Оглавление
8.3. Равномерно наиболее мощные тесты . .......................................... . 215
8.4. Функция мощности. ...................................................................... . 221
8.5. Несмещенность . ............................................................................ . 223
8.6. Тест максимального правдоподобия . ............................................ . 231
8.7. Достаточные статистики. .............................................................. . 234
8.8. Задачи к главе 8 . .......................................................................... . 237
Список литературы. ................................................................................ . 239
Предметный указатель. .......................................................................... . 240
Стр.9
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник содержит общий курс теории вероятностей и математической
статистики, предусмотренный образовательными программами «Прикладная
математика и информатика» и «Бизнес-информатика» Национального
исследовательского университета «Высшая школа экономики». Отметим
ряд особенностей предлагаемого курса. Прежде всего, материал между теорией
вероятностей и математической статистикой распределен равномерно,
в то время как в имеющихся учебниках теории вероятностей традиционно
уделяется большее внимание. Изучение математической статистики начинается
с оценки числа наблюдений, необходимых для надежной оценки
вероятности частотой, что подчеркивает общую цель получения практически
достоверных выводов. Предлагаются вероятностная и статистическая
трактовки неравенства Чебышева, что облегчает, на наш взгляд, понимание
доверительных интервалов. Подчеркнуто значение универсального
преобразования к равномерному закону и его применение к построению
тестов проверки равномерности, которые позволяют лучше понять роль
альтернативы при построении тестов проверки гипотез.
Подробно изучаются подход Неймана–Пирсона и экспоненциальные
семейства распределений. Приводятся условия, при которых применение
тестов приводит к надежным выводам при анализе реальных наблюдений.
В части, связанной с теорией вероятностей, подчеркивается отличие аксиоматического
определения вероятности от способов ее задания. Обсуждаются
различные варианты введения пространства элементарных исходов.
Делается акцент на построении и анализе вероятностных моделей. Выделяются
условия, при которых типовые вероятностные модели адекватны
реальным задачам; в частности, приводится подробный вывод экспоненциального
распределения как вероятностной модели времени безотказной
работы сложной системы безучета эффекта усталости. При изложении
предельных теорем подчеркивается связь типовых вероятностных моделей;
в частности, включен предельный переход от гипергеометрического к биномиальному
распределению. Вместе с тем мы ограничились доказательством
центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных
случайных величин, которого достаточно для статистического
анализа повторной выборки. В годовой курс, по понятным причинам, не
включены также «случайные процессы», «регрессионный анализ» и другие
важные направления теории вероятностей и математической статистики.
Доказательства основных теорем проводятся обычным образом, при необходимости
даются соответствующие ссылки. При этом авторы опираются,
в основном, на учебники [6, 16] и монографии [9, 11].
Стр.10
Предисловие
Учебник состоит извосьми глав. После каждой главы приведены задачи,
которые служат для более детального изучения отдельных вопросов курса,
и в этом случае на них даны ссылки в тексте. Кроме того, включены задачи,
которые, на наш взгляд, обязательно должны быть детально разобраны
на практических занятиях. Разумеется, они не исчерпывают набор задач,
обычно решаемых на практических занятиях.
Формулы, рисунки, таблицы и задачи имеют двухступенчатую нумерацию:
номер главы; номер формулы, рисунка, таблицы или задачи. Определения,
примеры, теоремы, следствия и свойства имеют трехступенчатую
нумерацию: номер главы; номер раздела; номер определения, примера,
теоремы, следствия или свойства.
Предлагаемый учебник написан на основе лекционных и практических
занятий, проводимых авторами на протяжении последних 10 лет в НИУ
ВШЭ — Нижний Новгород. Он предназначен прежде всего студентам
второго курса образовательных программ «Прикладная математика и информатика»,
«Бизнес-информатика», «Программная инженерия». Учебник
может быть полезен студентам, обучающимся по другим образовательным
программам, предусматривающим изучение теории вероятностей и математической
статистики на базе обычного курса математического анализа,
студентам магистерской программы «Интеллектуальный анализданных»,
а также всем тем, кто хотел бы научиться грамотно применять методы
вероятностного и статистического анализа и оценивать степень надежности
результатов их применения.
Стр.11
ВВЕДЕНИЕ
Можно выделить класс явлений реального мира, которые характеризуются
следующими общими чертами.
• Для описания этих явлений естественно использовать такое поня•
Знание вероятностей часто вполне достаточно для решения практие,
как вероятность.
тических задач.
• Вероятности сложных событий можно вычислять, используя формулы,
связывающие их с вероятностями простых событий. Ответ на
вопрос, как это делается, является одной изосновных задач теории
вероятностей.
• На основе анализа наблюдений можно делать выводы овероятностях
и других характеристиках этих событий. Ответ на вопрос, как это
делается, является одной изосновных задач математической статистики.
Для
пояснения сделанных утверждений рассмотрим одну изпервых
задач, с которой началось интенсивное развитие науки о случайном. Такая
задача известна как задача де Мерэ об игре в кости, которая была распространена
в XVII веке во Франции.
Пример В.1. Задача де Мерэ: играют два игрока, один изигроков
подбрасывает 24 раза два кубика одновременно. Один из игроков ставит
на то, что за 24 броска ни разу не выпадут две шестерки одновременно.
Другой игрок ставит на противоположное событие. Вопрос: на что разумнее
ставить?
Де Мерэ подробно рассмотрел вспомогательную задачу: играют два
игрока, один изигроков подбрасывает 4 раза один кубик. Первый игрок
ставит на то, что за 4 броска ни разу не выпадет шестерка. Второй игрок
ставит на противоположное событие: за 4 броска хотя бы один раз выпадет
шестерка. Де Мерэ правильно решил, что выгоднее ставить на выпадение
хотя бы разшестерки. Опираясь на этот результат, он считал, что больше
шансов зато, что за24 броскахотябы один раз выпадут две шестерки
одновременно. Стал ставить на это событие и стал чаще проигрывать.
Обсудим эту задачу с позиций сформулированных выше утверждений.
• Очевидно, что заранее предсказать, как именно выпадут кубики
в каждом конкретном броске, невозможно. Естественно попытаться
найти шансы (вероятность) наступления того или иного события.
• Французский математик Блез Паскаль вычислил вероятность того,
что за24броскахотя бы раз выпадут две шестерки одновременно,
Стр.12
Введение
и для симметричных кубиков получил приблизительно 0,491. Таким
образом, достаточно знать результаты Паскаля, чтобы выигрывать
при большом количестве игр.
• Формула, по которой Паскаль вычислил вероятность события
«за24броскахотя бы раз выпадут две шестерки одновременно»,
представляет самостоятельный интерес. Это событие мы рассматриваем
как сложное событие. Под простым событием в данном
случае понимается событие «при одном броске кубика выпала
шестерка». Для симметричных кубиков естественно предположить,
• Наблюдая за результатами бросаний двух кубиков одновременно, де
Мерэ пришел к выводу об ошибочности своей стратегии.
что вероятность простого события равна 1
6 .
Сделаем замечание о природе возникновения случайного события в общем
случае. Пусть нас интересуют шансы появления некоторого события
A. Всякое событие происходит в некоторых условиях. Пусть S —
условия, которые влияют на A и которые мы контролируем , а S — условия,
которые влияют на A, но не контролируются нами. Далее, пусть влияние S
на A существенно, т.е. от того, как сложится ситуация в S,событие A
может как произойти, так и не произойти. Так как ситуацию в S мы не
контролируем, то событие A мы можем рассматривать как случайное.
Пример В.2. Задача о стрельбе. Пусть событие A — попасть в мишень.
К комплексу условий S отнесем все то, что можно контролировать
(тип оружия, характеристика стрелка и цели и т.п.). К комплексу
условий S (источники случайности) отнесем все то, что не поддается
контролю (возможные маневрирования цели, дальность до цели, тщательность
прицеливания и т.п). Если влияние S на A существенно, то заранее
предсказать его появление мы не можем. Пусть мы каким-то образом
(например, экспериментально) оценили вероятность попадения в мишень
при одном выстреле, и эта вероятность не так велика, как нам бы хотелось.
Интуитивно кажется, что чем больше развыстрелить, тем больше вероятность
хотя бы один разпопасть. Поэтому можно поставить такой вопрос:
сколько разнадо выстрелить, чтобы вероятность хотя бы одного попадания
была, например 0,9 (0,99)? Интересно отметить, что такая задача решается
так же, как и задача де Мерэ.
Таким образом, основная задача элементарной теории вероятностей
заключается в получении формул расчета вероятностей сложных событий
черезвероятности связанных с ними простых событий. (При этом вопрос,
откуда берутся вероятности простых событий, не суть важен.) Такие формулы
позволяют выделять события, которые являются практически достоверными
в ситуациях, когда многое случайно.
12
Стр.13