ISBN 978-5-7638-2127-7
Монография посвящена изложению результатов исследования бесконечных групп с заданными централизаторами инволюций, дважды транзитивных групп подстановок и групп с заданной сильно вложенной или сильно
изолированной подгруппой. <...> . . . . . . . . . . . 128
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
141
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
146
4
Введение
В монографии излагаются результаты авторов и В. Д. Мазурова
о бесконечных дважды транзитивных группах подстановок, периодических и смешанных группах с заданными централизаторами инволюций,
либо содержащими сильно вложенную или сильно изолированную подгруппу с инволюциями. <...> Две инволюции всегда порождают прозрачно устроенную
группу — так называемую группу диэдра. <...> Их не найти, например, в группах НовиковаАдяна [1], т. е. свободных группах нечетного периода ≥ 665, в которых
каждая конечная подгруппа циклическая, и тем более в простых бесконечных периодических группах без инволюций с циклическими собственными подгруппами. <...> Как черные дыры, они могут втянуть в себя элемент любого нечетного
порядка, а вот маленькая инволюция может их взорвать изнутри согласно доказанной в 1972 г. замечательной теореме В. П. Шункова [28] о почти разрешимости периодической группы с конечным централизатором
инволюции. <...> Появилась надежда, что некоторые результаты о конечных группах с инволюциями могут быть перенесены на периодические группы. <...> А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым было получено первое описание периодической группы G с заданными бесконечными централизаторами
инволюций. <...> Предполагалось, что централизатор каждой инволюции в
группе G является элементарной абелевой подгруппой. <...> Более того, результат оставался справедливым, если вместо периодичности предполагать лишь наличие в G конечной инволюции (инволюция i группы G
называется конечной, если |iig | < ∞ для каждого g ∈ G). <...> В этих исследованиях основной анализ был связан со случаем сильной вложенности
в G нормализатора силовской 2-подгруппы. <...> Напомним <...>
Бесконечные_группы_с_инволюциями.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
А. И. СОЗУТОВ, Н. М. СУЧКОВ, Н. Г. СУЧКОВА
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
С ИНВОЛЮЦИЯМИ
Монография
Красноярск
СФУ
2011
Стр.2
УДК 512.745.4
ББК 22.148
С 54
Рецензенты:
В. Д. Мазуров, член-кор. РАН, доктор физ-матем. наук, профессор;
В. П. Шунков, доктор физ-матем. наук, профессор
Созутов, А. И.
С 54
Бесконечные группы с инволюциями : монография / А. И. Созутов,
Н. М. Сучков, Н. Г. Сучкова. - Красноярск : Сибирский федеральный ун-т,
2011. – 149 с.
ISBN 978-5-7638-2127-7
Монография посвящена изложению результатов исследования бесконечных
групп с заданными централизаторами инволюций, дважды транзитивных
групп подстановок и групп с заданной сильно вложенной или сильно
изолированной подгруппой.
Для научных работников, аспирантов и студентов математических
специальностей университетов.
УДК 512.745.4
ББК 22.148
- Созутов А. И., 2011
c
c
- Сучков Н. М., 2011
c
- Сучкова Н. Г., 2011
c
ISBN 978-5-7638-2127-7
- Сибирский федеральный
университет, 2011
Стр.3
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
12
1.1 Используемые обозначения и термины . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Группы. Первичные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Группы подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Группы Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Группы Цассенхауза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Линейные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 ГРУППЫС ПОЧТИ РЕГУЛЯРНЫМИ ИНВОЛЮЦИЯМИ
34
2.1
FC-группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Некоторые свойства 2-групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Основные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Частные случаи теоремы 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Завершение доказательства теоремы 2.1 . . . . . . . . . . . 53
2.6 Следствия и пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 ТОЧНО ДВАЖДЫ ТРАНЗИТИВНЫЕ ГРУППЫ 60
3.1 Обобщение теоремыЖордана . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Чётные пары Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3
Стр.4
3.3 Обобщение теоремы Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Стабилизатор — FC-группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Стабилизатор — 2-группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 ГРУППЫ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ
ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ ИНВОЛЮЦИЙ
81
4.1 Матричные представления групп L2(Q) . . . . . . . . . . . 82
4.2 Подстановочные представления групп L2(Q) . . . . . . . . 85
4.3 Строение сильно вложенной подгруппы . . . . . . . . . . . 89
4.4 Окончание доказательства теоремы 4.1 . . . . . . . . . . . 95
5 БЕСКОНЕЧНЫЕ Z-ГРУППЫ
98
5.1 Общие леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Характеризация группы L2(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3 Строение группы S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Характеризация групп Sz(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 ПРИЛОЖЕНИЯ
120
6.1 Сильно изолированные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2 Некоторые следствия теоремы 5.1 . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Абелевы централизаторы инволюций . . . . . . . . . . . . 128
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
141
146
4
Стр.5
Введение
В монографии излагаются результаты авторов и В. Д. Мазурова
о бесконечных дважды транзитивных группах подстановок, периодических
и смешанных группах с заданными централизаторами инволюций,
либо содержащими сильно вложенную или сильно изолированную подгруппу
с инволюциями. Большая часть этих результатов получена за последние
10 лет, их доказательства разбросаны по нескольким десяткам
статей.
Особая роль инволюции (элемента порядка 2) в теории групп известна
давно. Две инволюции всегда порождают прозрачно устроенную
группу — так называемую группу диэдра. В работах Р. Брауэра (50-е годы
прошлого века) была установлена глубокая взаимосвязь между строением
конечной группы и централизаторами её инволюций (см. по этому
поводу стр. 10 монографии Д. Горенстейна [5]). Доказано, в частности,
что имеется лишь конечное число простых конечных групп с заданным
централизатором инволюции. В 1962 г. Д. Томпсон и У. Фейт [29] доказали
свою знаменитую теорему о существовании инволюции в любой
конечной неразрешимой группе. Эти результаты индуцировали многочисленные
работы по классификации конечных простых групп в терминах
строения централизаторов инволюций.
Теорема Фейта-Томпсона оставляет четкие следы в классе локаль5
Стр.6
но конечных групп: все подгруппы без инволюций локально конечной
группы являются локально разрешимыми. Но в дебрях периодических
групп эти следы теряются. Их не найти, например, в группах НовиковаАдяна
[1], т. е. свободных группах нечетного периода ≥ 665, в которых
каждая конечная подгруппа циклическая, и тем более в простых бесконечных
периодических группах без инволюций с циклическими собственными
подгруппами. Такие монстры построены А. Ю. Ольшанским [16].
Как черные дыры, они могут втянуть в себя элемент любого нечетного
порядка, а вот маленькая инволюция может их взорвать изнутри согласно
доказанной в 1972 г. замечательной теореме В. П. Шункова [28] о почти
разрешимости периодической группы с конечным централизатором
инволюции.
Появилась надежда, что некоторые результаты о конечных группах
с инволюциями могут быть перенесены на периодические группы.
Но только спустя почти 30 лет В. Д. Мазуровым, а также независимо
А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым было получено первое описание периодической
группы G с заданными бесконечными централизаторами
инволюций. Предполагалось, что централизатор каждой инволюции в
группе G является элементарной абелевой подгруппой. Более того, результат
оставался справедливым, если вместо периодичности предполагать
лишь наличие в G конечной инволюции (инволюция i группы G
называется конечной, если |iig| <∞ для каждого g ∈ G). В этих исследованиях
основной анализ был связан со случаем сильной вложенности
в G нормализатора силовской 2-подгруппы.
В теории конечных групп понятие сильно вложенной подгруппы
является фундаментальным [5]. Напомним, что собственная подгруппаB
6
Стр.7