МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Лабораторная работа
Составители:
О. М. Голицына, А. Е. Гриднев,
В. Е. Рисин, И. Е. Занин
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: определение моментов инерции тел простой геометрической
формы, являющихся составной частью крутильного маятника.
При выполнении лабораторной работы находится период колебаний
маятника и рассчитывается постоянная момента упругих сил его пружины.
Зная параметры системы (постоянную момента упругих сил, собственный
момент инерции) и используя свойство аддитивности момента инерции, определяется
момент инерции рассматриваемых тел.
Краткая теория
Основное уравнение динамики вращательного движения для тела,
вращающегося вокруг закрепленной оси, имеет вид:
L
M=
d
dt
(1),
где М – суммарный момент всех внешних сил, L – суммарный момент импульса
твердого тела. Если рассматриваемая ось является одной из главных
осей вращения абсолютно твердого тела, то момент импульса относительно
этой оси будет равен:
L J ω= ⋅
(2),
где J – осевой момент инерции твердого тела, ω – абсолютное значение
угловой скорости вращения.
Тогда уравнение вращательного движения в проекциях на эту ось определяется
выражением
M J
dt
(
С учетом того, что ω ϕ=
d
dt
= ω ω⋅ = ⋅
d
)
J
d
dt
(3).
, окончательно можно записать
3
Стр.3
B = 4
π + +
2
0
D
J Jcт гр
2J
(14).
Экспериментально получив при измерениях набор значений Т2 от а2 ,
можно рассчитать параметры колебательной системы: постоянную момента
упругих сил D и собственный момент инерции системы 0J . Для этого необходимо
графически построить линейную зависимость Т2 от а2 и по графику
определить коэффициенты А и В (рис. 1).
Величину D находят из формулы (13), зная массу груза
m гр и значение
углового коэффициента линейной зависимости А. Затем по значению
коэффициента прямой В, а также, используя предварительно вычисленные
величины D, cтJ и грJ , определяют 0J из формулы (14).
Заменив стержень с грузами на другое тело с неизвестным моментом
инерции xJ , получим новое значение периода колебаний такого маятника
0
T = 2π +⋅
Jx
T D
4 2
J Jx
D
π J
= ⋅ −
(15).
По известным значениям Т, 0J и D нетрудно рассчитать xJ :
2
0
(16).
Экспериментальная установка
В состав установки входят станина, вертикальная ось с пружиной, набор
разных тел, блок с фотодатчиком и электронный таймер (рис.2, 3).
Используемый в работе маятник совершает крутильные колебания
вокруг вертикальной оси 1 с помощью упругой стальной пружины 2. Вертикальная
ось с пружиной крепятся к станине 3 с помощью прижимного
винта 4. На вертикальную ось насаживается съемный образец, в качестве
которого в работе используются стержень 5 с двумя цилиндрами 6, а также
сплошной диск 7. Используемый в работе маятник совершает крутильные
колебания вокруг вертикальной оси 1 с помощью упругой стальной
6
Стр.6
Рис.2. Экспериментальная установка для наблюдения крутильных колебаний.
Рис.3.
Набор прилагаемых тел.
7
Стр.7
пружины 2. Вертикальная ось с пружиной крепятся к станине 3 с помощью
прижимного винта 4. На вертикальную ось насаживается съемный образец,
в качестве которого в работе используются стержень 5 с двумя цилиндрами
6, а также сплошной диск 7.
В систему измерения входят фотодатчик 8 на опоре 9 и электронный
блок 10. В процессе измерений фотодатчик срабатывает при пересечении
съёмным образцом его вертикальной плоскости. Сигнал с фотодатчика поступает
на электронный блок, с помощью которого определяется период
колебаний T. Переключателем 12 электронного блока задается режим измерений,
для точного определения периода колебаний переключатель 12 устанавливают
в такое положение ТА , для которого временной отрезок между
двумя последовательными срабатываниями фотодатчика отображается в
миллисекундах на таймере 11.
Данные установки:
− масса стержня стm
− длина стержня стl
= (135,00 ± 0,01) гр;
= (62,00 ± 0,05) см;
− расстояние между рисками стержня 0l = (5,00 ± 0,05) см;
− масса груза грm = (261,50 ± 0,01) гр;
− длина груза грl
=(2,05± 0,05) см;
− внутренний радиус груза 1R = (0,60 ± 0,05) см;
− внешний радиус груза 2R = (4,50 ± 0,05) см;
− масса диска
m Д = (470,00 ± 0,01) гр;
−
радиус диска ДR = (16,00 ± 0,05) см.
Методика проведения работы
Упражнение 1. Определение постоянной момента упругих сил пружины.
8
Стр.8
1. С помощью лаборанта на оси 1 маятника закрепите стержень 5 с
цилиндрическими грузами 6. Стержень необходимо вставить в сквозное отверстие
вертикальной опоры 1 и зажать посередине прижимным винтом 3.
Цилиндрические грузы расположите симметрично на минимальном расстоянии
а от оси вращения (первые засечки на стержне, см. таблицу 1).
2. Переключатель 12 электронного блока установите в положение ТА,
при этом должен загореться индикатор «ms» - миллисекунды. Фотодатчик
расположите в положении равновесия крутильного маятника. При этом на
фотодатчике должен загореться светодиодный индикатор.
3. Отклоните маятник, осторожно держа его за конец стержня противоположный
фотодатчику, в сторону примерно на 5 – 10 градусов. Нажмите
на электронном блоке кнопку “start up”, при этом должен загореться индикатор
«Gate». Затем отпустите стержень. В момент прохождения крутильным
маятником положения равновесия сработает фотодатчик и начнётся
отсчёт времени. После чего маятник достигнет положения амплитудного
значения и при обратном движении вновь пересечёт положение равновесия,
в этот момент отсчёт времени прекратится. Таким образом на индикаторе
прибора будет отображаться время в миллисекундах, соответствующее половине
периода колебаний крутильного маятника. Занесите в таблицу 1
значение полупериода колебаний системы T/2.
4. Повторите для заданного расположения грузов измерения три раза.
Значения полупериодов колебаний системы T/2 запишите в таблицу 1.
5. Перемещая цилиндрические грузы и располагая их на засечках
стержня симметрично на большем удалении от вертикальной оси, повторите
пункты 3 и 4 для всех возможных значений а. Результаты запишите в
таблицу 1.
9
Стр.9
Номер измерения
1
2
3
4
5
6
Обработка
результатов измерений.
1. Для всех положений грузов на оси вычислите средний период колебаний
Т и квадрат этой величины T2. Результаты запишите в таблицу 1.
2. Вычислите значения a2 для каждого положения грузов. Результаты запишите
в таблицу 1.
3. Постройте график зависимости Т2 от а2 . Как следует из формулы (12),
зависимость Т2 от а2 является линейной. Однако результаты измерений всегда
содержат в себе погрешность, и реальные экспериментальные точки зависимости
Т2 от а2 вовсе не обязательно будут строго лежать на одной
прямой. Поэтому прямую проводят так, чтобы примерно равное количество
точек располагалось выше и ниже прямой, а их общий разброс относительно
прямой был минимальным. Построив прямую, определяют её коэффициенты
А и B (рис.1).
Для более точного построения линейной зависимости по указанию
преподавателя воспользуйтесь обработкой данных на ЭВМ с помощью метода
наименьших квадратов (МНК) [1]. Данный метод позволяет математически
подобрать уравнение прямой, наилучшим образом соответствующее
набору экспериментальных данных Т2 и а2. Результатом вычислений
на ЭВМ по МНК является значение углового коэффициента линейной зави10
Таблица
1. Результаты измерений для упражнения 1.
a, м
T 1 , с
2
T 2 , с
2
T 3 , с , с T2 ,с2 a2, м2
2
Стр.10