Лекции по дифференциальному исчислению функций одной переменной (342,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» М. Э. Абрамян ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебник для студентов физико-математических и технических специальностей Ростов-на-Дону – Таганрог Издательство Южного федерального университета 2020

Стр.2

УДК 517.4(075.8) ББК 22.162я73 А164 Печатается по решению учебно-методической комиссии Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол № 2 от 14 февраля 2020 г.) Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» Южно-Российского государственного политехнического университета, почетный работник высшего профессионального образования РФ, профессор А. Э. Пасенчук; доктор физико-математических наук, зав. кафедрой информатики и вычислительного эксперимента Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета, профессор В. С. Пилиди Абрамян, М. Э. А164 Лекции по дифференциальному исчислению функций одной переменной : учебник / М. Э. Абрамян ; Южный федеральный университет. — Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. — 228 с. ISBN 978-5-9275-3495-1 Учебник содержит лекционный материал первого семестра курса по математическому анализу и включает такие темы, как предел последовательности, предел функции, непрерывные функции и дифференцируемые функции (вплоть до формулы Тейлора, правила Лопиталя и исследования функций методами дифференциального исчисления). Особенностью книги является возможность ее изучения одновременно с просмотром набора из 22 видеолекций, записанных автором и доступных на сайте youtube.com. Разделы и подразделы учебника снабжены сведениями о номере лекции, времени начала соответствующего фрагмента и длительности этого фрагмента. В электронном варианте учебника эти сведения оформлены в виде гиперссылок, позволяющих немедленно перейти к просмотру требуемого фрагмента лекции. Учебник предназначен для студентов физико-математических и технических специальностей. УДК 517.4(075.8) ББК 22.162я73 ISBN 978-5-9275-3495-1 © Южный федеральный университет, 2020 © Абрамян М. Э., 2020 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2020

Стр.3

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Видеолекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Использование видеолекций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Использование субтитров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Математическая логика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Абсолютная величина и целая часть вещественного числа . . . . . . . . 17 Принцип математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Отображения и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. Границы множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Аксиома непрерывности множества вещественных чисел . . . . . . . . . . 20 Границы и точные границы числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Арифметические операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Окрестность и симметричная окрестность точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Определение предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Простейшие свойства предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Свойства предела последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Бесконечно малые последовательности: определение и свойства . . .34 Критерий сходимости последовательности в терминах бесконечно малых последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Арифметические свойства предела последовательности . . . . . . . . . . . 35 Переход к пределу в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Бесконечные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Окрестности бесконечно удаленных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Бесконечно большие последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Арифметические свойства бесконечно больших последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Стр.4

4 М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению 5. Монотонные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Ограниченные и монотонные последовательности: определения . . . 46 Сходимость монотонных последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Примеры применения теоремы о сходимости монотонных последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 6. Теорема о вложенных сегментах и теорема Больцано –Коши о предельной точке . . . . . . . . 55 Теорема о вложенных сегментах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Предельные точки множества. Теорема Больцано –Коши . . . . . . . . . 57 7. Подпоследовательности. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Подпоследовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса . . . . . . . 60 Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 64 8. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Определение и единственность предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Критерий существования предела функции в терминах последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 Примеры функций, имеющих и не имеющих пределы . . . . . . . . . . . . . 73 Пределы функции в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9. Свойства предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Предел функции и арифметические операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Переход к пределу в неравенствах для функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Теорема о пределе суперпозиции функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 10. Односторонние пределы. Некоторые важные пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Определение односторонних пределов функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 11. Пределы монотонных ограниченных функций. Критерий Коши для функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Монотонные и ограниченные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Критерий Коши существования предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Стр.5

Оглавление 5 12. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Определение непрерывной функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Примеры непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Простейшие свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Арифметические свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Суперпозиция непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13. Непрерывность функции на множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Теорема о промежуточном значении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Теоремы Вейерштрасса о свойствах функций, непрерывных на сегменте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 14. Точки разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Точки разрыва функций, их классификация и примеры . . . . . . . . . .119 Точки разрыва монотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Критерий непрерывности монотонной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 15. O-символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями 128 Функции, ограниченные по сравнению с другими функциями . . . .130 Некоторые свойства, связанные с O-символикой . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 Эквивалентные функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 16. Дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Предварительные замечания и основные определения . . . . . . . . . . . . 135 Непрерывность дифференцируемой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Производные некоторых элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 17. Свойства дифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Арифметические свойства производных и дифференциалов . . . . . .142 Дифференцирование суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Дифференцирование обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 18. Гиперболические и обратные гиперболические функции 153 Гиперболические функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Обратные гиперболические функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . 154

Стр.6

6 М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению 19. Физический и геометрический смысл производной . . . . . . 158 Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 20. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Производные высших порядков: определение и примеры . . . . . . . . . 162 Производные высших порядков для суммы и произведения функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Число сочетаний: определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Формула Лейбница дифференцирования произведения . . . . . . . . . . .167 21. Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . 170 Локальные экстремумы функций. Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . .170 Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 22. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 Формула Тейлора для многочленов и произвольных дифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Различные представления остаточного члена в формуле Тейлора 183 Разложение элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 23. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Формулировка и доказательство правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . 193 Примеры применения правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Дополнение. Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной . . . . . . . . . . . . . . . 198 24. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Локальные экстремумы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Точки перегиба функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Расположение графика функции относительно касательной . . . . . .212 Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Пример исследования функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Стр.7