МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебно-методическое пособие
Составители:
Л. Н. Баркова,
Л. В. Безручкина
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2019
1
Стр.1
Содержание
Предисловие ............................................................................................................ 4
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ................................ 5
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ .................................................................... 16
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ............................................................ 28
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ .................................................................................. 43
Библиографический список ............................................................................... 54
3
Стр.3
Способы определения плоскости
Плоскость в пространстве обычно задается:
– тремя точками, лежащими на одной прямой:
– прямой и точкой, не лежащей на этой прямой:
– двумя пересекающимися прямыми:
– двумя параллельными прямыми:
Прямые в пространстве
Две прямые в пространстве
пересекаются, если они имеют
лишь одну общую точку:
a∩b = C
Две прямые в пространстве
называются параллельными,
если они лежат в одной
плоскости и не пересекаются:
a||b
6
Две прямые в пространстве
называются скрещивающимися,
если не существует
плоскости, которой эти
прямые принадлежат
Стр.6
Признак параллельности прямых
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
между собой:
a||c, b||c ⇒ a||b
Прямая и плоскость в пространстве
Если каждая точка прямой
принадлежит плоскости, то
говорят, что и прямая принадлежит
плоскости:
а ∈ α.
Если две точки прямой принадлежат
плоскости, то вся
прямая принадлежит этой
плоскости:
А ∈ α, В ∈ α ⇒ а ∈ α
Говорят, что прямая и плоскость
пересекаются, если
они имеют одну единственную
общую точку:
a ∩ α = А.
Точку А называют точкой
пересечения прямой и плоскости
или следом прямой а
на плоскости α
Прямая и плоскость называются
параллельными, если
они не имеют общих точек:
а || α.
Плоскость и не лежащая на
ней прямая либо пересекаются
(в одной точке), либо
не пересекаются (параллельны)
Признак
параллельности прямой и плоскости:
Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна
этой плоскости тогда и только тогда, когда она
параллельна некоторой прямой в этой плоскости:
а ∉ α, ∃b ∈ α, а || b ⇔ а || α
7
Стр.7
Признак параллельности прямых:
Если прямая b параллельна плоскости
α, а плоскость β проходит через b и
пересекает плоскость α по прямой а, то
прямые а и b параллельны:
b || α, α ∩ β = a ⇒ а || b
Признак параллельности прямых:
Если прямая параллельна каждой из
двух пересекающихся плоскостей, то
она параллельна и линии пересечения
этих плоскостей:
a || α, a || β, α ∩ β = b ⇒ а || b
Прямая, пересекающая плоскость, называется
перпендикулярной этой плоскости,
если она перпендикулярна любой
прямой, которая лежит в данной
плоскости и проходит через точку пересечения
этой прямой и плоскости.
Через любую точку пространства можно
провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости, и притом только
одну.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, лежащим в
плоскости, то она перпендикулярна
данной плоскости:
b ∈ α, c ∈ α, a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ α
8
Стр.8
Плоскость, перпендикулярная одной из
двух параллельных прямых, перпендикулярна
и другой прямой:
a ⊥ α, а || b ⇒ b ⊥ α.
Прямые, перпендикулярные одной
плоскости, – параллельны:
a ⊥ α, b ⊥ α ⇒ а || b
Перпендикуляром, проведённым из
данной точки к данной плоскости, называется
отрезок, которые соединяет
эту точку с точкой плоскости (основанием
перпендикуляра) и лежит на прямой,
которая перпендикулярна плоскости.
Длину перпендикуляра, проведённого
из данной точки к данной плоскости,
считают расстоянием между этими
точкой и плоскостью.
Наклонной, проведенной из данной
точки к плоскости, называется любой
отрезок, который соединяет эту точку с
точкой плоскости (основанием наклонной)
и не является перпендикуляром,
проведенным к этой плоскости.
Отрезок, соединяющий основания
перпендикуляра и наклонной, проведенных
к плоскости из одной точки,
называется проекцией (ортогональной
проекцией) этой наклонной на
плоскость.
АВ – перпендикуляр, проведенный из
точки А к плоскости α;
АС – наклонная, проведенная из точки
9
Стр.9
А к плоскости α;
В – основание перпендикуляра АВ;
С – основание наклонной АС;
ВС – проекция наклонной АС на плоскость
α.
Свойства перпендикуляра и наклонной:
перпендикуляр, проведенный из
точки к плоскости, короче любой наклонной,
проведенной из той же точки
к той же плоскости;
равные наклонные, проведенные из
данной точки к плоскости, имеют равные
проекции; и наоборот: равным
проекциям соответствуют равные наклонные;
из двух наклонных, проведенных из
данной точки к одной плоскости,
больше та, проекция которой больше
Углом между наклонной и плоскостью
называется величина угла между наклонной
и ее ортогональной проекцией
на эту плоскость:
∠АСВ – угол между наклонной АС
и плоскостью α.
Угол между наклонной и ее ортогональной
проекцией на плоскость
меньше угла между этой наклонной и
любой другой прямой, проходящей в
этой плоскости через основание наклонной:
∠АСВ
< ∠АСD
10
Стр.10