Вестник ДГТУ. 2011. Т. 11, № 1(52)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.3
УРАВНЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ
ДЛЯ БИОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Н.А. БАЗАРЕНКО, И.М. ПЕШХОЕВ
(Донской государственный технический университет)
Введение. При решении в цилиндрической системе координат r ,, осесимметричной задачи
r 1 и соответствующие бигармоническим
z
теории упругости для круглой плиты находятся так называемые однородные решения [1-5], оставляющие
свободным от напряжений торец плиты
функциям ( , ), kzrk
1
0
1
n
n
где
T r iu r
T iu r z
k ( )
z
k
z
( )
j
j
z ( )r , u r 0
nr)
r
0
n
z
n
rz
1 0
n
( )r n
z ( )
0 ,
nr)
~ ( , ) rz ( , ),
~ 2
k 0
n ( ),z T r z T r z
( ),r P r ( )r j u r( )
z r z jur r z ,
r
n0
k
rz
k
r
( )
~ ( )
n
r
r
k ( )
k ( )
i
k
z
z
k ( )
k 0
k
r
u Gur u r k ( ,z u Gu u r k z( ),
0
r z P i ( , ) ~ ( , )
) ~ 2
z
k0
r( ) J J2 0 ( r JJ1 1( ,
2 J J0 1( r JJ1 0 ( ,
nr) n
nr) n
0 и J J2 / J0 1
n
( , nm
2
0
3
1
n
k ( , , )
k
k0
J0 1
4 1/ 2
0
Векторные функции
U T t d Ut
1
n
n ( ) ,
0
T r P r rdr U r U r dr V r V r dr
0
n ( )
m( )
n ( )
m( )
5
0
n ( )
m( )
2 2
k J1 J0
2
G r z G 2ReGn
n ( ),
m rP rm ( ) , V n P t d Vt
1
n ( ) ,
образуют биортогональные нормированные системы
1
1
1
n1
rz ( ) 0, u r r ,
nr)
r
r ( )
0
G – модуль сдвига; – коэффициент Пуассона,
– функции Бесселя, k – корни уравнения [5]:
0
k
( 1,2, )
u r e J1( r JJ1 0( ,
2/
n
r
u r ( ) 2
nr)
n
z
( )
( )
2 0, Re 0;
n
z
n
1 ,
2
r J J1 0 ( ,
n n
n
n
r)
1 2 ; J ( r J J ( )
),
k 0,1,,
n – нормирующие множители.
Здесь и далее штрих у знака суммы означает укороченную запись
( 0 0, R ,Imen
0,1, ) , а также другие функции
r
n
0, n .
1,2, )
T r P rm( ) , соответствующие собственным значениям
r
m rT r( )
0,
m
1, m n,
.
m n
n m,
(2)
(3)
n
0 ,
0
1
1
k
z
( )
0
0,1, :
0[
n
1 e J0 ( r JJ1 1( n z( ), )(n z dnch nz cnsh z
( , ), P r k ( )z P r z ,
c zr
n
2z
nr)
/ 3] d (r
nr)
0
0 z c z d ,
k ( )
k 0
– собственные векторные функции,
en n J 1 ,
2 2 ,
J0
1
0
,
( , )
n
(1)
2
3
2
/ 2 z ),
2
( ) 2 0 2 0
П с мч
с ряю п л
о т о е
К
у
и
г
л ем фл еоыу в
ч
о у ц , а
ен у ьн с
раиа в
н ил
к к о
н , пен о г
в й к :
е з я л и
и в ов
ал по йн
з ла
ру р
к
у
ен
нщиы а
м ю т зи е
у
т
ое р л ти он с
с
, м
к
т еши д т ро ,
а д и
л ь к в о
ц ни у
я б ои н к д
т
рт к е р
о т о н
о т ч о
а н о
г
а е з д ей ы
он н д
ны о н
л а л
о а нч ы ен
ьн д и реш
й с и т т я
и
с е . .
и и
т о дем ри.
ы и у
ф
у п
н ру
к гц ои сй и д
. О
п
т
рл
едя теле
ел кн оы н
с еч
в
о н
й ы
с
т х раа з з
в
а м
меро
к
н
у в –
т
ы
х
Стр.1