Исследование функций и построение графиков (110,00 руб.)

6. График функции у = аf(x) получается умножением каждой ординаты графика функции у = f(x) на а, т.е. растяжением от оси абсцисс в а раз, если a > 1, и сжатием к оси абсцисс в а раз, если 0 0, и получается из него симметрией относительно оси абсцисс там, где f(x) < 0. 8. График функции у = ()xf при x > 0 совпадает с графиком функции у = f(x) , при x < 0 он получается симметрией «правой половины» графика функции у = f(x) относительно оси ординат (рис. 6). Рис. 6. График функции у = ()xf Предлагаемый алгоритм построения графика функции у = у(х) помогает сложиться умению представлять сложную функцию в виде композиции других функции. При построении графиков сложных функций надо использовать все элементарные средства: переносы, отражения, сложение графиков т.д. 2. График суммы двух функций Для построения графика функции у = f(x)+g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо произвести алгебраическое сложение соответствующих ординат функций. Применение такого способа 8

Стр.8

целесообразно в случае, когда слагаемые являются основными элементарными функциями разных типов. Примеры 1. у = х + sin x Построить график функции у = х + sin x. Строим графики функции 1 х и 2y = sin x и получаем график заданной функции путем сложения y = соответствующих ординат. Заметим, что функция y как сумма двух нечетных функций будет функция нечетная, поэтому можно ограничиться анализом для x ≥ 0. y = x В точках, где y =2 1,   x = y x= + 1 3 ππ 2   ∈ x = + 2 ,k k Z , соответственно 2 π π + 2 ,k k Z , а потому имеет смысл провести прямые у = х+1 и у    = х - 1, параллельные прямой у = х, между этими двумя прямыми располагается график функции у = х + sinx (рис. 7). ∈   2 sin = 0, получим у = х (соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой у = х, поэтому рекомендуется пунктирной линией построить в качестве вспомогательной функции биссектрису первого и третьего координатного угла). В точках, где y = −1, 2 y x= − 1 Рис. 7. График функции у = х + sin x 9

Стр.9

y x tgx+= Построить график функции 2. y x tgx+= . Строим графики функции 1y = х и 2 y =tgx и получаем график заданной функции путем сложения соответствующих ординат. Заметим, что функция y как сумма двух нечетных функций будет функция нечетная, поэтому можно ограничиться анализом для x ≥ 0. y2 = xtg В точках, где y = ∞ = ∞y, 2 y → +∞ , а при x →π справа, 2   x = + k k Z , соответственно при 2 π π , ∈ нечетности, получаем рис. 8.   = 0, получим у = х (соответствующие точки графика заданной функции лежат на прямой у = х, поэтому рекомендуется пунктирной линией построить в качестве вспомогательной функции биссектрису первого и третьего координатного угла). В точках, где x →π слева, 2 y → −∞ . Вспоминая о периодичности и Рис. 8. График функции y x tgx+= 3. y arcctgx x+ = y arcctgx=1 Построить график функции y arcctgx x+ и y =2 = . Строим графики функции соответствующих ординат. Заметим, что функция y как сумма одной нечетной x ≥ 0. В точке, где =2 10 ). xи получаем график заданной функции путем сложения y =2 y 0, получим y arcctgx= = 2 π x и функции общего вида будет функция общего вида, поэтому нельзя ограничиться анализом лишь для (0=x

Стр.10