / m,
(1)
где q, m — заряд и масса частицы, соответственно;
E(t) = E0 cos [ωt + ϕ(t)];
E0 — амплитуда колебаний электрического поля;
ω — частота;
ϕ(t) — стохастически прыгающая фаза.
Удобно перейти к безразмерным переменным
τ = ω t, v = v0u(τ) с характерным значением осцилляторной
скорости заряда v0 = qE0 /(mω). Из (1)
имеем следующее уравнение для безразмерной
скорости u(τ)
du / dτ = cos [τ + ϕ(τ)].
Его решение определяется формулой
0
τ
ud∫ τ τ + ϕ τ( )].
() cos[
τ= ′′ ′
(3)
Следовательно, в случае постоянной фазы
ϕ(τ) = const амплитуда колебаний безразмерной
скорости заряда в электрическом поле равна единице.
Рассмотрим
динамику скорости заряда u(τ) в
случае стохастически прыгающей фазы ϕ(τ).
В численных расчетах уравнения (3) полагалось,
что величина скачка фазы δϕ = θ является случайной
величиной, равномерно распределенной в интервале
(–π, π). Если скачки фазы электрического
поля происходят внезапно через интервал времени
β, тогда на интервале времени nβ < τ < nβ + β для
скорости заряда из (3) получаем следующую рекуррентную
формулу u(τ) = un-1 + sin(τ – nβ + θn) —
sin(θn), где un-1 ≡ u(nβ). При анализе были рассмотрены
различные варианты для интервала времени
между скачками фазы, в частности, β = 7π / 4, 3π / 2,
5π, 6π. Для размытых скачков изменение фазы поля
моделировалась ступенькой конечной толщины
(2)
Прикладная физика № 2, 2012
δϕn(τ) = 0,5⋅θn [ 1 + gn(τ) ],
gn(τ) = (τ — τn )/[ ε2 + (τ – τn )2 ]1/2.
(4)
Здесь параметр ε определяет размытость скачка
фазы и полагался малым, т. е. ε << β.
Если скачки фазы электрического поля происходят
внезапно, тогда на интервале времени τn =
= nβ < τ < τn+1 = (n + 1)β из (4) для скорости получаем
следующую рекуррентную формулу
u(τ) = un-1 + sin(τ + ϕn) – sin(τn + ϕn).
(5)
Причем скорость u = un-1 для момента времени τ
= nβ, а перед (n + 1) скачком фазы, когда τ = nβ + β,
из выражения (5) следует, что
un+1 = un-1 + sin(β+ Ψn) – sin (Ψn),
(6)
где Ψn = nβ + ϕn . Формула (6) дает преобразование
скорости через интервал времени β с учетом
скачков фазы. Заметим, что в момент резкого
скачка фазы электрического поля скорость частицы
u = dξ / dτ и ее смещение ξ непрерывны.
На достаточно протяженном интервале времени
рекуррентное соотношение (6) выявляет существенный
набор энергии частицы за счет случайных
скачков фазы. Здесь следует отметить, что наши
расчеты показали — сильное ускорение частицы
электрическим полем со стохастически прыгающей
фазой происходит при достаточно большом
числе скачков, порядка нескольких тысяч и более.
Изложим результаты расчетов. Был взят вариант
последовательности резких скачков с величиной
скачка из области -π < θ < π через интервал
времени β = 5π. Всего было рассмотрено 104 скачков.
График скорости u(τ) приведен на рис. 1.
В данном случае максимум скорости частицы
umax ≈ 165,75 был достигнут при τ = 64368.
u(τ)
200
150
100
50
0
-50
0
2⋅104 4⋅104
6⋅104
8⋅104
1⋅105 1,2⋅105 1,4⋅105
скачков фазы поля с величиной скачка из области -
= 5
через интервал времени
Для другого варианта интервала между резкими
скачками фазы поля β = 11,17 результат расчетов
показан на рис. 2. Здесь максимум скорости
частицы umax ≈ 104,24 был при τ = 107370, а минимум
скорости umin ≈ – 64,917 имел место при τ =
= 39363.
1,6⋅105
τ
Рис. 1. Динамика скорости заряда u( ) в случае резких случайных
<
<
π
π
τ
β
θ
π
Стр.2
Прикладная физика № 2, 2012
2⋅10-13
u(τ)
150
100
50
0
-50
-100
0
2⋅104
4⋅104
6⋅104
8⋅104
1⋅105
1,2⋅105
τ
Рис. 2. Динамика скорости заряда u( ) при резких случайных скач<
ках
фазы поля с величиной скачка из области -
= 11,17
через интервал времени
Если взять β = 8,11, что близко к 5π / 2, то за
исключением сравнительно малого начального
интервала времени ускорение заряда происходит в
обратном направлении. На рис. 3 представлен
график скорости для данного случая. Теперь максимум
скорости частицы umax ≈ 34,227 достигается
при τ ≈ 2238, а минимум скорости umin ≈ –108,57
имеет место в конце интервала численных расчетов
при τ ≈ 81068. Как видно из графика, в среднем
ускорение частицы идет в направлении отрицательных
ξ.
u(τ)
50
0
-50
-100
-150
<
u(τ)
1⋅10-13
0
-1⋅10-13
0
фазы поля (5⋅104
1⋅105
1,5⋅105
2⋅105
τ
Рис.
4. График скорости заряда u( ) при резких случайных скачках
<
< ) через интервал времени
200
u(τ)
0
max u = 20,718
min u = -560,2
= 6
7
-200
-400
-600
0
2⋅105
6⋅105
106
τ
Рис. 5. График скорости частицы для 50 000 скачков фазы
при выборе интервала между скачками случайным числом
из интервала 5
<
< 7
0
фазы поля (2⋅104
4⋅104
6⋅104
8⋅104
τ
Рис.
3. График скорости заряда u( ) при резких случайных скачках
<
< ) через интервал времени
= 8,11
Интересен случай скачков фазы ϕ(τ) через четное
число периодов поля. Так, расчеты для случая
β = 6π с величиной скачка из области -π < θ < π,
приведенные на рис. 4, показывают практически
полное отсутствие ускорения заряда электрическим
полем в этой ситуации.
Был рассмотрен случай скачков фазы из интервала
-π < θ < π при случайных моментах времени
этих скачков. На рис. 5 показан график скорости
частицы для 50 000 скачков фазы при выборе интервала
между скачками случайным числом из интервала
5π < β < 7π. Как видим, здесь также наблюдается
весьма сильное ускорение частиц
электрическим полем со стохастически прыгающей
фазой.
Было рассмотрено ускорение частиц при их
взаимодействии с продольной волной, имеющей
стохастически прыгающую фазу. Начальная энергия
частицы была значительно меньше фазовой
скорости волны (порядка тепловой скорости). Расчеты
показали возможность сильного ускорения
частиц, динамика скорости зарядов в целом была
аналогична описанной выше. Результаты детального
анализа этого варианта стохастического ускорения
будут изложены в последующей работе. В
заключение отметим, что некоторые варианты
взаимодействия заряженных частиц с электрическим
полем, имеющим стохастически прыгающую
фазу, были ранее рассмотрены в работе [7].
Выводы
1. На основе численных расчетов выполнен
анализ взаимодействия заряженных частиц с электрическим
полем, имеющим прыгающую фазу,
включая исследование эффективности этого взаимодействия
в зависимости от исходных параметров
задачи.
2. Расчеты показали, что при числе скачков порядка
тысяч возможны варианты сильного ускорения
заряда: амплитуда его скорости в стохастическом
поле может достигать десятков и сотен.
π
β
τ
π
θ
π
π
π
τ
β
θ
π
π
β
β
τ
π
θ
π
Стр.3