Олимпиадная математика. Большой сборник задач. 5–7 классы (792,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1 З-80 Золотарёва Н. Д. З-80 Олимпиадная математика. Большой сборник задач. 5–7 классы : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова.—Электрон. изд.—М. : Лаборатория знаний, 2024.—419 с.—(ВМК МГУ—школе).—Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—Загл. с титул. экрана.—Текст : электронный. ISBN 978-5-93208-898-2 Сборник составлен на основе олимпиадных задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также указания и решения к большинству задач. Рекомендуется школьникам 5—7 классов, интересующимся олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям кружков и факультативов. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1 Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная математика. Большой сборник задач. 5–7 классы : учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова.—М. : Лаборатория знаний, 2024.—416 с. : ил.—(ВМК МГУ—школе).— ISBN 978-5-93208-428-1. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-93208-898-2 © Лаборатория знаний, 2024

Стр.3

ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Глава 1. Арифметические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Задачи на вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Метрическая система мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Задачи на части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4. Задачи на работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5. Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6. Задачи на проценты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7. Обратный ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. Уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9. Задачи на составление уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 10. Манипуляции с числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11. Ребусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 12. Разные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Глава 2. Логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1. Сюжетные логические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2. Истинные и ложные высказывания. Рыцари, лжецы, хитрецы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3. Переправы и задачи на переливание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4. Задачи на взвешивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5. Принцип крайнего. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6. Оценка + пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Глава 3. Принцип Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2. Принцип Дирихле и делимость целых чисел . . . . . . . . . . . . . . 143 3. Принцип Дирихле и дополнительные соображения. . . . . . . . . 145 4. Принцип Дирихле в геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5. Принцип Дирихле и окраска плоскости и её частей. Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Глава 4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 1. Чётность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2. Остатки от деления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3. Алгебраическое выражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4. Раскраска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5. Полуинвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Стр.4

4 Оглавление Глава 5. Игры и турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1. Фатальные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2. Использование симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3. Делимость и разбиение на пары. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4. Выигрышные и проигрышные стратегии. Анализ с конца. . . 194 5. Турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Глава 6. Целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 1. Десятичная запись целого числа, НОД, НОК, алгоритм Евклида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2. Разложение на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4. Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5. Сравнение по модулю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6. Признаки делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7. Уравнения в целых числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Глава 7. Графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 1. Вводные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 2. Степень вершины, подсчёт числа рёбер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3. Связность графов. Эйлеровы графы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 4. Маршруты, цепи, циклы, двудольные графы . . . . . . . . . . . . . . 272 5. Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 6. Плоские графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7. Ориентированные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Глава 8. Комбинаторика и элементы теории вероятностей . . . . . . 288 1. Правило суммы и правило произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 2. Размещения, перестановки, сочетания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 3. Элементы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Глава 9. Элементы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 1. Числовые неравенства. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 3. Доказательство неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 4. Последовательности. Арифметические прогрессии . . . . . . . . . . 320 5. Геометрические прогрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Глава 10. Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 1. Разрезания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 2. Треугольники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 3. Четырёхугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 4. Геометрические места точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 5. Построения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 6. Окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 7. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 8. Экстремумы в геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Стр.5

Оглавление 5 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 1. Арифметические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 2. Логические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 3. Принцип Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 5. Игры и турниры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 6. Целые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 7. Графы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8. Комбинаторика и элементы теории вероятностей. . . . . . . . . . . 402 9. Элементы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 10. Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Стр.6