Г.Е. БЕЛАШЕВСКИЙ, Н.А. КАЛУГИН
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
2007
САМАРА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА»
АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара, 2007
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА»
АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара, 2007
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области
аэрокосмических и геоинформационных
технологий”
Модуль I «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ»
Авторы: Чостковская О.П., Старинова О. <...> Л
Модуль II «ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ»
Автор Калугин Н.А. <...> Модуль III «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА»
Автор: Белашевский Г.Е. <...> Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области
аэрокосмических и геоинформационных
технологий”
Модуль I «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ»
Авторы: Чостковская О.П., Старинова О. <...> Модуль III «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА»
Автор: Белашевский Г.Е. <...> Модуль I «Линейные пространства и операторы» предназначен для
студентов специальности, содержащей курс «Линейная алгебра». <...> Модуль III «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа» предназначен
для студентов – механиков. <...> Модуль III «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа» предназначен
для студентов – механиков. <...> Система векторов v1 , v2 ,..., vk линейно зависима
Система
векторов
тогда и только тогда, когда хотя <...>
Алгебра_и_геометрия.pdf
Г.Е. БЕЛАШЕВСКИЙ, Н.А. КАЛУГИН
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
2007
САМАРА
Стр.1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА»
АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара, 2007
Стр.2
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области
аэрокосмических и геоинформационных
технологий”
Модуль I «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ»
Авторы: Чостковская О.П., Старинова О.Л
Модуль II «ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ»
Автор Калугин Н.А.
Модуль III «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА»
Автор: Белашевский Г.Е.
Рецензенты:
д-р. тех. наук., проф. В.С. Асланов (модуль III)
д. физ. – мат. н., проф. В.М. Чернов (модуль II)
канд. физ. – мат. наук, доц. Е.Я. Горелова (модуль III)
канд. тех. наук, доц., А.А. Авраменко (модуль I, модуль II)
Б 43
УДК 517.2 УДК 514.14 (075) УДК 514.7 (075)
ББК
ISBN
© Белашевский Г.Е. Калугин Н.А. Чостковская О.П., Старинова О.Л
© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2007.
Стр.4
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА»
АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Самара
Издательство СГАУ
2007
Стр.6
УДК 512 (075)+514 (075)
ББК 22.14+22 (151)
А 456
А
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области аэрокосмических
и геоинформационных технологий”
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. В. С. А с л а н о в (модуль III)
д-р физ. – мат. наук, проф. В. М. Ч е р н о в (модуль II)
канд. физ. – мат. наук, доц. Е. Я. Г о р е л о в а (модуль III)
канд. техн. наук, доц. А. А. А в р а м е н к о (модуль I, модуль II)
Авторы:
Белашевский Г.Е., Калугин Н.А., Чостковская О.П., Старинова О.Л.
А 456 Алгебра и геометрия: учеб. пособие/ [Г.Е. Белашевский и др.]-Самара:
Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007.-160 с.:ил.
ISBN 978-5-7883-0482-3
В учебном пособии содержатся методические материалы по
реализации нелинейной схемы обучения.
Модуль I «Линейные пространства и операторы» предназначен для
студентов специальности, содержащей курс «Линейная алгебра».
Относится к группе дисциплин по выбору (факультатив), трудоемкость
–1 зачетная единица ECTS. Авторы: Чостковская О.П., Старинова О.Л.
Модуль II «Основы проективной геометрии» содержит основные
теоретические сведения о проективной геометрии и упражнения.
Относится к группе дисциплин по выбору (факультатив), трудоемкость
– 1 зачетная единица ECTS. Автор Калугин Н.А. Модуль III «Дифференциальная
геометрия и основы тензорного анализа» предназначен
для студентов – механиков. Относится к группе дисциплин, изучаемых
обязательно и строго последовательно, трудоемкость – 3.5 зачетных
единиц ECTS. Автор Белашевский Г.Е.
Учебное пособие подготовлено на кафедре высшей математики.
УДК 512 (075)+514 (075)
ББК 22.14+22 (151)
ISBN 978-5-7883-0482-3 © Белашевский Г.Е., Калугин Н.А.,
Чостковская О.П., Старинова О.Л., 2007.
© Самарский государственный аэрокосмический
университет, 2007.
2
П
И
Р
И
О
Н
Р
Е
И
Т
Е
Т
Н
Ы
А
Ц
О
Н
Л
Ь
Н
Ы
Е
Ы
П
Т
Р
К
О
Е
Стр.7
Содержание
I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ.......................................6
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА................................................................6
1.1. Основные понятия и определения.......................................................... 6
1.2. Базис и размерность линейного пространства ...................................... 7
1.3. Евклидово пространство ......................................................................... 9
Задачи к теме «Линейные пространства» ............................................. 16
Ответы к задачам по теме «Линейные пространства»......................... 18
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.....................................................................19
2.1. Линейное преобразование и его матрица ............................................ 19
2.2. Действия с линейными операторами ................................................... 20
2.3. Характеристический многочлен........................................................... 21
2.4. Собственные векторы линейного оператора....................................... 22
2.5. Ортогональные и симметрические матрицы и преобразования ........ 23
Задачи к теме «Линейные операторы».................................................. 33
Ответы к задачам по теме «Линейные операторы» ............................. 38
3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ....................................................................40
3.1. Основные понятия и определения........................................................ 40
3.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.....................
Задачи к теме «Квадратичные формы»................................................. 45
Ответы к задачам по теме «Квадратичные формы»............................. 48
Индивидуальное задание на тему «Квадратичные формы»............... 49
II ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ................................................52
4. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ...............................................................53
4.1. Связка. Проективная плоскость............................................................ 53
Упражнения....................................................................................................... 55
5. ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ..........................................................56
5.1. Проективная система координат в связке............................................ 56
5.2. Проективная система координат на плоскости ................................... 57
5.3. Переход к новой системе проективных координат............................. 59
5.4. Однородные координаты....................................................................... 60
5.5. Связь проективных и трилинейных координат................................... 62
Упражнения....................................................................................................... 68
6. ЛИНИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА.........................................70
3
Стр.8
6.1. Уравнение прямой линии на проективной плоскости........................ 70
6.2. Координаты прямой на проективной плоскости................................. 72
6.3. Понятие инцидентности. Принцип двойственности........................... 75
6.4. Кривая второго порядка ........................................................................ 77
Упражнения....................................................................................................... 78
7. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..................................................80
7.1. Проективное преобразование и его свойства...................................... 80
7.2. Инвариантные точки и инвариантные прямые.................................... 87
7.3. Проективное и перспективное отображения....................................... 89
7.4. Классификация кривых второго порядка............................................. 90
Упражнения....................................................................................................... 93
III ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА ..............................................................................96
8. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ............................................................................97
41
8.1. Определения........................................................................................... 97
8.2. Параметризованная кривая ................................................................... 97
8.3. Натуральная параметризация................................................................ 98
8.4. Кривая ..................................................................................................... 99
8.5. Кривизна ............................................................................................... 100
8.6. Репер Френе.......................................................................................... 101
8.7. Формулы Френе. Кручение................................................................. 102
8.8. Кривая с заданными кривизной и кручением.................................... 104
8.9. Эволюта и эвольвента.......................................................................... 105
8.10. Локальное строение кривой................................................................ 106
9. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ..........................................................108
9.1. Определения......................................................................................... 108
9.2. Поверхность ......................................................................................... 109
9.3. Кривые на поверхности....................................................................... 111
9.4. Касательное пространство .................................................................. 112
9.5. Ориентация поверхности .................................................................... 113
9.6. Первая фундаментальная форма поверхности .................................. 114
9.7. Вторая фундаментальная форма......................................................... 115
9.8. Кривизна кривых на поверхности ...................................................... 116
9.9. Гауссова и средняя кривизны поверхности....................................... 117
9.10. Линии кривизны................................................................................... 119
9.11. Деривационные формулы.................................................................... 120
9.12. Геодезические линии на поверхности................................................ 122
10. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА.........................................................................124
4
Стр.9
10.1. Линейные пространства ...................................................................... 124
10.2. Сопряженное пространство ................................................................ 126
10.3. Тензорное произведение линейных пространств.............................. 127
10.4. Тензорное произведение и свертка..................................................... 129
10.5. Полилинейные формы и тензоры....................................................... 130
10.6. Характеристическая поверхность тензора......................................... 133
10.7. Симметрирование и альтернирование тензоров ............................... 133
11. МНОГООБРАЗИЯ...................................................................................137
11.1. Дифференцируемое многообразие ..................................................... 137
11.2. Касательное пространство .................................................................. 138
11.3. Тензорная алгебра на дифференцируемом многообразии .....................
11.4. Ковариантное дифференцирование.................................................... 141
11.5. Параллельный перенос и геодезические............................................ 142
11.6. Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля).............................. 144
11.7. Внешнее дифференцирование ............................................................ 145
11.8. Перенос и интегрирование дифференциальных форм. Формула
Стокса .............................................................................................................. 147
12. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................149
5
Стр.10
Учебное издание
Белашевский Геннадий Егорович
Калугин Николай Александрович
Чостковская Ольга Петровна
Старинова Ольга Леонардовна
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Технический редактор Э. И. К о л о м и е ц
Редакторская обработка Т. К. К р е т и н и н а
Корректорская обработка А. А. Н е ч и т а й л о
Доверстка Е. А. Л а р и о н о в а
Подписано в печать 10.10.07. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 10,0
Тираж 120 экз. Заказ
. ИП- 25/2007. ИП
Самарский государственный
аэрокосмический университет.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
Изд-во Самарского государственного
аэрокосмического университета.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
151
Стр.156