В первой главе рассматриваются: понятие и основные свойства действительных чисел; комплексные числа: геометрическое изображение, алгебраическая и тригонометрическая формы представления, действия производимые над ними. <...> В пятой главе рассматриваются элементы аналитической геометрии в пространстве, а именно: цилиндрические и сферические системы координат; уравнения поверхности и линии, плоскость и прямая в пространстве; цилиндрические поверхности и поверхности вращения второго порядка, а также основные сведения о формах записи и видах знакоопределенности квадратичных форм. <...> Если x = 0, то получаем чисто мнимое число iy, которое изображается точкой В(0, y), лежащей на оси Оу. <...> Квадратным корнем из комплексного числа называется комплексное число, квадрат которого равен данному числу. <...> Модуль и аргумент комплексного числа Как уже отмечалось в п. <...> Аргумент комплексного числа z обозначают через Arg z. <...> Аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное 2π. <...> Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме Рассмотрим два комплексных числа z1 и z2, заданных в тригонометрической форме z1 = ρ1(cosφ1 + isinφ1), z2 = ρ2(cosφ2 + isinφ2). <...> Таким образом, произведение комплексных чисел z1 и z2 в тригонометрической форме выражается следующей формулой: z1 · z2 = ρ1 ρ2[cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2)]. <...> Переходим к вопросу о возведении в степень комплексного числа z = ρ(cos φ + isin φ), заданного в тригонометрической форме. <...> В данной плоскости проведем две взаимно перпендикулярные координатные оси: горизонтальную Ох (ось абсцисс) и вертикальную Оу (ось ординат). <...> 4 Пусть дана произвольная точка М рассматриваемой плоскости. <...> Проведем через точку М прямую, параллельную координатной оси Оу, точку пересечения этой прямой с осью Ох обозначим через Мх; проведем через М также прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с осью Оу в точке Му. <...> С другой стороны, если дана упорядоченная пара чисел <...>
Математика._Раздел_1.__Алгебра__и__геометрия.pdf
Министерство культуры Российской Федерации
Кемеровский государственный университет культуры и искусств
Кафедра технологии автоматизированной обработки информации
Э. Н. Огнева
МАТЕМАТИКА
Раздел 1. Алгебра и геометрия
Учебное пособие
по специальности 080801 «Прикладная информатика
(в информационной сфере)», специализации
«Информационные сети и системы»; по направлению
230700 «Прикладная информатика»,
квалификации (степень) «Бакалавр прикладной информатики»
Кемерово 2011
Стр.1
ББК 22.1я73
О38
Утверждено на заседании кафедры технологии автоматизированной
обработки информации 21.01.11 г., протокол № 8.
Рекомендовано к изданию методическим советом института
информационных и библиотечных технологий КемГУКИ 26.01.11 г.,
протокол № 9.
Рецензенты:
заведующий кафедрой вычислительной техники и информационных технологий
Государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования «Кузбасский государственный технический университет»,
доктор технических наук, профессор
А. Г. Пимонов;
профессор кафедры математики Государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Кузбасский государственный технический университет»,
доктор физико-математических наук, профессор
В. А. Гоголин;
заведующий кафедрой информационных технологий Кузбасского регионального
института повышения квалификации и переподготовки работников образования,
кандидат физико-математических наук, доцент О. Л. Колпаков
О38 Огнева, Э. Н. Математика. Раздел 1. Алгебра и геометрия [Текст]:
учеб. пособие для студентов специальности 080801 «Прикладная информатика
(в информационной сфере)», специализации «Информационные сети и
системы»; по направлению 230700 «Прикладная информатика», квалификации
(степень) «Бакалавр прикладной информатики» / Э. Н. Огнева. –
Кемерово: Кемеров. гос. ун-т культуры и искусств, 2011. – 227 с.
ББК 22.1я73
© Э. Н. Огнева, 2011
© Кемеровский государственный университет
культуры и искусств, 2011
2
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
1.1. Действительные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Алгебраическая форма комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Декартовы прямоугольные и полярные координаты на плоскости . . . .24
2.2. Уравнение линии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Глава 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
3.1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
3.2. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
3.5. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..108
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..109
Глава 4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
4.1. Понятие вектора, линейные операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2. Нелинейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
4.3. Линейная зависимость векторов. Базис линейного пространства . . . . 130
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
3
Стр.3
Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
5.1. Декартовы прямоугольные, цилиндрические и сферические
координаты в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.2. Уравнение поверхности и линии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
5.3. Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4. Цилиндрические поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
5.5. Поверхности вращения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.6. Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Тестовые задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Приложение. Таблица значений тригонометрических функций . . . . . . . . . . .226
4
Стр.4