МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
И. В. Михайлова, Е. А. Логинова
ДИКТАТУРА, ДЕМОКРАТИЯ, РЕВОЛЮЦИЯ
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2018
Стр.1
В некотором государстве общество разделено на два класса: богатых
и бедных. Исторически, в данной стране существовал авторитарный режим:
все ключевые решения принимает диктатор и небольшая кучка богачей, которые
его поддерживают. Не удивительно, что в этой стране богатые не
платили налоги, бедные всегда были возмущены этим фактом. За последний
год возмущение достигло предела, и над обществом нависла угроза революции
– насильственного свержения власти и национализации всей собственности
богатого класса.
Богатые понимают, что должны идти на уступки. У них есть два варианта.
При первом варианте проходит демократизация общества. Бедные получают
избирательные права (и юридические, и фактические), и богатые
навсегда теряют контроль над экономической политикой (хотя, в отличие
от революционного сценария, они сохраняют большую часть своей собственности).
При втором варианте богатые обещают бедным более справедливое
распределение доходов, но сохраняют политический контроль и возможность
самим устанавливать ставку налогообложения в будущем (в том
числе и через несколько лет, когда угроза революции пройдет). Какой вариант
выберут богатые? Станут ли бедные устраивать революцию?
Представим взаимодействие богатых и бедных в виде динамической
игры. Построим дерево этой игры (рис. 1). Первый ход делают богатые, которые
решают, стоит ли вводить демократию ( D ), или нет ( N ). На следующем
ходе устанавливается ставка налогообложения
тии налоги определяют бедные, так как их большинство. При авторитарном
строе налоги определяют богатые. После того, как ставка налогообложения
установлена, бедные решают, устроить ли революцию ( R ), или нет ( NR ).
Если на первом ходе не была введена демократия, и если на третьем ходе не
произошло революции, то богатые с вероятностью q снова устанавливают
3
τ [0;1]∈ . При демокра
Стр.3
V 2 ( ,)NRτ по τ, получим V NR( ,) = − +− + . График этой
2 ττ yτ
2
y
абсциссой вершины: max = =
в
yy
ττ y
−
1
2
y y )
( 22
функции представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз,
следовательно, максимальное значение достигается в вершине параболы с
2 > Таким образом, оптимальная для
0.
бедных ставка налогообложения * = − . Подставив полученное значе2
yy
τ
y
ние *
1
τ в целевые функции народа и элиты, получим:
y yy
1
1
2
(
V NR( ,) (
21
τ = − +− + =y2
2
*2 yy
) ( y y2 )
−
y yy22 2
+ 2
y yy
−
) ( y y1)
+ − += + −
2
V NR( , )τ −−yy*2= − 22 2
2
y1
1
2
(2 12
1
y yy
2
( y y ) .
Рассмотрим, каким будет решение бедных относительно революции
при демократическом режиме. Революция не произойдет ( NR ), если
*
V R V NRτ Подставим выражения для 2VR и() V ( ,)NRτ :
1 ()
2 21
( ) ≤
( , ).
2
2
2
2 ()
y yy
2
2
2
2
*
21
µy yyyλ≤+ ; µ λ≤+ .
2
Обозначим µ λ=
2 ()
y yy
+
2
2
2
2
.
Таким образом, если µµ≤ , то революции не произойдёт ( NR ), если
µµ> , то революция произойдёт ( R ).
Рассмотрим теперь, каким будет решение бедных при недемократическом
режиме ( )N . Революция не произойдет ( NR ), если
*
V R q V NR qV NR
2 (
6
)≤− ττ+
2 22 3
(1 ) (, ) (, ).
y y y y2 );
Стр.6
Заметим, что это условие зависит от 2τ - произвольной ставки налогообложения,
предложенной богатыми на предыдущем этапе игры, и *
τ -
3
ставки налогообложения, предлагаемой богатыми на следующем этапе игры.
Подставим
значения 2() V ( ,)NRτ , 23
y
µτy qyττλ ≤− − + −
+ .
(1 )((1 ) y2
q
2
(1 )
2
2
2
2 ) )
2
2
2
После преобразования неравенство примет вид
yyq
(1 )( y y2 ) 2
q
вями, направленными вниз, и вершиной
yy
τ y
2
y2
VR , 22 V ( ,)NRτ , получим
( 2
*
µ ττλ ≤− −
+ − − + .
График правой части выражения, представляет собой параболу с ветв
= − > , причем в
0
выражения представляет собой прямую
µy const
λ = > .
τ расположено
ближе к точке τ 1= , если 2y достаточно мало. График левой части
0
Возможны три варианта взаимного расположения графиков и, соответственно,
три варианта развития событий.
1) Если
µµ λ≤= , то революция не произойдет ( NR ) при любом значе2
0
y
y
2)
Если µ µµ λ
y
01 22≤ = + − q yy
−
<
λy
y
2
( NR ), ττ*≤ иτ2
*
21
* = − −
y
y2
Замечание. 01
<
1− q
⋅ −− + − +
y
(1
λ
нии 2τ . Выгоднее выбрать ставку налогообложения *
2
2
(1 ())
2
τ 0= .
, то революция не произойдет
1 12µ
y
3) Если µµ 1> , то произойдет революция ( R ).
µ µµ<
7
2
q qq(1 ) 2
y
) 22
y
.
Стр.7
8
Для удобства изобразим все рассмотренные варианты на оси µ (рис. 2) и в виде таблицы.
R
NR
D
] (
µ
Рис. 2. Выбор бедных и богатых при различных значениях µ
Таблица 1. Выбор бедных и богатых при различных значениях µ
µ
Выбор богатых
Выбор
бедных
τ
Выигрыш
богатых
1
V
Выигрыш
бедных 2
V
y2
V (1 ) ( , )
2 = −+ 2
q V NR qyτ
2
*
2
[0; ]µ
N
0
NR
ττ 0
**
23
= =
y1
* = − −
y
2
1− q
⋅ −− +
(1
q qq(1 ) 2
λ y
)
− +
y2
y
1
1
V (1 ) ( , ) +
1 =
− q V NR qyτ
1 21
*
(; ]µµ
N
01
NR
τ 1 12µ y2
y2
2
1
µ
N
NR
] (
µ0
NR
] (
µ1
R
µ
( ;µµ]
D
1
( ;1]µ
D или N
NR
yy
τ y
V NR( , )τ = +−
*22
(2 12
1
V NR( ,) (
21
τ =
*22
2y y y )
+ 2
1
* = − 2
2y y y y y2 );
R
-
0
µ y
λ
Стр.8
Пример 1.
В некотором государстве доля бедных ()λ составляет 90% населения,
доход богатого гражданина 1()y 5 млн. денежных единиц, доход бедного
гражданина 2()y 5 тыс. денежных единиц. В случае революции (1 µ− ) 80%
совокупного дохода уничтожается. q 0,7=
ки налогообложения 3τ. Определить какой режим установится в государстве
(демократия D или отсутствие демократии N ), произойдет революция
( R ) или нет ( NR ), какая будет ставка налогообложения (τ), а также выигрыш
богатых ( 1
V ) и выигрыш бедных ( 2V ).
Решение.
Найдем средний доход
y =λλy
y yy
µ λ
= +=
2
Посчитаем
2
2 (
2
2 )
y
y + (1 ) 0,9 5000 (1 0,9) 5000000 4500 500000 504500.
Найдем µ 1 0,8 0,2
21
− = ⋅ +
= −= .
0,9
2 (504500)
⋅
=
0,0089 0,1323 0,14.
y
2y
+
≈
µ λ⋅⋅= =
y
0
y2
вие выполнено.
9
0,9 5000 0,001
504500
≈
µ µµ<
.
Проверим выполнение условия 01< : 0,001 0,14 0,45<<
- усло2
−
⋅
= +
=
2 ((504500) (5000) ) =
1 22= + −(1 )q yy ) 0,9 5000
⋅
=
504500 0,9 0,3⋅
+ ⋅
22 ⋅
+
0,9 25454525
50904050
(504500 5000)
2
−
2 (504500)
⋅
- вероятность установления став≈
0,45.
µλλ 22
( −
=
Стр.9
В нашем случае µ ( ,]
1
∈ µµ, так как 0,2 (0,14;0,45] .
∈
Таким образом, чтобы избежать революции, на первом шаге богатые
выберут демократию ( D ).
Найдем ** *
11 1 2
NR V NR 1
yy
τ y
V NR( , )
1
τ y y y y y
=
*
1
= 301779,2.
V NR( 11,21)τ == +=
2
*
2y y y2 )
(
2
2 504500
⋅
(504500 5000 ) 252274,5.
22
−
≈
Пример 2.
В некотором государстве доля бедных ()λ составляет 90% населения,
доход богатого гражданина 1()y 60 млн. денежных единиц, доход бедного
гражданина 2()y 6 тыс. денежных единиц. В случае революции (1 µ− ) 90%
совокупного дохода уничтожается. q 0,5= - вероятность установления ставки
налогообложения 3τ. Определить какой режим установится в государстве
(демократия D или отсутствие демократии N ), произойдет революция
( R ) или нет ( NR ), какая будет ставка налогообложения (τ), а также выигрыш
богатых ( 1
V ) и выигрыш бедных ( 2V ).
Решение.
Найдем средний доход
y =λλy
y + (1 ) 0,9 6000 (1 0,9) 60000000 5400 6000000 6005400.
21
− = ⋅ +− ⋅
10
= +
=
1
2
(2 12 + − =2 )
2
2
⋅
ττ τ .
*
,V ( ,), ( ,)
1 = −−2 =
1
2 504500
504500 5000 0,99
504500
≈
⋅⋅ +
.
(2 5 10 (504500) 5 10 )
9 26
− ⋅ =
Стр.10