УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
М73
Печатается по решению кафедры высшей математики Института компьютерных
технологий и информационной безопасности
Южного федерального университета (протокол № 10 от 01 июня 2022 г.)
Рецензенты:
зам. директора института математики и физики Кабардино-Балкарского
государственного университета им. Х.М. Бербекова доцент
кафедры алгебры и дифференциальных уравнений,
кандидат физико-математических наук Л. В. Канукоева;
доцент кафедры высшей математики Института компьютерных технологий
и информационной безопасности Южного федерального университета,
кандидат физико-математических наук А. Г. Клово
Мнухин, В. Б.
М73 Advanced Linear Algebra with Applications in Calculus : учебное
пособие / В. Б. Мнухин, Г. В. Куповых, Д. В. Тимошенко ; Южный
федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство
Южного федерального университета, 2022. – 162 с.
ISBN 978-5-9275-4208-6
Пособие предназначено для студентов направлений 01.03.02, 02.03.03,
09.03.01, 09.03.02, 09.03.03, 09.03.04, 10.03.01, 27.03.03, 09.05.01, 10.05.02, 10.05.03,
10.05.05, изучающих курс «Математика (Mathematics)» на английском языке. Оно
является продолжением пособия Mnukhin, V.B., Kupovykh G.V., Timoshenko,
D.V. Linear Algebra. / South Federal University.–2018. - 112 pp. ISBN: 978-5-9275-30885.
Содержание обеих пособий полностью соответствует стандартному курсу линейной
алгебры для нематематических специальностей. Пособие состоит из трёх глав,
состоящих из разделов, разделенных на секции. Каждая из глав завершается рядом
задач и упражнений, направленных на закрепление изученного материала.
ISBN 978-5-9275-4208-6
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
© Южный федеральный университет, 2022
© Мнухин В. Б., Куповых Г. В., Тимошенко Д. В., 2022
Стр.3
Contents
1 Vector Spaces
1.1 Arithmetic Vector Space Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 De nition of n-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Operations on n-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
7
7
8
1.2 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 De nition and examples of vector spaces . . . . . . . . . 10
1.2.2 Subspaces of vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Linear independence and spanning sets . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Basis and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 Linear dependence in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.6 Basis in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Dot product in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 De nition of inner product spaces . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Orthonormal systems of vectors . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.4 Orthogonal projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.5 Gram-Schmidt orthonormalization process . . . . . . . . 46
1.4 Exercises for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Linear Transformations and Eigenvalues
57
2.1 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.1 Basic de nitions and examples of transforms . . . . . . . 58
2.1.2 Linear transformations and matrices . . . . . . . . . . . 62
2.1.3 Examples of transformation matrices . . . . . . . . . . . 65
2.1.4 Operations on transformations . . . . . . . . . . . . . . 69
3
Стр.4
2.1.5 Transformations and change of basis . . . . . . . . . . . 76
2.1.6 The kernel and image of a linear transformation . . . . . 78
2.1.7 Isomorphisms of vector spaces . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.1 Basic de nitions and examples of eigenvalues . . . . . . 89
2.2.2 Finding eigenvalues and eigenspaces of a matrix . . . . . 90
2.2.3 Eigenvalues of linear transformations . . . . . . . . . . . 96
2.2.4 Diagonalization of linear transformations . . . . . . . . . 98
2.2.5 Diagonalization of symmetric matrices . . . . . . . . . . 103
2.3 Exercises for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Applications in Calculus
112
3.1 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.1 Approximations of functions . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.2 The Best Approximation theorem . . . . . . . . . . . . 116
3.1.3 Approximation by polynomials . . . . . . . . . . . . . . 118
3.1.4 Fourier approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2 Quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2.1 Rotation of axes problem for conics . . . . . . . . . . . 126
3.2.2 Quadratic forms on R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2.3 Principal Axes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2.4 Sylvester's Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.5 Second-derivative test for multivariable functions . . . . 141
3.3 Linear Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3.1 Basic de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3.2 Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.3 Di erential operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3.4 General solutions of linear equations . . . . . . . . . . . 153
3.4 Exercises for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Reading List
159
4
Стр.5