П.Г. Демидова
Кафедра общей математики
Элементы теории функций
комплексного переменного
и операционного исчисления
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Телекоммуникации
Ярославль 2006
1
УДК 517.53/. <...> План 2006 года
Рецензент
кафедра общей математики Ярославского
государственного университета им. <...> П.Г. Демидова
Составитель: В.Ф. Чаплыгин
Э 45
Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления : метод. указания / Сост. <...> Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 550400 Телекоммуникации (дисциплина
«Математический анализ», блок ЕН), очной формы обучения. <...> 55
ББК В 161.55
© Ярославский государственный университет, 2006
© В.Ф. Чаплыгин, 2006
2
Комплексные числа,
действия над ними
Комплексным числом называют число вида z=x+iy, где х и у
вещественные числа, а i – число, обладающее тем свойством, что
i2 = –1. <...> Число х называется реальной частью z и обозначается
х = Re z, а у – мнимой его частью, y = Im z. <...> Очевидно, что х=│z│cos ϕ, y=│z│sin ϕ, и тогда
комплексное
число
может
быть
записано
в
виде
z=│z│cos ϕ+i│z│sin ϕ=│z│(cos ϕ+isin ϕ). <...> Последнее представление называется тригонометрической формой комплексного числа. <...> Отсюда следует, что для любого натурального числа п и любого комплексного числа z=│z│(cos ϕ+isin ϕ) п-ая его степень
равна zп=│z│п(cos пϕ+isin пϕ). <...> Если использовать экспоненциальную форму комплексного
числа,
n
z
то
i(
ϕ + 2πk
корень
можно
выразить
как
n
)
z = n z e i (ϕ + 2πk ) =
. Приведем примеры. <...> Функции комплексного переменного
Если каждому комплексному числу z из области D ставится в
соответствие некоторое комплексное число w, то говорят, что на
области D определена функция w=f(z). <...> Понятно, что свойства функции f(z) определяются свойствами
функций и = и(х, у) и v = v(x, y). <...> (2)
Будем называть функцию f(z) аналитической <...>
Элементы_теории_функций_комплексного_переменного_и_операционного_исчисления.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра общей математики
Элементы теории функций
комплексного переменного
и операционного исчисления
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Телекоммуникации
Ярославль 2006
1
Стр.1
УДК 517.53/.55
ББК В 161.55
Э 45
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензент
кафедра общей математики Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова
Составитель: В.Ф. Чаплыгин
Элементы теории функций комплексного переЭ
45
менного и операционного исчисления : метод. указания
/ Сост. В.Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль
: ЯрГУ, 2006. – 51 с.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности
550400 Телекоммуникации (дисциплина
«Математический анализ», блок ЕН), очной формы обучения.
УДК
517.53/.55
ББК В 161.55
© Ярославский государственный университет, 2006
© В.Ф. Чаплыгин, 2006
2
Стр.2
Оглавление
Комплексные числа, действия над ними .................................................... 3
Функции комплексного переменного .......................................................... 6
Интегральная теорема Коши. Первая и вторая
интегральные формулы Коши ............................................................ 9
Числовые ряды .......................................................................................... 10
Степенные ряды ......................................................................................... 11
Ряды Лорана ............................................................................................... 14
Особые точки аналитической функции и их классификация .................. 17
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке .............. 19
Первая и вторая теоремы о вычетах. Вычисление интегралов
по замкнутому контуру ..................................................................... 25
Вычисление интегралов вида
∞
−∞
Элементы операционного исчисления ...................................................... 31
Формула Меллина ...................................................................................... 38
Решение задачи Коши для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами ..................................................... 41
Формула Дюамеля ...................................................................................... 43
Преобразование Фурье ............................................................................... 45
Литература ................................................................................................. 49
f x dx)(
................................................ 29
50
Стр.50