УДК [511.11:514.742.2]:514.12(075.8)
ББК 22.141+22.151.511+22.151.54я73
М73
Печатается по решению кафедры высшей математики Института
компьютерных технологий и информационной безопасности
Южного федерального университета (протокол № 10 от 01 июня 2022 г.)
Рецензенты:
зам. директора института математики и физики Кабардино-Балкарского
государственного университета им. Х.М. Бербекова доцент
кафедры алгебры и дифференциальных уравнений,
кандидат физико-математических наук Л. В. Канукоева;
доцент кафедры высшей математики Института компьютерных технологий
и информационной безопасности Южного федерального университета,
кандидат физико-математических наук А. Г. Клово
Мнухин, В. Б.
М73 Complex Numbers, Vector Algebra and Analytic Geometry : учебное пособие
/ В. Б. Мнухин, Г. В. Куповых, Д. В. Тимошенко ; Южный федеральный
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство
Южного федерального университета, 2022. – 148 с.
ISBN 978-5-9275-4209-3
Пособие предназначено для студентов направлений 01.03.02, 02.03.03, 09.03.01,
09.03.02, 09.03.03, 09.03.04, 10.03.01, 27.03.03, 09.05.01, 10.05.02, 10.05.03, 10.05.05,
изучающих курс «Математика (Mathematics)» на английском языке, и существенно
дополняет пособие тех же авторов: Mnukhin, V.B., Kupovykh G.V., Timoshenko,
D.V. Linear Algebra. / South Federal University. – 2018. – 112 pp. ISBN: 978-5-92753088-5.
Пособие состоит из трёх глав, состоящих из разделов, разделенных на секции.
Каждая из глав завершается рядом задач и упражнений, направленных на закрепление
изученного материала.
УДК [511.11:514.742.2]:514.12(075.8)
ISBN 978-5-9275-4209-3
ББК 22.141+22.151.511+22.151.54я73
© Южный федеральный университет, 2022
© Мнухин В. Б., Куповых Г. В., Тимошенко Д. В., 2022
Стр.3
Contents
1 The Complex Numbers
1.1 Evolution of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
1.2 The Field of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 The de nition of complex numbers . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 The algebraic form of complex numbers . . . . . . . . . 14
1.2.3 The complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 The polar form of complex numbers . . . . . . . . . . . 21
1.2.6 The exponential form of complex numbers . . . . . . . . 25
1.2.7 Regions in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Solution of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Solution of quadratic equations . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Roots of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Factorization of polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.4 Solution of equations of higher degrees . . . . . . . . . 40
1.4 Exercises for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Vector Algebra
47
2.1 Geometric Vectors in Plane and in Space . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1 Notion of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2 Operations on geometric vectors . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3 A line segment divided in a ratio . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Vector Basis in Plane and in Space . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1 Vector basis in plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2 Vector basis in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
Стр.4
2.2.3 Arithmetic vectors in R2 and R3 . . . . . . . . . . . . 58
2.2.4 Coordinates of a vector in a given basis . . . . . . . . . 60
2.3 Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.1 Coordinate systems in plane and in space . . . . . . . . 66
2.3.2 Projection of a vector on an axis . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.3 Rectangular Cartesian coordinate system . . . . . . . . . 71
2.4 Dot Product (Scalar Product) of Vectors . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1 De nition and properties of the dot product . . . . . . . 73
2.4.2 Normalized vectors and direction cosines . . . . . . . . . 76
2.5 Cross Product (Vector Product) of Vectors . . . . . . . . . . . 78
2.6 Scalar Triple Product of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7 Exercises for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Elements of Analytic Geometry
86
3.1 Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.1 Plane perpendicular to a vector . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.2 Plane through a point and parallel to two vectors . . . . 89
3.1.3 Plane through three points in space . . . . . . . . . . . 89
3.1.4 Distance from a point to a plane . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.5 Angle between two planes . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Straight Line in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.1 Line through a point and parallel to a vector . . . . . . . 94
3.2.2 Line through two points . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.3 Line as intersection of two planes . . . . . . . . . . . . 96
3.2.4 Relative position of two straight lines in space . . . . . . 99
3.2.5 Distance between two straight lines in space . . . . . . . 101
3.2.6 Angle between two straight lines . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Relative Position of a Line and a Plane . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.1 Intersection of a line and a plane . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.2 Angle between a line and a plane . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 Straight Line in Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.1 Basic equations for a line in plane . . . . . . . . . . . . 107
3.4.2 Slope-intersection form of a line equation . . . . . . . . 108
4
Стр.5
3.5 Conic Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.2 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.4 Parametric equations and hyperbolic functions . . . . . . 128
3.6 Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.6.1 Cylindrical surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.6.2 Conical surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6.3 Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6.4 Hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.6.5 Elliptic Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6.6 Hyperbolic Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.6.7 Summary of quadric surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.7 Exercises for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Reading List
145
5
Стр.6