МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
В.П. Орлов
МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
Содержание
1 Введение.
2 Основные понятия.
3 Основные понятия теории антагонистических игр
4 Mатричныe игры
4
7
2.1 Бескоалиционные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9
3.1 Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10
4.1 Основные понятия теории матричных игр . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Решение матричной игры на примере задачи о разорении двух
фирм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Бесконечные антагонистические игры.
21
5.1 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Решение задачи о разорении фирмы для непрерывного случая . 24
3
Стр.3
будет решена задача, в которой рассматривается одна из модификаций игры
«Музыкальные стулья».
В разделе «Арбитражная схема Нэша» вводится новый класс игр
(N, S, v0) (так называемые игры с переговорами) где N - множество игроков,
S - переговорное множество, v0 - вектор максиминных выигрышей
игроков. и исследуется принцип оптимальности, позволяющий найти арбитражное
решение (вектор выигрышей) одной из таких игр. В качестве приложения
данного принципа будет найдено арбитражное решение биматричной
(2×2)-игры.
6
Стр.6
2. Основные понятия.
2.1. Бескоалиционные игры.
Пусть заданы непустые множества Xi, где i = 1, . . . , n. Рассмотрим
множество X = X1 Ч . . . Ч Xn, то есть X = {x = (x1, . . . , xn)| xi ∈
Xi, i = 1, . . . , n}. Для каждого i = 1, . . . , n определим функцию
Hi : X1 ×X2 ×. . .×Xn →R1.
Процесс бескоалиционной игры кратко можно описать следующим образом.
Участники игры независимо друг от друга выбирают стратегии xi ∈
Xi, i = 1, . . . , n. В результате в игре складывается набор стратегий
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ X, называемый ситуацией, и i-й игрок получает
выигрыш Hi(x). В качестве исхода игры рассматривается вектор H(x) =
(H1(x), . . . , Hn(x)). При этом игрок i предпочитает ситуации x ситуацию x′
тогда и только тогда, когда Hi(x′) > Hi(x). Если Hi(x′) = Hi(x), то ситуации
x и x′ для игрока i равноценны.
Определение 2.1. Система
Γ = (N, {Xi}i∈N, {Hi}i∈N),
в которой N = {1, 2, 3, . . . , n} - множество игроков, Xi - множество
стратегий игрока i, Hi - функция выигрыша игрока i, определённая на декартовом
произведении множеств стратегий игроков X = ∏Xi (множество
i=1
n
ситуаций игры), называется бескоалиционной игрой.
Рассмотрим теперь частные случаи бескоалиционной игры n лиц.
Определение 2.2. Если множества стратегий игроков Xi, где i ∈
{1, . . . , n} конечны, то игра называется конечной бескоалиционной игрой
n лиц.
7
Стр.7
Определение 2.3. Бескоалиционная игра Γ, в которой принимают участие
два игрока, называется игрой двух лиц (Γ = (X1, X2, H1, H2)).
Определение 2.4. Конечная бескоалиционная игра двух лиц называется
биматричной.
При этом удобно считать, что (X1 = {1, . . . , m}, X2 = {1, . . . , n}), а
функции H1 и H2 записываются в виде матриц
A =
α11 . . . α1n
. . . . . . . . .
αm1 . . . αmn
и B =
β11 . . . β1n
. . . . . . . . .
βm1 . . . βmn
.
Здесь элементы αij = H1(i, j) и βij = H2(i, j) матриц A и B являются соответственно
выигрышами игроков 1 и 2 в ситуации (i, j), i ∈ X1, j ∈ X2.
Биматричную игру удобно представлять так: игрок 1 выбирает номер iй
строки матрицы A, а игрок 2 (одновременно и независимо) - номер j-го
столбца матрицы B. В результате в игре образуется ситуация (i, j), причём
игрок 1 получает выигрыш αij, а игрок 2 - выигрыш βij.
Часто биматричную игру записывают в виде
(A,B) =
(α11, β11)
. . .
. . . (α1n, β1n)
. . . . . .
(αm1, βm1) . . . (αmn, βmn)
.
Если H2 = −H1, или, что то же, B = −A, то игра становится антагонистической
и называется матричной. Матричная игра целиком определяется
матрицей A.
Перейдем к изложению основных понятий теории матричных игр.
8
Стр.8