Анализ в матричных областях (250,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Оглавление Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов АНАЛИЗ В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ Монография Красноярск СФУ 2017 1

Стр.2

Анализ в матричных областях УДК 512.643.4 ББК 22.161+22.143 Х98 Р е ц е н з е н т ы: Н. Тарханов, доктор физико-математических наук, профессор Потсдамского университета (Потсдам) А.А. Джалилов, доктор физико-математических наук, профессор Туринского политехнического университета (Ташкент) Худайберганов, Г. Х98 Aнализ в матричных областях : монография / Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов ; науч. ред. Е. К. Лейнартас. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2017. – 296 с. ISBN 978-5-7638-3550-2 Монография посвящена комплексному и гармоническому анализу в матричных областях многомерного комплексного пространства. Рассмотрены интегральные представления для голоморфных функций, вопросы голоморфного продолжения, построения локального вычета и др. Предназначена для специалистов по многомерному комплексному анализу. Электронный вариант издания см.: http://catalog.sfu-kras.ru ISBN 978-5-7638-3550-2 УДК 512.643.4 ББК 22.161+22.143 © Сибирский федеральный университет, 2017 © Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 2017 2

Стр.3

Оглавление ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................. 7 Г л а в а 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ ..................................................... 8 1. Некоторые матричные области в пространстве []n mm ......................... 8 1.1. Матричный единичный круг .................................................................. 8 1.2. Матричная верхняя полуплоскость ...................................................... 9 1.3. Матричный единичный поликруг ........................................................ 10 1.4. Матричный шар ..................................................................................... 10 1.5. Матричная область Зигеля второго рода ............................................ 11 1.6. Матричная область Рейнхарта ............................................................. 12 2. Степенные ряды от матриц .......................................................................... 14 2.1. Матричная норма .................................................................................. 14 2.2. Степенные ряды в []n mm 2.5. Степенные ряды в []n mm ............................................................... 15 2.3. Формула Коши – Адамара ................................................................... 19 2.4. Области сходимости степенных рядов ............................................... 20 .............................................................. 20 2.6. Критерий абсолютной сходимости ..................................................... 21 2.7. Логарифмически выпуклая оболочка области в []n mm .............. 23 2.8. Теорема Гартогса .................................................................................. 25 3. Голоморфные функции и области голоморфности в []n mm .............. 26 3.1. Определения ........................................................................................... 26 3.2. Связь между голоморфными функциями от nm2 переменных и голоморфными функциями от нескольких матриц ........................ 28 3.3. Области сходимости как области голоморфности ............................. 30 3.4. Кратная интегральная формула Бохнера – Хуа Локена .................... 31 3.5. Доказательство основного результата главы 1 ................................... 34 Г л а в а 2. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА ................................................................... 38 4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре ............. 38 4.1. Известные результаты ........................................................................... 38 4.2. Граничная теорема Морера для поликруга ......................................... 41 4.3. Граничная теорема Морера для шара .................................................. 44 3

Стр.4

Анализ в матричных областях 5. Условия существования аналитического продолжения функций в классических областях .............................................................................. 48 5.1. Классические области ........................................................................... 48 5.2. Условия существования продолжения ................................................ 50 5.3. Граничные теоремы Морера для классических областей ................ 57 6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной реализации поликруга и шара ...................................................................... 60 6.1. Граничная теорема Морера для неограниченной реализации поликруга ........................................................................... 60 6.2. Граничная теорема Морера для неограниченной реализации шара .................................................................................... 66 Г л а в а 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ ........................ 78 7. Интегральные представления ...................................................................... 78 7.1. Автоморфизмы матричного шара........................................................ 79 7.1.1. Объем матричного шара в пространстве []n mm ............... 87 7.1.2. Автоморфизмы матричных шаров второго и третьего типов 89 7.2. Интегральная формула Бергмана для матричного шара .................. 97 7.3. Ядра Коши – Сеге и Пуассона для матричного шара ...................... 100 7.4. Интегральные формулы для матричного шара второго типа ......... 108 7.5. Ядра Бергмана и Коши – Сеге для матричного шара третьего типа ........................................................................................ 115 7.6. Интегральные формулы в областях Зигеля ...................................... 121 7.7. Формула Бергмана для неограниченной матричной области ........ 130 8. Формулы Карлемана ................................................................................... 135 8.1. Формула Карлемана для функций от матриц ................................... 135 8.2. Формулы Карлемана в классических областях ................................ 137 8.3. Формула Карлемана в матричном шаре ........................................... 143 8.4. Граничная теорема Морера для матричного шара .......................... 147 Г л а в а 4. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ ....... 152 9. Граничная теорема Морера для матричной верхней полуплоскости ... 152 10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного шара ..... 159 10.1. О неограниченной реализации матричного шара ........................ 159 10.2. Об интегральных представлениях в области Зигеля D .............. 163 10.2.1. Об интегральных формулах в пространстве прямоугольных матриц ........................... 167 10.2.2. Интегральные формулы ..................................................... 169 10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D ..................... 173 10.3.1. Ортонормальная система в матричном шаре ................. 181 4

Стр.5

Оглавление 10.3.2. Инвариантный оператор Лапласа – Хуа Локена в матричном шаре .............................................................. 186 Г л а в а 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ .................................... 194 11. Критерии существования голоморфного продолжения непрерывной функции, заданной на части границы области в n ..... 194 12. О возможности голоморфного продолжения в матричную область функций, заданных на куске ее границы Шилова ................................. 200 13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций, заданных на части сферы Ли .................................................................... 207 14. Условия голоморфной продолжимости в трубчатую область функций, заданных на остове трубчатой области ................................ 216 15. Интерполяционные последовательности в классических областях ... 221 Г л а в а 6. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЫЧЕТА ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ ............ 236 16. Интегральные представления локального вычета для голоморфных функций от матриц .................................................... 237 17. Свойства локального вычета ................................................................... 242 18. Представление локального вычета через след и распространение формулы Бишопа на функции от матриц .............. 245 19. Формула Вейля и принцип Руше в []n mm ....................................... 249 20. Обобщенная интегральная реализация локального вычета ................. 253 20.1. Общий рецепт интегральной реализации локального вычета Гротендика ..................................................... 254 20.2. Примеры преобразования локального вычета Гротендика при композициях отображений ................... 256 Г л а в а 7. РАСШИРЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ТРУБА И КРУГ ............. 260 21. Труба будущего ......................................................................................... 260 21.1. Определения ..................................................................................... 260 21.2. Касательное пространство. Форма Леви ....................................... 261 21.3. Групповая структура. Автоморфизмы .......................................... 263 22. Труба будущего как классическая область ............................................. 263 22.1. Реализация трубы будущего в виде матричного единичного круга ............................................ 263 22.2. Геометрия матричного единичного круга ................................... 265 22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли ............................... 267 23. Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы ................... 270 5

Стр.6

Анализ в матричных областях 24. Критерий голоморфной выпуклости для областей в n , инвариантных относительно действия компактных групп Ли ............. 272 24.1. Факторы относительно действия групп ....................................... 272 24.2. Теорема Гильберта .......................................................................... 273 24.3. Орбитальная выпуклость ................................................................ 274 24.4. Эквивариантная теорема продолжения ........................................ 274 24.5. Критерий голоморфной выпуклости ............................................. 275 25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге ............... 276 25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области ............... 276 25.2. Орбитально выпуклые области ...................................................... 277 25.3. Расширенный матричный круг является орбитально выпуклым ..................................................... 278 25.4. Расширенный матричный круг является насыщенным………... 279 25.5. Основной результат ......................................................................... 279 26. Гипотеза о расширенной матричной трубе ............................................ 280 26.1. Частные случаи ................................................................................ 280 26.2. Матричная формулировка гипотезы о расширенной трубе будущего ..................................................... 281 26.3. Схема доказательства гипотезы о расширенной матричной полуплоскости................................... 283 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................... 285 6

Стр.7