Иродова ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ В КУРСЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Учебное пособие Рекомендовано научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальности Математика Ярославль 2010 УДК 517 ББК В162я73 И 83 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> К. Д. Ушинского Иродова, И. П. Линейные функционалы и операторы в курсе функциоИ 83 нального анализа: Учеб. пособие/И. <...> Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 010100.62 Математика, по специальности 010101.65 Математика (дисциплина ”Функциональный анализ и интегральные уравнения”, блок ОПД), очной формы обучения. <...> Сильная и слабая сходимость последовательности функционалов 7. <...> Норма оператора и примеры ее вычисления 10. <...> Тестовые задания Литература 5 13 18 23 31 35 37 45 50 58 66 76 81 89 88 119 2 3 Предисловие Соединение идей и методов алгебры, геометрии, топологии и анализа дало новую отрасль математической науки — функциональный анализ. <...> ” Это объясняет то обстоятельство, что функциональный анализ - одна из базовых дисциплин, которую изучают студенты, обучающиеся по специальности ”Математика”. <...> Линейные нормированные пространства Множество L называется линейным нормированным пространством, если 1) L – линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные) числа; 2) каждому элементу x ∈ L ставится в соответствие вещественное число x, называемое нормой, причем предполагается, что выполняются следующие три условия: плексного числа λ; 1. x ≥ 0; x = 0 только при x = 0; 2. λx = |λ| · x для любого x ∈ L и любого вещественного или ком3. x+y ≤ x+y для любых x, y ∈ L. <...> Пространство ln упорядоченные наборы из n действительных чисел x = (x1, .,xn), n ≥ 1. <...> Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 7 11. <...> Заметим, что для непрерывной функции истинный супремум совпадает с ее максимумом. <...> Сравните пространства ln Как показывают приведенные выше примеры, на одном <...>
Линейные_функционалы_и_операторы_в_курсе_функцио-_нального_анализа_Учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
И. П. Иродова
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ
В КУРСЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Учебное пособие
Рекомендовано
научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальности Математика
Ярославль 2010
Стр.1
УДК 517
ББК В162я73
И 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010 года
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, доцент Е. Р. Матвеев;
кафедра математического анализа Ярославского государственного
педагогического университета им. К. Д. Ушинского
Иродова, И. П. Линейные функционалы и операторы в курсе функциоИ
83
нального анализа: Учеб. пособие/И.П.Иродова; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова.
— Ярославль: ЯрГу, 2010. — 124 с.
ISBN 978-5-8397-0724-5
Пособие содержит основные и наиболее важные понятия теории линейных
функционалов и операторов. Изложение ведется в форме задач и упражнений.
Приводится достаточно большое число примеров с подробными решениями.
Учебное
пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению
010100.62 Математика, по специальности 010101.65 Математика (дисциплина
”Функциональный анализ и интегральные уравнения”, блок ОПД),
очной формы обучения.
Сборник подготовлен с использованием издательской системы L
Библиогр.: 9 назв.
ATEX.
ISBN 978-5-8397-0724-5
© Ярославский
государственный
университет
им. П.Г. Демидова, 2010
Стр.2
Оглавление
Предисловие
1. Линейные нормированные пространства
2. Непрерывные линейные функционалы
3. Норма функционала
4. Общий вид функционалов в различных пространствах
5. Сопряженные пространства
6. Сильная и слабая сходимость последовательности функционалов
7.
Теорема Хана–Банаха
8. Линейные непрерывные операторы
9. Норма оператора и примеры ее вычисления
10. Пространство линейных ограниченных операторов
11. Обратные операторы
12. Сопряженные операторы
13. Компактные операторы
14. Спектр оператора
Приложение. Тестовые задания
Литература
5
13
18
23
31
35
37
45
50
58
66
76
81
89
88
119
2
3
Стр.3
Предисловие
Соединение идей и методов алгебры, геометрии, топологии и анализа дало
новую отрасль математической науки — функциональный анализ. Как
отмечается в [6], ”его методы с успехом используются во многих разделах
современной теоретической и прикладной математики. Более того, развитие
таких дисциплин, как дифференциальные уравнения, теория управления, методы
вычислений и др. вряд ли было бы столь успешным, если бы при этом не
использовались идеи и методы функционального анализа.” Это объясняет то
обстоятельство, что функциональный анализ - одна из базовых дисциплин,
которую изучают студенты, обучающиеся по специальности ”Математика”.
Курс ”Функциональный анализ и интегральные уравнения” довольно сложен.
Это связано с высокой степенью абстракции вводимых понятий. Именно
абстрактность позволяет исследовать далекие на первый взгляд друг от друга
вопросы. Поэтому необходимо научиться применять методы функционального
анализа, а также освоить методику решения задач.
Настоящее учебное пособие отличается от учебной литературы, опубликованной
по этой теме. Главное отличие состоит в том, что в пособии кроме
необходимого кратко изложенного теоретического материала собрано большое
число задач с подробными решениями. Следует отметить, что хотя задачи
подобраны разной степени сложности, предпочтение отдается вычислительным
задачам. Причина такого выбора заключается в желании помочь
студенту научиться решать задачи. Здесь уместно напомнить высказывание
А.Нивена - ”Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”.
Учебное пособие разделено на параграфы. Каждый параграф начинается
с необходимых определений. Часть теоретического материала содержится в
задачах. В пособии отсутствуют полные математические доказательства, но
приведены ссылки на литературу, где их можно найти.
В приложении даны индивидуальные задания, которые помогут проверить
качество полученных знаний.
4
Стр.4
§ 1.
Линейные нормированные
пространства
Множество L называется линейным нормированным пространством,
если
1) L – линейное пространство с умножением на вещественные (комплексные)
числа;
2) каждому элементу x ∈ L ставится в соответствие вещественное число
x, называемое нормой, причем предполагается, что выполняются следующие
три условия:
плексного числа λ;
1. x ≥ 0; x = 0 только при x = 0;
2. λx = |λ| · x для любого x ∈ L и любого вещественного или ком3.
x+y ≤ x+y для любых x, y ∈ L.
Приведем примеры наиболее часто встречающихся нормированных пространств.
1.
Пространство ln
упорядоченные наборы из n действительных чисел x = (x1, ...,xn), n ≥ 1.
Норма определяется с помощью равенства
n
x =
k=1
|xk|p
1
p
.
Заметим, что в случае p = 2 мы получаем евклидово пространство Rn.
2. Пространство ln
x = max1≤k≤n |xk|.
5
щем примере, являются упорядоченные наборы из n действительных чисел.
Норма определяется по формуле
∞. Элементами пространства, так же как в предыдуp
, 1 ≤ p <∞. Элементами этого пространства являются
Стр.5