МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
ГИСТЕРЕЗИСНОГО ТИПА
Составители:
М. Б. Зверева,
М. И. Каменский,
Е. В. Рачинский
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2016
Стр.1
Содержание
§1. Функции ограниченной вариации
§2. Некоторые сведения из выпуклого анализа
§3. Опорные функции
§4. Sweeping процессы
Список литературы
4
7
12
18
25
3
Стр.3
Упражнения.
1.1 Докажите, что всякая функция ограниченной вариации ограничена.
1.2 u(t) = const ⇔ Var(u) = 0.
1.3 Пусть u: [0, T ] → R, u(t) — монотонная функция. Докажите, что
u(t) является функцией ограниченной вариации, причем Var(u) =
|u(T) − u(0)|.
1.4 Пусть u: [0, T ] → R является функцией ограниченной вариации.
Тогда u(t) = u1(t) − u2(t), где функции u1(t) и u2(t) не убывают на
[0, T ].
1.5 Пусть функция u(t) представляет собой ломаную в гильбертовом
пространстве, т.е. существуют точки 0 = t∗0 < t∗1 < . . . < t∗N =
T такие, что u(t) = ui +
ui = u(t∗i ). Тогда u(t) является функцией ограниченной вариации,
причем Var(u) =
t∗i+1 − t∗i
t − t∗i
1.6 Докажите, что непрерывная функция
u(t) =
N−1i=0
t · cos
0,
π
2t
ui+1 − ui .
, t ∈ (0, 1]
t = 0
не является функцией ограниченной вариации на [0, 1].
1.7 Покажите, что произведение двух функций f и g ограниченной вариации
есть снова функция ограниченной вариации, причем
V ar(fg)
sup
x∈[a,b]
f(x) V ar(g) + sup
x∈[a,b]
g(x) V ar(f).
(ui+1 − ui), t ∈ [t∗i , t∗i+1], где
6
Стр.6
§2. Некоторые сведения из выпуклого анализа
Пусть C ⊂ H(ГП) — замкнутое выпуклое множество.
Напомним, что множество C называется замкнутым, если оно содержит
все свои предельные точки.
Множество C — выпуклое, если ∀ x, y ∈ C : отрезок [x, y] ⊂ C, где
отрезок [x, y] в ГП определяется как множество
[x, y] = {αx + (1 − α)y, α ∈ [0, 1]}.
называть множество
NC(x) = {ξ ∈ H : ξ, c − x 0 ∀c ∈ C}.
Пусть x ∈ C. Конусом нормалей в точке x ко множеству C будем
Заметим, что если x ∈ H, и C ⊂ H — замкнутое выпуклое множество,
то существует единственный y ∈ C, минимизирующий расстояние
от точки x до множества C: (dist(x,C)), где
dist(x,C) = inf{ x − c : c ∈ C}.
Такой элемент y называется проекцией элемента x на множество C и
обозначается y = proj(x,C). Таким образом,
y = proj(x,C) ⇔ x − y = dist(x,C).
Пусть C1 и C2 — выпуклые замкнутые множества в H — ГП. Тогда
хаусдорфовым расстоянием h(C1, C2) между C1 и C2 называется
h(C1, C2) = max{sup
x∈C2
dist(x,C1), sup
x∈C1
dist(x,C2)}.
Теорема 2. Пусть [x1, x2] — отрезок в H (ГП). Функция l : [a, b] ⊂
R1 → H — непрерывная и имеет ограниченную вариацию, причем Var(l)
7
Стр.7
x1 − x2 + ν, где ν 0. Пусть l(a) = y1; l(b) = y2, и y1 − x1
η, δ 0; η 0 и ν+δ+η 1. Тогда хаусдорфово расстояние
удовлетворяет неравенству
h(l, [x1, x2])
y2−x2
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда δ = η = 0.
(3 + x1 − x2 )ν + δ + η.
Тогда y1 = x1, y2 = x2. Покажем, что для любой точки z ∈ l расстояние
до [x1, x2] удовлетворяет неравенству dist(z, [x1, x2])
(1+ x1−x2 )√ν.
зать, что dist(z, S)
т.е. что найдется z ∈ l такой, что dist(z, S) > (1 + |S|)√ν.
Рассмотрим следующие случаи:
Введем обозначения: [x1, x2] = S, x1 − x2 = |S|. Требуется дока(1+|S|)√ν
для всех z ∈ l. Предположим противное,
а) Пусть на S ближайшей к точке z окажется x1. Заметим, что
ν
1. Но по условию Var(l)
ν + |S|. Получили противоречие.
δ;
Var(l) x1 − z + z − x2 > (1 + |S|)√ν + |S| > ν + |S|, поскольку
0
Аналогично может быть рассмотрен случай, когда x2 ближайшая к z.
б) Пусть x — проекция z на множество S. Тогда dist(z, S) = z −
x , и следовательно, z−x 2 > (1+|S|)2ν ν+2|S|ν ν2+2ν xi−x .
Поскольку
Var(l)
2
i=1
xi − z
то получаем противоречие с тем фактом, что Var(l) ν + |S|, ν 0.
(1 + x1 − x2 )√ν.
2
i=1 (ν + xi − x )2 =
С другой стороны, заметим, что любой элемент x ∈ S является
ортогональной проекцией некоторого z ∈ l. Более того, dist(x, l)
(1 + |S|)√ν.
Таким образом, sup
z∈l
z = dist(z, S)
8
x−
dist(z, [x1, x2])
2
i=1
2
i=1 xi − x 2 + x − z 2
(ν + xi − x ) = 2ν + |S|,
Стр.8
Рассмотрим теперь общий случай, когда y1 − x1
x2
чим, что
| x1 − x2 − y1 − y2 |
Тогда Var(l)
полученный ранее результат к отрезку [y1, y2] = S. Имеем
h(l, S)
x1 − x2 + ν
поскольку ||S| − |S|| 1, откуда |S|
δ = 0, y2 −
η = 0. Воспользовавшись неравенством параллелограмма, полуy1
− x1 + y2 − x2
δ + η 1.
y1 − y2 + δ + η + ν. Применим уже
+h(S, S). Поскольку h(S, S) max xi − yi
h(l, S)
Воспользуемся неравенством треугольника, получим: h(l, S) h(l, S)+
δ + η √δ + η + ν, то
(1 + |S|)δ + η + ν (2 + |S|)δ + η + ν,
|S| + 1.
(3 + |S|)√δ + η + ν, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть отображение S действует из множества D ⊂
H (ГП) в себя и является сжимающим. Обозначим через P множество
неподвижных точек S. Предположим, что P содержит в себе замкнутый
шар с центром в точке a и радиусом r > 0, т.е. B(a, r) ⊂ P.
Тогда для всех x ∈ D верно
x − S(x)
1
2r
x − a 2 − S(x) − a 2 .
Доказательство. Если x = S(x), то последнее неравенство очевидно.
Пусть x = S(x). обозначим y =
Заметим, что y = 1 и x − S(x) = y x − S(x) . Тогда, очевидно,
x − S(x)
x − S(x) .
элемент a+ry ∈ B(a, r). Поскольку B(a, r) ⊂ P, то a+ry — неподвижная
точка отображения S, т.е. S(a + ry) = a + ry.
откуда a + ry − S(x) 2
x − a 2 − S(x) − a 2
2r
Так как S — сжимающее, то S(a + ry) − S(x) 2
a + ry − x 2, и значит
a + ry − x 2,
y, a−S(x)−y, a−x = y, x−S(x) = x−S(x) ,
9
Стр.9
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Пусть C — замкнутое выпуклое множество в H —
ГП, причем B(a, r) ⊂ C. Тогда для всех x ∈ H верно
x − proj(x,C)
1
2r
x − a 2 − proj(x,C) − a 2 .
Доказательство. Рассмотрим отображение S(x) = proj(x,C). Оно
является сжимающим (докажите в качестве упражнения!). Применив
предыдущую теорему, получим требуемое.
Теорема 5. Пусть C1, C2, . . . , Cn — замкнутые выпуклые множества
в H — ГП, причем все они содержат в себе замкнутый шар
B(a, r) (r > 0). Тогда, если x0 ∈ H и точки x1, x2, . . . , xn такие, что
xi = proj(xi−1, Ci), то
x0 − a x1 − a . . . xn − a ,
гично, xn −a
для всех i = 1, . . . , n, имеем
xi−1 − proj(xi−1,C) = xi − xi−1
xi − xi−1
Тогда
in
=1
1
2r
Доказательство. Заметим, что x1−a = proj(x0, C1)−proj(a, C1)
x0 − a , поскольку отображение proj является сжимающим. Аналоx0
−a . По предыдущей теореме, в силу B(a, r) ⊂ Ci
n
i=1
1
2r( xi−1 − a 2 − xi − a 2).
x0 − a 2, что и требовалось доказать.
Упражнения
Пусть H = R2, C = {(x, 0) : 0 x 1} (для номеров 2.1—2.3).
2.1 Покажите, что NC((0, 0)) = {(ξ1, ξ2) : ξ1 0, ξ2 ∈ R}.
10
xi − xi−1
1
2r
x0 − a 2 − xn − a 2
1
2r
x0 − a 2.
Стр.10