Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки №5 2011 (260,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2011. № 5 МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА УДК 517.43 О n2 -КРАТНОМ РАЗЛОЖЕНИИ В РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ В НЕРЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ © 2011 г. Г.А. Айгунов, Т.Ю. Гаджиева Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, Махачкала, 367025, dgu@dgu.ru Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, 367025, dgu@dgu.ru Исследуются вопросы разложения в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной задачи. Рассмотрены регулярный и нерегулярный случаи. Получены результаты для нерегулярного случая. Основной результат статьи заключается в определении класса функций, для которого возможно 2n-кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям. Явно найдены коэффициенты данного разложения в случае простых собственных чисел. Новизна результатов состоит в том, что рассмотренный нерегулярный случай является более общим, из него вытекают все ранее полученные результаты. Ключевые слова: ядро резольвенты, нерегулярный, краевая, спектральный параметр, разложение в равномерно сходящиеся ряды, функция Грина, расширяющийся контур, собственные функции. The article is dedicated to questions of the decomposition in row on eigenfunction one unselfassociate problems. They are distinguished regular and irregular events given problems and are received results for unregular event. The main result of the article is concluded in determination of the class function, for which possible 2n-multiple decomposition in evenly-reconverginging rows on own function. Also obviously founded factors given decompositions in the event of simple own чисел. Result novelty of given article consists in that that considered irregular event is more general, from which result all earlier got results. Keywords: сore of resolvent, unregular, boundary, spectral parameter, decomposition in evenly reconverginging rows, function by Grin, expanding sidebar, eigenfunctions. В пространстве (−1) n d f x( ) 2n 2n U f ≡ ( ) = 2n U f ≡ ∑ λωj )k −1 j ( ) j ( ) k =1 (i q x ≡ xg( ) 0 ; при 0 ≤ x a≤ ρ( ) 1≠a q x C a∈( ) ( ) ≡ случай. Для dx f j (0) 0 , q x − λ ρ x f x g x( ), 0 < x a< , j = 0, 1−n f 2n ( ) ( ) = , ] ( , ) 0 , a λ = (2n k) − , ρ( )∈ [0, ] , причем при x a> , ρ( ) 1≡x ρ( ) 0>x x C a 2 n j = ,2 1−nn L2[0, ]a рассмотрим краевую задачу 0H , порождаемую дифференциальным уравнением: + [ ( ) (1) . Будем считать в дальнейшем, что функции [0, ] будем называть регулярным, ρ( ) 1=a . Случай, когда – нерегулярным. В дальнейшем будем рассматривать нерегулярный n = 1 аналогичная задача, когда ρ( ) 1≡x , рассматривалась в [1, 2], где в [1] показано, что система собственных функций задачи полна, и изучена асимптотика собственных чисел этой задачи; в [2] указан класс функций, допускающих разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи. Для уравнений n2 -го порядка случай, когда ρ( ) 1≡x , рассмотрен в [3, 4]. 5 ( = , Цель настоящей статьи – определение класса функций, для которых возможно n2 -кратное разложение в ряд по собственным функциям данной задачи. Введем класс функций µD , удовлетворяющих условиям: f x C a , µ = 2 nm, m – некоторое нату_ ( )∈ µ ральное число; k l  m раз l      l      ______ i 2,2n ρ ρ     1 ... 1 lf       m раз l ρ ρ     1 ... 1 lf      Лемма. Пусть функция f x ∈ µD)( , ρ x q x C a числа m справедливо тождество: R f 0 ( λ ⋅ρ = − n f x ) λ 2 − ( ), ( )∈ µ− 1 [0, ] ). Тогда для любого целого положительного ( ) ( ) k ( ) 0 , a = __________ k = 0,2 1−n _ . ( ) (0) 0 , = ________ k = 0, 1−n , f [0, ] ( )k (0) = f ( )k ( ) 0 , a = __________ k = 0,2 1−n ;

Стр.1

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.  1 1 ...1 ρ ρ ρ l − ∑ m r − = 1 1      λ ( 1)2n r+ D µ следует, что    l r раз lf      + R l λ 0  m раз l      λ 2 nm ρ ρ     1 ...1 lf      (2) Доказательство. Из определения класса функций f ( )x удовлетворяет краевым условиям задачи 0H . Пусть λ = λ 0 – регулярное значение, тогда при этом значении 0λ существует функция Грина (т.е. существует обратный оператор 1 0 Применив к обеим частям (1) оператор 1 0 f x ≡ R x t λ [lf t − λ ρ t f t ]dt . a ( ) ∫ 0 Разделив это тождество на m = 1, т. е. ( 0 Rλ f x ⋅ρ x( ))= − ( ) f x R lf x( ) 2n + ( ) λ λ 0 λ 2n . (3) Чтобы полностью доказать лемму, для R0 ( )xlfλ напишем равенство, заменив f на lfρ 1 в формуле (3) 1 R lf λ 0 λ = − ρ 2n + lf R l ρ λ 0  1   λ R f ⋅ρ = − λ ( 0 ) 1 = − Для f x( ) 2n λ λ ρ lf R l 10     λ − ρ f x( ) λ 2 n Это выражение для R lf0 2n + 2n λ 1 4n +    ρ lf1 в формуле (4) R l ρ λ 0  1   lf  = − ρ ρ  1 1 l    Это выражение R fλ ⋅ρ = −  0 ( + 4n − ρ ρ 1 λ       1 1 l    λ 2n )   λ 2n λ ρ lf R l 10     1 f x( ) 2n λ lf     + λ − ρ lf 4n + R l λ 0     ρ ρ 2n 1 1 l    λ lf                6 = = ∑ λ k= 2 1 0 n− j k− −1 m r ∑ − = 1 1 lf     +    подставим в (5)  R l λ 0     ρ ρ 2 n 1 1 l    λ lf         . lf R l ρ λ 0  1   λ 4 n lf     . λ подставим в (3)        lf     . (5) в  напишем равенство, заменив f на 1 λ − ρ 2n + lf R l ρ λ 0  1   λ 2n lf            C = p 2nλ p [ 2 1n− ⋅ ρ ⋅ϕ2 0 a ∫ ( ) t p = (4) 2 n λ0 , получим (2) при 0( , , ) ( ) 2 0 n ( ) ( ) − Lλ , получим − Lλ ). 1 = − f x( ) 2n λ Здесь l      функции lfρ 1 . Пусть νH – ганкелева матрица n2 -го порядка, у которой элементы с суммой индексов ν равны 1, а остальные – нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. h , λ µ = ΛH n− − − M k l = Λ = λ λ2 1−n k l ( , ) C ckl = BW W11(1) Элементы матрицы Fn( , )µλ = [ [1, ,..., ] 1 21(1) ⋅ Теорема. Пусть j ( ) 2 2 k l Τ [1, ,..., − 1 ] , M = µ µ2 1−n , , 0,..., 1 , ] , n − , Fn ( , ) [ kl , номы по λ и µ степени не выше 2 2−n f x ∈ µD , µ = 2 nm и q x( ), ( )x C a . Тогда при m > + 1n ρ ∈ µ− 1 [0, ] H 0 вида j ( ) (6) λ µ = h ckl ] . – однородные поли. __________ j = 0,2 1−n , эти функции допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям ϕp ( )x задачи f x = ∑ C λ ϕp ( )x , ( p ∞ =1 p p j a ∫ϕ ρ t t 0 p ( ) ( ) ∑ λ p j= 2 1 0 n− __________ j = 0,2 1−n 2n j− −1 ). ⋅ f j ( )t dt Φp,1( )à = ϕp (à),...,ϕ −( 1) n F x λ = −λ ⋅ ∑ λ k= j ( , ) j 2 1 0 __________ j = 0,2 1−n F x λ = ∑ j ( , ) 2 1 0 n− . Используя лемму, перепишем (8) в виде ( , ) k = λ где g ( ,λ =)xj 1 1 ...1 ρ ρ ρ l      λ 2nr     l r раз lf      − R l λ λ 0      m раз l   n m− ρ ρ    1 ...1 lf      k j− + +1 2 ( 1 ) . f x( ) − +1 k j k + g x λ , j случае простого полюса (à )] ; Fn p pλλ ( , р ( )t dt +Φp,1( )a F (λ λ ΦΤ λ p n p, p ) формулой (6). Доказательство. Определим функцию n− p,1(a ) , ) определяется 2n k− −1 ⋅ Rλ f x x ), 0 ( k ( )ρ( ) (8) (9) (7) λ − ρ 4n − ρ ρ lf     l 1 ... 1 ( )xlf ρ ρ      тата применения ( −m -й итерации оператора l к 1 ) 1 1 l    λ 6n ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2011. № 5 lf     + R l λ 0     ρ ρ 6 n 1 1 l    λ lf         . Повторяя эти рассуждения m раз, придем к (2).  m раз есть значение в точке x резуль

Стр.2

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. Рассмотрим интеграл ∫ IN = π ΓN 2 i F x dλ λ , λ∈Γ N , j ( , ) 1 где функция F ( , )λxj R0( , , )λtx ≤ (10) определена по формуле (9), а Γ N – последовательность расширяющихся контуров в комплексной плоскости λ , на которых ядро резольвенты R x t 0( , , ) λ ≤ λ − +n C n 2 2 IN = f x + π ΓN j ( ) 1 ΓN j ( , ) − ∫ ∑ Так как ΓN k= λ 2 1 0 n− k j− + + nr ΓN j ( , ) допускает оценку [5] 2 1 . Подставим в (10) выражение (9) ∫ 2 i g x dλ λ , j ( , ) где ∫ g x dλ λ = ∫ ∑ ∑ ΓN k= 2 1 0 n− R l ρ ρ l λ 0  1 ... 1 k j− + +1 2 ( 1) d λ . j k 2≠−   lfk     n m− nr можно заключить, что ∫ g x dλ λ = − ∫ ∑ ΓN k= λ 2 1 0 n− R l ρ ρ l λ 0  1 ... 1 k j− + +1 2 ( 1) d λ .   Γ N выполняется неравенство: ≤ ΓN ∫ g dλ ≤ ∫ g d⋅ λ ΓN j ≤ C N 1 2n 2 − +2n 1 j ΓN N ∫ Поступила в редакцию dλ 2 ( 1) n m− − +j 1 ≤ lfk     n m− В силу теоремы Коши и оценки (11) на контурах 5. 4. ( r ≥1 ) ( j k 2<− nr ), то 1 2 ≠ 1 , поэтому в силу теоремы Коши 3. 2. m r − = 1 1 ρ ρ λ 1 2 1 1 ... 1 l     l    ρ lfk     k j− + + nr     dλ − 1. (11) (12) ≤ N C2 N n m− − −j n2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 C n m− − −n n +2n 2 + −2n 1 ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2011. № 5 ≤ = C2 N ∫ → 0λ ΓN g dj N→∞ при N → ∞ . lim IN = ∑Re ( j ( , ) k . λ=λ0 Сопоставляя (12) и (14), убеждаемся в справедливости разложения (7). Теорема доказана. Литература Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика (сб. переводов). 1963. Т. 7, № 4. С. 83–89. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. № 6. С. 1255. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2 n -го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001–1004. нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2n-го порядка на отрезке [0, Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной ] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 8–9. 2 (n m n− −1 ) . Поэтому достаточно положить, что m > + 1n . Тогда равномерно по x [0, ]a∈ (13) С другой стороны, как и выше, получим равенство s F x λ ) (14) 16 сентября 2010 г. 7 α

Стр.3

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. Рассмотрим интеграл ∫ IN = π ΓN 2 i F x dλ λ , λ∈Γ N , j ( , ) 1 где функция F ( , )λxj R0( , , )λtx ≤ (10) определена по формуле (9), а Γ N – последовательность расширяющихся контуров в комплексной плоскости λ , на которых ядро резольвенты R x t 0( , , ) λ ≤ λ − +n C n 2 2 IN = f x + π ΓN j ( ) 1 ΓN j ( , ) − ∫ ∑ Так как ΓN k= λ 2 1 0 n− k j− + + nr ΓN j ( , ) допускает оценку [5] 2 1 . Подставим в (10) выражение (9) ∫ 2 i g x dλ λ , j ( , ) где ∫ g x dλ λ = ∫ ∑ ∑ ΓN k= 2 1 0 n− R l ρ ρ l λ 0  1 ... 1 k j− + +1 2 ( 1) d λ . j k 2≠−   lfk     n m− nr можно заключить, что ∫ g x dλ λ = − ∫ ∑ ΓN k= λ 2 1 0 n− R l ρ ρ l λ 0  1 ... 1 k j− + +1 2 ( 1) d λ .   Γ N выполняется неравенство: ≤ ΓN ∫ g dλ ≤ ∫ g d⋅ λ ΓN j ≤ C N 1 2n 2 − +2n 1 j ΓN N ∫ Поступила в редакцию dλ 2 ( 1) n m− − +j 1 ≤ lfk     n m− В силу теоремы Коши и оценки (11) на контурах 5. 4. ( r ≥1 ) ( j k 2<− nr ), то 1 2 ≠ 1 , поэтому в силу теоремы Коши 3. 2. m r − = 1 1 ρ ρ λ 1 2 1 1 ... 1 l     l    ρ lfk     k j− + + nr     dλ − 1. (11) (12) ≤ N C2 N n m− − −j n2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 C n m− − −n n +2n 2 + −2n 1 ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2011. № 5 ≤ = C2 N ∫ → 0λ ΓN g dj N→∞ при N → ∞ . lim IN = ∑Re ( j ( , ) k . λ=λ0 Сопоставляя (12) и (14), убеждаемся в справедливости разложения (7). Теорема доказана. Литература Редже Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния // Математика (сб. переводов). 1963. Т. 7, № 4. С. 83–89. Кравицкий А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1966. № 6. С. 1255. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 5. С. 1025. Айгунов Г.А. Об одной краевой задаче, порождаемой несамосопряженным дифференциальным оператором 2 n -го порядка на полуоси // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 5. С. 1001–1004. нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2n-го порядка на отрезке [0, Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной ] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 8–9. 2 (n m n− −1 ) . Поэтому достаточно положить, что m > + 1n . Тогда равномерно по x [0, ]a∈ (13) С другой стороны, как и выше, получим равенство s F x λ ) (14) 16 сентября 2010 г. УДК 517.9 СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ n -го ПОРЯДКА СО СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ © 2011 г. Р.Г. Алиев, И.Ф. Шахпазова Дагестанский государственный университет ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, 367025, dgu@dgu.ru Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, 367025, dgu@dgu.ru Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение n-го порядка со сосредоточенным и распределенным запаздыванием с периодическими неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. Для данного уравнения выясняются условия существования периодического решения с помощью функции Грина. Доказывается теорема о существовании единственного периодического решения уравнения. α

Стр.4

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2011. № 5 Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, периодическое решение, сосредоточенное запаздывание, распределенное запаздывание, гильбертово пространство, неограниченные операторные коэффициенты, функция Грина, резольвентный оператор. The article studies the functional and differential n-order equation with concentrated and distributed delay and with periodic unlimited operational coefficients and deviation of arguments in Gilbert space. There are cleared out conditions of existence of periodic solution with the help of Grin's function for the given equation. The theorem of the existence of the only periodic solution of given equation is proved out. Keywords: functional and differential equation, periodic solution, concentrated delay, distributed delay, Gilbert space, unlimited operational coefficients, Green's function, resolvent operator. Необходимые и достаточные условия существования h-периодических решений уравнения [ X t′ = ∫ dR t X t − τ + F t( ), 0 σ ( ) , ) ( , )τ ] ( ( ) R(t h+ τ = tR( ,τ ), F t h F t≡+ ) (1) ( ), h>0, получены в [1]. В [2] рассмотрены ненулевые решения однородного периодического уравнения (1): Y t h Y t≡+ ( ) X e Y( ),t = pt ( ), называемые решениями Флоке; асимптотические разложения произвольного решения однородного уравнения (1) по решениям Флоке – в [1]. В [3] рассматривается операторное уравнение x t)′ −( Ax(t)= f(t) с периодической правой частью f t ≡ f t T ( ) ( + ) и выясняются условия существования периодических решений этого уравнения. Доказана теорема о существовании единственного T-периодического решения x(t). В случае уравнения 2-го порядка аналогичные вопросы частично затронуты в [4]. Вопросы разрешимости уравнения с Tпериодической правой частью ∑ 1 ( )du t i dt 1 ( )du t i dt − j 0 = m j j − ∑ A A t Sh h t( )u t = f t( ) 0 j= [ j + j ( ) ] j + j ( ) A t S( ) h t( )u t = f t( ) ( ) и уравнения с T-периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента m рассмотрены в работе [5]. Данная статья посвящена выяснению условий существования периодического решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка − ∑ ∑ A S L u t D u t n p n k − = 1 0 ( ) ≡ ( tn m j=0 j ( ) − k hkj + ∫ dA S D u t = f t( ), ,τ ∈t R b a k (τ) τ ) tk ( ) (2) с неограниченными операторными коэффициентами Akj , области определения которых принадлежат гильбертову пространству X, область значений – гильбертову пространству Y; a, b – вещественные числа, a

Стр.5