МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Бурятский государственный университет имени Доржи Банзарова
À. Â. Áàäååâ, Í. Á. Цыренжапов, Ä. Ä. Рыбдылова
АЛГЕБРА:
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ВЕКТОРНОЕ
ПРОСТРАНСТВО,
МАТРИЦЫ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рекомендовано
Учебно-методическим советом БГУ
в качестве учебно-методического
пособия для обучающихся
по направлениям подготовки
010302 Прикладная математика и информатика,
020303 Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем,
090303 Прикладная информатика
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета
2021
Стр.1
УДК 512.64
ББК 22.143
Б 15
Утверждено к печати редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты
П. Л. Абидуев, канд. физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой ¾Естественнонаучные
дисциплины¿ ФГБОУ ВО ¾Бурятская государственная сельскохозяйственная
академия имени В. Р. Филиппова¿
È. Ê. Шаранхаев, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö., çàâ. кафедрой àëãåáðû,
дискретной математики и прикладной информатики ФГБОУ ВО ¾Бурятский
государственный университет имени Доржи Банзарова¿
Текст печатается в авторской редакции
Бадеев À. Â.
Б 15 Алгебра: арифметическое векторное пространство, матрицы,
системы линейных уравнений: учебно-методическое пособие / А. В. Бадеев,
Н. Б. Цыренжапов, Д. Д. Рыбдылова Улан-Удэ: Издательство Бурятского
госуниверситета, 2021. 64 ñ.
Учебно-методическое пособие подготовлено на основе курса по алгебре,
читаемого в Институте математики и информатики БГУ. Рассмотрены
такие разделы алгебры, как арифметическое пространство, алгебра
матриц, системы линейных уравнений.
Предназначено для для обучающихся по направлениям подготовки
010302 Прикладная математика и информатика, 020303 Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем,
090303 Прикладная информатика. Также может быть полезно для обучающихся
других специальностей математического профиля.
-c À. Â. Áàäååâ, Í. Á. Цыренжапов, Ä. Ä. Рыбдылова, 2021
-c Бурятский госуниверситет им. Д. Банзарова, 2021
Стр.2
Содержание
Предисловие
1. Арифметическое векторное пространство
5
8
1.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Линейная зависимость систем векторов . . . . . . . 10
1.3. Базис конечной системы векторов . . . . . . . . . . 11
2. Матрицы. Ранг матрицы
14
2.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Элементарные преобразования матриц . . . . . . . 16
2.3. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы 18
3. Действия с матрицами
20
3.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Свойства операций над матрицами . . . . . . . . . 21
3.3. Транспонирование матриц . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Ранг произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Системы линейных уравнений
25
4.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Критерий совместности систем линейных уравнений 26
4.3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений 27
4.4. Однородные системы линейных уравнений . . . . . 30
4.5. Общее решение в векторной форме . . . . . . . . . 31
5. Квадратные матрицы
34
5.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2. Элементарные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3. Критерий обратимости матрицы . . . . . . . . . . . 37
5.4. Метод Гаусса нахождения обратной матрицы
и решения матричных уравнений . . . . . . . . . . 38
3
Стр.3
6. Определители
43
6.1. Понятие определителя . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3. Метод Гаусса вычисления определителей матриц . 47
6.4. Разложение определителя по строке или столбцу . 48
6.5. Определитель произведения матриц . . . . . . . . . 50
6.6. Применение определителей . . . . . . . . . . . . . . 51
Задачи для самостоятельного решения
Библиографический список
56
62
4
Стр.4
Предисловие
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для изучения дисциплины
¾Алгебра¿ в рамках реализации образовательной программы высшего
образования для обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02
¾Прикладная математика и информатика¿, 02.03.03 ¾Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем¿, 09.03.03 ¾Прикладная
информатика¿ очной формы обучения и подготовлено в соответствии
с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта
высшего образования.
Дисциплина ¾Алгебра¿ входит в базовую часть блока Б1 ¾Дисциплины
(модули)¿ как обязательная дисциплина. В ходе изучения дисциплины у обучающихся
формируются следующие общепрофессиональные компетенции:
- по направлениям подготовки ¾Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем¿ и ¾Прикладная математика и информатика¿:
ÎÏÊ-1:
способен применять фундаментальные знания, полученные в области
математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной
деятельности;
- по направлению подготовки Прикладная информатика:
ОПК-2: способен анализировать социально-экономические задачи и процессы
с применением методов системного анализа и математического моделирования.
В
результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
- теорию комплексных чисел;
- основы теории групп, колец, полей;
- методы решения систем линейных уравнений;
- алгебру матриц и теорию определителей матриц;
- теорию линейных пространств и линейных операторов;
- теорию многочленов;
уметь:
- производить вычисления и решать уравнения в комплексных числах;
- исследовать и решать системы линейных уравнений;
5
Стр.5
- выполнять действия над матрицами, находить обратную матрицу, определитель
матрицы, решать матричные уравнения;
- решать задачи с векторами, системами векторов, линейными операторами;
-
решать задачи с многочленами, находить корни многочленов, раскладывать
многочлены на множители;
владеть:
- методологией и навыками решения научных и практических задач.
Основная задача данного учебно-методического пособия - оказать методическую
помощь студентам, изучающим дисциплину ¾Алгебра¿. Эта задача
определяется сложностью алгебры для ее изучения студентами первого курса.
Необходима адаптированная литература, такая как учебные пособия, ориентированная
на вчерашнего школьника. В основу данного пособия положен
материал курса по алгебре, читаемый автором в Институте математики и
информатики Бурятского государственного университета.
Первые шесть разделов пособия являются основными и содержат теоретический
материал по теме ¾Арифметическое векторное пространство¿ и тесно
связанным с ней темам ¾Матрицы и определители матриц¿, ¾Системы линейных
уравнений¿. Пособие призвано помочь студентам в более глубоком, детальном
усвоении сложного теоретического материала, поэтому доказательства
большинства теорем, лемм, следствий, свойств тщательно разобраны
и изложены. Остальные предлагается доказать самостоятельно в качестве
упражнений. Каждый раздел содержит примеры с подробным решением задач
и методическими указаниями по их решению.
В первом разделе приводятся основные понятия арифметического векторного
пространства: вектор, операции над векторами, линейная зависимость
систем векторов, линейные оболочки и базисы. Доказываются основные свойства
и теоремы о векторах и линейных оболочках. Математический аппарат
этого раздела используется в остальных разделах. Матрица представляется
как система векторов, а система линейных уравнений - как векторное или
матричное уравнение.
Во втором и третьем разделах дается определение ранга матрицы, действий
с матрицами и выводятся основные свойства матриц.
Четвертый раздел посвящен системам линейных уравнений. Приводится
критерий совместности систем линейных уравнений, метод Гаусса решения
систем линейных уравнений, описывается структура множества решений однородных
и произвольных систем линейных уравнений.
В пятом и шестом разделах приведены основные понятия, свойства и тео6
Стр.6
ремы о квадратных матрицах и их определителях, описываются способы вычисления
определителей. Рассматривается применение определителей для решения
систем линейных уравнений и вычислении обратной матрицы.
В седьмом разделе подобраны задачи различного уровня сложности по
перечисленным темам, предназначенные для самостоятельного решения.
В конце пособия дается библиографический список необходимой для изучения
литературы, который поможет читателю в более глубоком изучении
алгебры.
7
Стр.7