Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. <...> Следствием основной теоремы алгебры является то, что если z1, z2, … , zm – нули многочлена (1) кратностей k1, k2, … , km соответственно, то f(z) представим в виде при этом jz z п ри j l , k1 + k2 + … +km = n . f (z) a z z z z m l 1 2 n k1 k2 Для того чтобы несократимая дробь p q (p – целое, q – натуральное) была нулём многочлена f(z) с целыми коэффициентами aj, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a0, а число q – делителем старшего коэффициента аn. <...> Дан многочлен f(z) = z4 – 6z3 + 10z2 + 2z – 15: а) подобрать целые нули многочлена среди делителей z4 – 2z3 + 7z2 – 30z + 50 = (z2 – 4z + 5)(z2 +2z +10) . свободного члена; б) разложить f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами; в) разложить f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами; г) разложить дробь (2z – 3) / f(z) на простейшие дроби с действительными коэффициентами. <...> Найдём целые нули второго множителя среди делителей свободного члена (–15): 1; 3; 5; 15. <...> 29 29 Задание 1.7 Даны многочлены f(z) и g(z): а) подберите нули многочлена f(z) среди делителей свободного члена; б) разложите f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами; в) разложите f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами; г) разложите дробь g(z)/f(z) на сумму простейших дробей с действительными коэффициентами. <...> Элементарные функции К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная x x показательная a , логарифмическая a , log x, тригонометрическая cosx, обратные тригонометрические arccosx, arctg x ; 2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций <...>
Сборник_заданий_к_типовым_расчетам_и_контрольным_работам_по_математическим_дисциплинам._Ч._1.pdf
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
С 23
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.;
доктор физико-математических наук, профессор,
зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В.
Авторский коллектив:
Афонин А. А., Бокарева Т. А., Бородицкий М. П., Гадельшин В. К., Зуев В. Н.,
Каибханов К. Э., Камышникова Т. В., Клово А. Г., Кодачигова Л. К., Мархель Э. Г.,
Нестерова Г. Г., Никитина А. В., Ольховой А. Ф., Орехов Б. И., Сапунцов Н. Е.,
Саркисов Г. С., Семенистый В. В., Сидоренко Б. В., Суховерхова Н. И.,
Фирсов И. П., Фомин Ю. Т., Цирулик В. Г.
Главный редактор
доктор физико-математических наук, профессор Сухинов А. И.
Заместители гл. редактора:
кандидат физико-математических наук, профессор Бородицкий М. П.,
кандидат физико-математических наук, доцент Каибханов К. Э.
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках
национального проекта «Образование»
по «Программе развития федерального государственного образовательного
учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»
Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным
С 23
работам по математическим дисциплинам. Ч. I: учеб. пособие /
А. А. Афонин [и др.]. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. – 541 с.:
ил. 120.
ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-8
Сборник содержит задачи стандартного курса высшей математики для
студентов технических и экономических специальностей. В 12 разделах
пособия содержится около 6 000 задач. В начале каждой главы приводится
сводка теоретических положений, определений и формул, а также дается
подробное решение типичных задач, входящих в варианты.
Пособие рекомендуется для студентов и преподавателей технических
и экономических вузов, может быть использовано как для очной, а так и
для заочной и дистанционной форм обучения.
Сборник заданий подготовлен в рамках межвузовской комплексной
программы «Наукоемкие технологии образования».
ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-8
2
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
© ТТИ ЮФУ, 2009
© Южный федеральный
университет, 2009
2
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………….
I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ……………………..
1. Комплексные числа……………………………………………….
2. Многочлены…………………………………………………………
Задания…………………………………………………………………
II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ…………………………………………….
1. Предел числовой последовательности…………………………..
2. Элементарные функции…………………………………………….
3. Предел функции……………………………………………………
4. Непрерывность функции………………………………………….
5. Бесконечно малые величины и их сравнение……………………
Задания…………………………………………………………………
III. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ…………………………………….
1. Матрицы. Действия над матрицами……………………………..
2. Определители………………………………………………………
3. Обратная матрица…………………………………………………
4. Ранг матрицы…………………………………………………….…
5. Системы линейных алгебраических уравнений…………………
Задания…………………………………………………………………
7
9
9
17
22
31
31
32
33
39
43
45
IV. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ….
1. Векторная алгебра…………………………………………………
2. Прямая на плоскости………………………………………….……
3. Полярная система координат………………………………………
4. Плоскость и прямая в пространстве……………………………….
5. Кривые второго порядка на плоскости ……………………….…
Задания…………………………………………………………………
64
64
67
73
74
76
83
110
110
117
118
119
125
128
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО…………………………………………………………
1. Производная. Правила дифференцирования…………………..…
2. Таблица производных………………………………………………
3. Правила дифференцирования…………………………….……….
4. Производные высших порядков…………………………………..
5. Дифференцирование функций, заданных неявно или
параметрически……………………………………………………
6. Уравнения касательной и нормали……………………………….
7. Дифференциал первого порядка………………………………….
8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора…………
3
3
136
136
137
137
140
141
143
144
145
Стр.3
9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя………….
Задания……………………………………………………………………
VI. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
ФУНКЦИИ…………………………………………………………….…
1.Возрастание и убывание функции. Точки экстремума……………
2. Выпуклость и вогнутость……………………………………….…
3. Асимптоты…………………………………………………………
4. Построение графика функции……………………………………
5. Элементарные преобразования графиков………………………..
Задания…………………………………………………………………
146
149
171
171
173
173
174
180
185
VII. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО
ПЕРЕМЕННОГО…………………………………………………………
1. Неопределённый интеграл………………………………………..
2. Таблица основных неопределённых интегралов………………...
3. Основные свойства неопределённого интеграла………………
4. Интегрирование методом замены переменного…………………
5. Интегрирование по частям………………………………………..
6. Интегрирование рациональных функций………………………..
7. Интегрирование тригонометрических функций………………..
8. Интегрирование некоторых иррациональных функций…………..
9. Определённый интеграл……………………………………………
10. Несобственные интегралы………………………………………..
11. Вычисление площадей плоских фигур………………………….
12. Вычисление длины дуги………………………………………….
13. Вычисление объёмов тел…………………………………………
14. Приближённое вычисление определённых интегралов…………
Задания…………………………………………………………………
VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………………………………
1. Арифметическое пространство. Функции многих
переменных…………………………………………………………
197
197
197
198
198
201
203
207
209
210
214
220
223
224
225
229
269
2. Предел и непрерывность функции………………………………..
3. Частные производные……………………………………………..
4. Дифференциал функции многих переменных……………………
5. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.…
6. Дифференцирование сложной функции…………………………
7. Дифференцирование неявно заданной функции…………………
8. Экстремум функции многих переменных………………………
9. Условный экстремум……………………………………………….
4
4
269
270
271
274
276
277
278
281
284
Стр.4
10. Наибольшее и наименьшее значения функции многих
переменных в замкнутой области…………………………………
Задания…………………………………………………………………
IХ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ……………………………………………
1. Двойной интеграл………………………………………………….
2. Замена переменных в двойном интеграле……………………….
3. Приложения двойного интеграла…………………………………….
4. Тройной интеграл……………………………………………………..
5. Замена переменных в тройном интеграле……………………………
Задания…………………………………………………………………….
X. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ…………………………………...
1. Арифметическое пространство……………………………………….
2. Линейное пространство………………………………………………
3. Евклидово пространство……………………………………………….
4. Линейные операторы…………………………………………………..
5. Собственные векторы и собственные значения…………………….
6. Квадратичные формы…………………………………………………
Задания……………………………………………………………………
ХI. РЯДЫ………………………………………………………………….
1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда……………………….
2. Признаки сходимости числовых рядов……………………………....
3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница……….….
4. Функциональные ряды………………………………………………....
5. Степенные ряды……………………………………………………….
6. Ряды Тейлора………………………………………………………….
7. Ряды Фурье……………………………………………………………
Задания…………………………………………………………………..
ХII. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ…….
1. Определение дифференциального уравнения. Задача Коши…….….
2. Уравнение с разделяющимися переменными………………………..
3. Однородные дифференциальные уравнения………………………..
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………..
5. Уравнение Бернулли…………………………………………………
6. Уравнение в полных дифференциалах………………………………
7. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка…………………………………………………….
8. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными
коэффициентами………………………………………………………
9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами………………………………………..
5
5
289
291
312
312
316
319
326
327
332
356
356
358
363
365
373
381
391
418
418
420
428
429
430
433
440
447
469
469
469
471
474
477
478
479
481
483
Стр.5
10. Метод вариации постоянных………………………………………..
11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям……………
12. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы……….
13. Линейные однородные системы с постоянными
коэффициентами………………………………………………………
14. Линейные неоднородные системы дифференциальных
уравнений……………………………………………………………..
15. Задания………………………………………………………………
Библиографический список……………………………………….
490
491
493
495
502
509
541
6
6
Стр.6