| Аннотация | Предложено ввести обобщенный фактор неидеальности систем g в уравнения информа-
ционной энтропии, описывающие самоорганизованные структуры существенно нерав-
новесных систем с приложением для изучения топологических свойств высокомолеку-
лярных соединений в растворах на примере лигнинов древесины. Фактор g как относи-
тельная термодинамическая характеристика связывает идеальную и реальную модели
систем, в которых можно выделить два конкурентных (противоположных по знаку и
действию) процесса: порядок (–) ↔ хаос (+); притяжение (–) ↔ отталкивание (+); сжа-
тие (–) ↔ расширение (+); кластеризация (–) ↔ распад (+) и т. д. g = 1 + 〈– βord + αnord〉 =
= 1 + 〈– pi (β) + pi (α)〉, где – βord ≡ 1/nΣn
i
βi и αnopd ≡ 1/nΣn
i
αi – относительные средние ха-
рактеристики (pi – статистические вероятности) противоположно протекающих процес-
сов. Фактор g изменяется в интервале 0 ≤ g ≤ 2 и зависит от того, какой из конкурентных
процессов превалирует. При αnord = 0 g → 0, при βord = 0 g→2, при g = 1 поведение эле-
ментов системы будет идеальным. Фактор g вводится в любые классические уравнения,
пригодные для изучения идеальных систем, в целях использования их для описания ре-
альных систем (например, в уравнения Генри, Рауля, Вант-Гоффа, состояния идеального
газа и т. д). Строго математически фактор g определен через величины М – мера, ε – мас-
штаб, d – размерность в виде отношения логарифмов мер реального (М*) и идеального
(М0) состояний объекта: g = lnМ*/lnМ0 = d/D, где М* и М0 может быть Nd – число эле-
ментов в структуре фрактального реального (например, кластера) или математического
объекта (например, салфетка Серпинского) и ND – число элементов в структуре объекта
в идеальном состоянии, обладающих свойством многомасштабности и самоподобия (d
и D – фрактальная и евклидова размерности). Как термодинамическая характеристика
gth определяется отношением термодинамических функций, функционалов, например,
ΔGi*/ΔGi, где ΔGi* = –RTlnаi – реального и ΔGi = –RTlnNi – идеального состояний; ко-
личеством молей n* – реального состояния вещества к n – идеальному; относитель-
ными энтропиями системы ΔSreal/ΔSid. Получены новые выражения информационных
и термодинамических энтропий с дольным (0¸1) моментом порядка – энтропийным
gS и термодинамическим gth факторами неидеальности для анализа самоорганизован-
ных квазиравновесных структур в формализме Реньи: SgS
M–Rn(p) = R/(1 – gS) lnΣN
i
pgS
i;
Sgth
M–Rn = R/(gth)ln(ΣN
i=1
p
i
gth – 1). В формализме Тсаллиса SgS
M–TS (p) = R(1 – Σi
N(ε)pi
gS)/(gS – 1);
Sgth
M–TS (p) = R(1 – Σi
N(ε)pi
1–gth)/gth с приложением для изучения топологических свойств
высокомолекулярных соединений методами гидродинамики, а также термодинамики
растворов полимеров. Для цитирования: Макаревич Н.А. Фактор неидеальности в энтропийно-мультифрактальном анализе самоорганизованных структур растительных полимеров (лигнинов) //
Изв. вузов. Лесн. журн. 2021. № 2. С. 194 –212. DOI: 10.37482/0536-1036-2021-2-194-212
An attempt has been made to introduce the generalized non-ideality factor of
systems (GNF) into information entropy equations that describe self-organized structures of essentially nonequilibrium systems with the use of studying the topological properties of
high molecular weight compounds in solutions using wood lignins as an example. The factor
as a relative thermodynamic characteristic connects the ideal and real models of systems in
which two competitive (opposite in sign and action) processes can be distinguished: order (−)
↔ chaos (+); attraction (−) ↔ repulsion (+); compression (−) ↔ extension (+); clustering (−)
↔ decay (+), etc. = 1 + − + = 1 + − (β) + (α), where −ord
1/nΣ
and 1/nΣ
are relative average characteristics ( – probabilities) of
oppositely occurring processes. The factor varies in the interval 0≤ ≥1 and depends on
which of the competitive processes prevails. For nord = 0 →0, for ord =0 →2, for = 1
the behavior of the elements of the system will be ideal. The factor g is introduced into any
classical equations suitable for studying ideal systems with the aim of using them to describe
real systems (for example, the equations of Henry, Raoult, Van’t Hoff, general gas, etc.).
Strictly mathematically, the factor is defined through the values M – measure, – size
(scale), and d – dimension as a ratio of logarithms of measures of real (М*) and ideal (М0)
states of the object: th = lnМ*/lnМ0 = d/D, where M* and M0 can be the number of elements
in the structure of the fractal real (for example, cluster) or mathematical object (for example,
Sierpiński triangle) Nd and the number of elements in the structure of the object in the perfect
condition, having the property of multi-scale and self-similarity, ND, where d and D are the
fractal and Euclidean dimensions. As a thermodynamic characteristic th is defined by the
ratio of thermodynamic functions, functionals, for example, Gi*/Gi, where Gi* = −RTlnаi
is real and, Gi*= −RTlnаi is ideal state; the number of moles of n* − real state of matter to
n − ideal state of matter; relative entropies of the system Sreal/Sid (Sid − Boltzmann entropy).
New expressions of the information and thermodynamic entropies with a fractional
(01) moment of order and with the entropic and ℎ non-ideality factors are obtained for
the analysis of self-organized quasi-equilibrium structures in the Renyi formalism
−() =
1−
ln Σ
, ℎ
− =
ℎ
ln(Σ
ℎ−1
=1 ); in the Tsallis formalism
−() =
(1−Σ
)
()
−1
, ℎ
− () =
(1−Σ
1−ℎ)
()
ℎ
with an application for studying the
topological properties of high-molecular compounds by hydrodynamic methods, as well as
the thermodynamics of polymer solutions.
For citation: Makarevich N.A. Non-Ideality Factor in Multifractal and Entropy-Based
Analysis of Self-Organized Structures of Plant Polymers (Lignins). Lesnoy Zhurnal [Russian
Forestry Journal], 2021, no. 2, pp. 194–212. DOI: 10.37482/0536-1036-2021-2-194-212 |