Оно имеет единx 0 решенном относительно искомой функции y: y (x, y, C) = 0, нения (3.1) в неявном виде, если равенство xy (, ) 0 ψ ϕ +ψ f x y′′ = , где f (x, y) — правая часть уравнения (3.1), выполняется на некоторой области D плоскости Оху при любых допустимых значениях произвольной постоянной С. <...> Уравнение (1.1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции u (x, y), т. е. du (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy. тогда в виде du (x, y) = 0, откуда u (x, y) = C. <...> Дифференциальные уравнения высших порядков да yz dz ′′ = dy . <...> Фундаментальная система решений и теорема о структуре общего решения уравнения Ln [y] = 0 нения n-го порядка Определение 4.1. <...> Таким образом, она удовлетворяет первому условию из определения общего решения дифференциального уравнения n-го порядка (определение 1.2 гл. <...> Действительно, рассмотрим произвольное решение y C 1 , C 2 , …, C n , такой что C 37 ► Легко убедиться непосредственной подстановкой, что y1 = x – частные решения этого уравнения. <...> Дифференциальные уравнения (5.3) ►Надо показать, что функция y из (5.3) удовлетворяет двум условиям из определения общего решения дифференциального уравнения n-порядка (определение 1.2 гл. <...> Поэтому по теореме Крамера система (5.5) имеет единственное решение 0 …, определитель ∆=Wx 0 , а Wx ≠ в силу теоремы 3.2, так как функции y1 (x), y2 (x), …, yn (x) образуют фундаментальную си0 0 решения неоднородных уравнений L[y] = q1 условия из определения 1.2 гл. <...> Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 43 Многочлен ϕ(λ) называется характеристическим многочленом, а уравнение ϕ(λ) = 0 – характеристическим уравнением для уравнения (7.1). <...> Можно показать [25], что полученные таким образом частные решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (7.1). <...> Характеристический многочлен ϕ (λ) имеет вещественные коэффициенты, поэтому, если ϕ (λ) имеет <...>
Высшая_математика._Том_2.pdf
ББК 22.УДК 51(075.8)
Х30
1я73
Электронные версии книг
на сайте www.prospekt.org
Х30
Лобкова Н. И., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А.
то Высшая математика. Том 2 : учебное пособие / отв. ред. В. И. Ан-нов, Ю. Д. Максимов. — Москва : Проспект, 2015. — 472 с.
ISBN 978-5-392-13489-2
Пособие является вторым томом учебного пособия по всем разделам курса математики
для бакалавров технических и экономических направлений, соответствует государственному
образовательному стандарту и действующим программам. Книга может
быть использована студентами и преподавателями дневных, вечерних и заочных отделений
вузов и технических университетов.
ББК 22.УДК 51(075.8)
1я73
Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Учебное издание
Лобкова Наталья Ивановна,
Максимов Юрий Дмитриевич,
Хватов Юрий Алексеевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ТОМ 2
Учебное пособие
Оригинал-макет подготовлен компанией ООО «Оригинал-макет»
www.o-maket.ru; тел.: (495) 726-18-84
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.004173.04.09 от 17.04.2009 г.
Подписано в печать 20.08.2014. Формат 60×90 1
Печать цифровая. Печ. л. 29,5. Тираж 100 экз. Заказ №.
ООО «Проспект»
/16
111020, г. Москва, ул. Боровая, д. 7, стр. 4.
ISBN 978-5-392-13489-2
© Коллектив авторов, 2014
© ООО «Проспект», 2014
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . . . . . . . . . .3
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§§ 1. Дифференциальные уравнения. Основные понятия . . . . . . .4
2. Геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка, разрешенного относительно
производной. Метод изоклин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
§ 3. Задача и теорема Коши для уравнения y′ = f (x, y).
Общее, частное и особое решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка,
интегрируемые в квадратурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
§§ 1. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . .14
§ 3. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
§ 4. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
§ 1. Задача и теорема Коши для дифференциального
уравнения n-го порядка, разрешенного относительно
старшей производной. Общее и частное решение . . . . . . . .20
5. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . .20
§ 2. Уравнение n-го порядка, не содержащее
искомой функции и ее нескольких последовательных
производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
§ 3. Уравнение n-го порядка, не содержащее независимой
переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
§ 4. Уравнения n-го порядка, однородные
относительно искомой функции и ее производных . . . . . .26
Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
§ 1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
§ 2. Линейный дифференциальный оператор и его
свойства. Свойства решений линейного однородного
дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
§ 3. Линейно зависимые и линейно независимые функции.
Условия линейной зависимости и линейной
независимости системы решений уравнения L[y] = 0
на промежутке (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Стр.458
Содержание
459
§ 4. Фундаментальная система решений и теорема
о структуре общего решения уравнения Ln
[y] = 0 . . . . . . . .35
§ 5. Структура общего решения уравнения L[y] = q(x).
Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
§ 6. Метод вариации произвольных постоянных для
линейного неоднородного дифференциального уравнения . . .39
§ 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
§ 8. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами и
специальным видом правой части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
§ 9. Понятие о краевой задаче для линейного
дифференциального уравнения второго порядка . . . . . . . . .55
Глава 5. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .57
§ 1. Основные понятия. Канонические и нормальные
системы. Механический смысл нормальной системы . . . .57
§ 2. Задача Коши и теорема Коши для нормальной
системы. Общее решение системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
§ 3. Метод интегрируемых комбинаций. Первые
интегралы. Общий интеграл системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
6. Примеры решения систем дифференциальных
уравнений из простейших задач электротехники . . . . . . . . .68
§ 4. Интегрирование системы дифференциальных
уравнений путем исключения неизвестных функций . . . . .64
§§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений . . . . . .67
Контрольные вопросы и задачи к разделу 9 . . . . . . . . . . . . . . . . .74
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 9 . . . . . . .76
Раздел 10. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ . .78
Глава 1. Числовые ряды. Основные понятия и свойства . . . . . . . . .79
§§ 1. Числовой ряд, его сходимость, сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
§ 2. Необходимое условие сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3. Основные свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
Глава 2. Cходимость числовых рядов с неотрицательными
членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
§ 1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда
с неотрицательными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
4. Признак Даламбера и радикальный признак Коши . . . . . .88
§ 2. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными
членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
§§ 3. Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
Стр.459
460
Содержание
Глава 3. Сходимость знакопеременных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
§§ 1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . . . . . . . . . .91
*§ 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . .93
3. Признаки сходимости Дирихле и Абеля . . . . . . . . . . . . . . .95
Глава 4. Функциональные ряды. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . .96
§§ 1. Понятие функционального ряда, его области сходимости . . .96
§ 2. Мажорируемые функциональные ряды и их свойства ....97
§ 3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости . . .98
§ 4. Свойства степенных рядов на интервале сходимости . . . .103
§ 5. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора . . . .105
6. Разложение некоторых элементарных функций в ряды
Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
*§§ 7. Приложения степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
8. Степенные ряды с комплексными членами . . . . . . . . . . .113
Контрольные вопросы и задачи к разделу 10 . . . . . . . . . . . . . . .115
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 10 . . . . .117
Раздел 11. РЯДЫ И ИНтЕГРАЛ ФУРЬЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Глава 1. тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
§§ 1. Периодические функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . .119
§ 2. Ортогональность тригонометрической системы функций . . .120
§ 3. Ряд Фурье 2p-периодической функции . . . . . . . . . . . . . . . .121
4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной
на промежутке длины 2p � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 123
§§ 5. Теорема о разложимости функций в ряд Фурье . . . . . . . . .123
§ 6. Ряды Фурье для четных и нечетных функций . . . . . . . . . .125
7. Разложение в ряд Фурье функции, заданной
на промежутке [0, π], по косинусам и синусам . . . . . . . . .128
§ 8. Разложение в ряд Фурье функции произвольного
периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
§ 9. Комплексная форма тригонометрических рядов Фурье . .133
*Глава 2. Интеграл и преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
§ 1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье . . . .136
§§ 2. Теорема о представлении функций интегралом Фурье . .137
§ 3. Комплексная форма интеграла Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . .138
4. Преобразование Фурье. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
Контрольные вопросы и задачи к разделу 11 . . . . . . . . . . . . . . .141
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 11 . . . . .142
Стр.460
Содержание
461
Раздел 12. ИНтЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИй НЕСКОЛЬКИх пЕРЕмЕННЫх ...144
Глава 1. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
§§ 1. Естественная параметризация гладкой кривой . . . . . . . . . .145
2. Понятие и вычисление криволинейного интеграла
1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
§ 3. Механический и физический смысл криволинейного
интеграла 1-го рода. Приложения к механике и физике . . .150
§ 4. Криволинейный интеграл 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
Глава 2. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
§§ 1. Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
2. Геометрический и механический смысл двойного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
§§ 3. Свойства двойных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
§§ 5. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
6. Замена переменных в двойном интеграле.
Вычисление двойного интеграла в криволинейных
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
§§ 7. Геометрические приложения двойного интеграла . . . . . . .175
8. Механические и физические приложения двойного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
§ 9. Условия независимости криволинейного интеграла
2-го рода по плоской кривой от пути интегрирования . .183
§ 10. Восстановление функции двух переменных по ее
полному дифференциалу. Интегрирование полных
дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Глава 3. тройной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
§ 1. Понятие и механическая интерпретация тройного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
3. Вычисление тройного интеграла
в прямоугольной декартовой системе координат . . . . . . . .192
§§ 2. Свойства тройных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
§ 4. Вычисление тройного интеграла в криволинейных
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
§§ 5. Приложения тройного интеграла к механике и физике . . .201
6. Понятие об n-кратном интеграле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204
Глава 4. поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
§ 1. Понятие и вычисление поверхностного интеграла
1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Стр.461
462
Содержание
§ 2. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
к механике и физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
§ 3. Понятие и вычисление криволинейного интеграла
2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209
§ 4. Формула Стокса. Условия независимости
криволинейного интеграла 2-го рода
по пространственной кривой от пути интегрирования. . .213
вопросы и задачи к разделу 12 . . . . . . . . . . . . . . .222
Контрольные§ 5. Формула Остроградского — Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 12 . . . . .225
Раздел 13. тЕОРИЯ пОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
Глава 1. Скалярное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
§ 1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня.
Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
§ 2. Градиент скалярного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
Глава 2. Векторное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
§§ 1. Векторное поле. Векторные линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
§ 2. Поток векторного поля через поверхность . . . . . . . . . . . . .236
§ 3. Дивергенция векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241
4. Циркуляция векторного поля. Плоскостная плотность
циркуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
§§ 5. Ротор векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247
§ 6. Оператор Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251
7. Геометрические, дифференциальные и интегральные
характеристики полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253
§ 8. Дифференциальные операции второго порядка.
Оператор Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253
§ 9. Классификация векторных полей. Потенциальное,
соленоидальное, лапласово поля и их свойства . . . . . . . . .255
Контрольные вопросы и задачи к разделу 13 . . . . . . . . . . . . . . .261
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 13 . . . . .262
Раздел 14. тЕОРИЯ ВЕРОЯтНОСтЕй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263
Глава 1. Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
§§ 1. Предмет теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
§ 2. Классификация событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
3. Действия над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266
Стр.462
Содержание
463
Глава 2. Вероятность события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270
§§ 1. Относительная частота события и ее свойства . . . . . . . . . .270
§ 2. Статистическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . .271
§ 3. Аксиоматическое определение вероятности . . . . . . . . . . . .272
§ 4. Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . .273
§ 5. Геометрическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . .275
6. Субъективное определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . .276
Глава 3. Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
§§ 1. Комбинаторный принцип умножения . . . . . . . . . . . . . . . . .277
§ 2. Размещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278
§ 3. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
§ 4. Сочетания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
5. Размещения с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281
Глава 4. Алгебра вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283
§§ 1. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283
§ 2. Правило умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284
§§ 4. Правила сложения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
3. Независимость событий. Правило умножения
вероятностей взаимно независимых событий . . . . . . . . . . .285
§ 5. Формулы полной вероятности и Байеса . . . . . . . . . . . . . . .289
6. Схема проведения независимых испытаний Бернулли.
Биномиальная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290
§ 7. Приближенная формула Пуассона для вычисления
биномиальной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292
Глава 5. Одномерная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
§§ 1. Определение случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
§ 2. Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
§§ 4. Производящая функция (вероятностей) . . . . . . . . . . . . . . . .302
§§ 6. Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305
3. Числовые характеристики дискретной случайной
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297
5. Биномиальное, Пуассона, геометрическое
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303
7. Числовые характеристики непрерывной случайной
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307
§ 8. Нормальное, показательное, равномерное
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310
Глава 6. Двумерная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318
§ 1. Двумерная случайная величина, ее функция
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318
Стр.463
464
Содержание
§ 2. Дискретная двумерная случайная величина,
ее таблица распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319
§ 3. Непрерывная двумерная случайная величина.
Плотность вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322
§§ 4. Примеры двумерных непрерывных распределений . . . . . .323
§ 5. Зависимость и независимость двух случайных величин . .325
6. Математическое ожидание функции двумерной
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327
§ 7. Корреляционный момент и коэффициент корреляции . .330
Глава 7. n-мерная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335
§§ 1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335
2. Числовые характеристики n-мерной случайной
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336
§ 3. Полиномиальное и n-мерное нормальное распределения . . .337
Глава 8. предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
§§ 1. Неравенства Маркова и Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
2. Теоремы Чебышева и Бернулли. Сходимость
по вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340
§ 3. Центральная предельная теорема для случая
одинаково распределенных слагаемых . . . . . . . . . . . . . . . . .342
*Глава 9. Дополнение (о центральной предельной теореме) . . . . .346
§§ 1. История и сущность центральной предельной теоремы ...346
§ 2. Комплексные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346
§ 3. Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348
4. Доказательство центральной предельной теоремы
для случая одинаково распределенных слагаемых . . . . . . .351
Контрольные вопросы и задачи к разделу 14 ...............353
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 14 . . . . .355
РАзДЕЛ 15. мАтЕмАтИЧЕСКАЯ СтАтИСтИКА . . . . . . . . .357
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357
21°. Предмет математической статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357
°. Краткие исторические сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358
Глава 1. Описательная статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360
§§ 1. Генеральная совокупность. Выборка. Выбор . . . . . . . . . . .360
§ 2. Вариационный и статистический ряды . . . . . . . . . . . . . . . .365
§ 3. Выборочная функция распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . .367
§ 4. Выборочные числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . .369
5. Группированный статистический ряд. Гистограмма . . . . .373
Стр.464
Содержание
465
Глава 2. точечное оценивание числовых характеристик и
параметров распределения генеральной совокупности . . .379
§ 1. Понятие точечной статистической оценки.
Требования к оценкам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379
§ 2. Свойства выборочного среднего и выборочной
дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382
§ 3. Свойства оценок для m и s в случае нормального
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
§ 4. Метод моментов получения оценок
параметров генерального распределения . . . . . . . . . . . . . . .386
§ 5. Метод максимального правдоподобия получения
оценок параметров генерального распределения . . . . . . . .387
Глава 3. Интервальное оценивание числовых характеристик
и параметров распределения генеральной
совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391
§ 1. Доверительный интервал. Точность и надежность
оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391
§ 2. Точность и надежность оценивания вероятности
события с помощью его относительной частоты
при большом объеме выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392
§ 3. Доверительный интервал для математического
ожидания m нормальной генеральной совокупности . . .394
*§ 4. Доверительный интервал для среднего квадратичного
отклонения σ нормальной генеральной совокупности . .395
§ 5. Доверительный интервал для математического
ожидания m любой генеральной совокупности при
большом объеме выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .397
*§ 6. Доверительный интервал для среднего
квадратического отклонения s любой генеральной
совокупности при большом объеме выборки . . . . . . . . . .398
Глава 4. проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
§§ 1. Виды статистических гипотез .........................401
2. Критерий значимости. Общая схема проверки
статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402
§ 3. Ошибки первого и второго рода.
Односторонний и двусторонний критерии . . . . . . . . . . . . .404
§ 4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей . . . . . . . . . .406
§ 5. Проверка гипотезы о равенстве математических
ожиданий двух генеральных совокупностей . . . . . . . . . . . .409
Стр.465
466
Содержание
§ 6. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей двух
событий с помощью доверительного интервала при
больших объемах выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413
§ 7. Проверка гипотезы о законе распределения
генеральной совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414
Глава 5. Корреляционный и регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . .421
§§ 1. Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421
§ 2. Общие сведения о регрессионном анализе . . . . . . . . . . . . .424
§ 3. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426
4. Статистический анализ эмпирической простой
линейной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .428
Контрольные вопросы и задачи к разделу 15 . . . . . . . . . . . . . . .439
Ответы на контрольные вопросы и задачи к разделу 15 . . . . .442
ЛИтЕРАтУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444
пРИЛОЖЕНИЕ I. СпРАВОЧНИК пО ОДНОмЕРНЫм
НЕпРЕРЫВНЫм РАСпРЕДЕЛЕНИЯм . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446
§ 1. Распределения с плотностью, отличной от нуля
на всей оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446
§ 2. Распределения с плотностью, отличной от нуля
на полуоси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .448
§ 3. Распределения, отличные от нуля на конечном
промежутке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451
пРИЛОЖЕНИЕ II. СтАтИСтИЧЕСКИЕ тАбЛИЦЫ . . . . . . . .453
нормального распределения
Таблица I. Значения нормированной функции Лапласа . . . . .453
Таблица II. Квантили pu
Таблица III. Квантили ()ptk распределения Стьюдента
()
распределения хи-квадрат
Таблица V. Квантили 12 распределения Фишера
(, )
Fk k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455
Таблица VI. Равномерно распределенные случайные числа . .456
Fp(, )k k
12
Tаблица VII. Нормирующие коэффициенты для
устранения смещения оценок среднего квадратичного
отклонения s в случае нормального распределения [4] . . . . .457
N (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454
Tk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454
Таблица IV. Квантили
455
Стр.466