ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО ВГУ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по курсу «МАТЕМАТИКА»
(Линейная алгебра и Теория вероятностей и математическая статистика)
для студентов 2 курса экономического факультета по направлениям
«Менеджмент» и «Управление персоналом»
Воронеж 2015
3
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА……………………………………………….6
ТЕМА 1.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ………………………………..6
1.1 Определители второго и третьего порядка, их свойства…………….6
1.2 Матрицы. Действия над матрицами…………………………………15
1.3 Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений
и ее решения……………………………………………………………….17
1.4 Системы линейных уравнений……………………………………….20
ТЕМА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА……………………………………………..31
2.1 Линейные операции над векторами………………………………….31
2.2 Линейные операции над векторами в координатной форме……….36
ТЕМА 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ…………………………….48
ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА…………………………………………………………………..63
ТЕМА 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ………………………………………….63
Методические указания и примеры выполнения заданий…………………….63
Индивидуальные задания……………………………………………………….71
ТЕМА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА……………………………..77
Методические указания и примеры выполнения заданий…………………….78
Индивидуальные задания……………………………………………………….90
ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ…………………………..97
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………….100
5
Стр.3
a b c
a b c
a b c
1
2
3
b b b
a a a
2
2
c2
1
1
c1
3
3 (a b c
c3
a b c a b c a b c a b c a b c a b c ,
1 2 3 3 1 2 2 3 1 3 2 1 1 3 2 2 1 3
что и требовалось доказать.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен
нулю:
a a a
a a a
1
1
с1
2
2
с2
3
3 0;
с3
b b b
a a a
1
1
c1
1
1
c1
3
3 0
c3
Доказательство. Докажем для строк. Обозначим величину исходного
определителя 1. Поменяем в нем первую и вторую строку местами.
Согласно свойству 2, знак его меняется на противоположный
1
a a a
a a a
1
1
с1
2
2
с2
3
с3
3 1
с1
a a a
a a a
1
2
2
с2
3
3 .
1
с3
Получили 1 = -1, т.е. 21 = 0 => 1 = 0.
4. Умножение определителя на число. Чтобы умножить определитель
на число, нужно все элементы произвольной строки (столбца) умножить на
это число:
a a a3
b b b3
c c c3
1
1
1
2
2
что и требовалось доказать.
8
2
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
1 2 3 2 1 3 ,
1 2 3
3 1 2
2 3 1
2 3 1
3 2 1
3 2 1
1 3 2
1 3 2
()3 1 2
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
2 1 3
a b c
a b c
a b c
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Доказательство. Достаточно показать, что второй определитель равен
2 1 3 a b c a b c a b c
3 2 1 1 3 2
3 1 2 a b c
1 2 3 a b c )
2 3 1
1
2
3
1
3
2 2
c2
b b b
a a a
2
1
1
c1
3
3 .
c3
Доказательство. Достаточно показать, что второй определитель равен
Стр.6
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны
нулю, то и сам определитель равен нулю:
a a a3
1
с1
определитель равен нулю:
a1
a1
с1
a2
a2
с2
a3
0 .
a3
с3
Доказательство. Если, согласно свойству 5, вынести
за
определитель, то получим определитель с одинаковыми строками, который
по свойству 3 равен 0.
7. Сложение определителей. Если элементы некоторой строки
(столбца) определителя есть суммы двух слагаемых, то определитель равен
сумме двух определителей, в которых элементы упомянутой строки
(столбца) заменены отдельными слагаемыми, а остальные элементы
являются общими для всех трех определителей:
b b b b
a a a a
1
1
c1
~
~
c1
~
1
1
2
2
c2
3
3
c3
b b b
a a a
1
1
c1
2
2
c2
3
3
c3
b b b
a a a
~
~
c1
~
1
1
2
2
c2
3
3 .
c3
Доказательство. Достаточно вычислить определители справа и слева
по формуле (1) и показать, что они равны.
8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на
произвольное число, то определитель не изменится:
a1
b1
c1
a1
b1
c1
2
b b b3
c2
2
2
c2
c3
1
1
2
2
b b b3
c2
a a a3
2
2
2
2
c2
b b b
a a a
c1
c2
что и требовалось доказать.
9
3
c3
3
2
2
b b b
a a a
1
1
c1
b b b
a a a
2
2
c2
c2
2
2
c2
3
3
3 .
c3
Доказательство. По свойству 7 разложим определитель на два
a a a3
2
3
c3
c3
b b b
a a a
1
1
c1
2
2
c2
3
3
0
c3
b b b
a a a
1
1
c1
2
2
c2
3
3
c3
2
0 0 0 0.
3
с2
с
Доказательство. Следует из свойства 4, если положить
= 0.
6. Если элементы двух строк (двух столбцов) пропорциональны, то
Стр.7
Алгебраические дополнения и миноры
Пусть дано 2n вещественных чисел, для изображения которых используем
одну букву с двумя индексами:
,
1n ,
,
вертикальные скобки:
a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an2
...
...
...
...
a1
a2
n
n
...
ann
Таким образом обозначается определитель n-го порядка; при этом
числа (5) называются э л е м е н т а м и определителя n-го порядка.
Определитель (6) обозначают также кратко: , или ija , где первый
индекс i указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца,
которым принадлежит элемент ija ,
Итак,
i 1,2,...,n j 1,2,...,n.
aij
a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an2
...
...
...
...
a1
a2
n
n
...
ann
Ми н о р о м ijM любого элемента ija определителя (6) называется
определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя (6) в
результате вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
Например, для определителя второго порядка
a11
a21
11 22 ,
12 21,
Определитель третьего порядка
a11
a21
a31
a12
a22
M a M a M a M a 11.
21 12 ,
a12
a22
a32
10
a13
a23
a33
22
.
(6)
a a11 12 ,...,a a a21 22 ,...,a2n ,...,a a 2n ,...,ann
n1,
(5)
Расположим эти числа в n строк, и полученную таблицу заключим в
Стр.8
имеет 9 миноров, которые являются определителями второго порядка. В
частности, определители
1
Число
a22
a32
Aij )1(
a23
a33
,
Mij
2
a21
a31
являются минорами элементов a , aa11 12 13,
i j
элемента ija определителя (5).
Разложение определителя по элементам произвольной строки (столбца):
каков бы ни был номер строки
i
...
j, ( 1,2,...,n)
j
, для определителя n-го порядка справедливы формулы:
nj nj
a A a Ai a Ain in
a A a A2 j a A
1 j
i1 1i i2 2
1 j 2 j
...
где ijA - алгебраические дополнения элементов ija .
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ
ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Пример 1. Вычислить
2
Решение:
1
3
4
Пример 2. Вычислить
Решение:
1 2 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3 28 15 10.
1 5 3 2 1
2 5 2 2 4
1 1 4
Пример 3. Вычислить
Решение:
11
1 2 5
2 1 4
1 2 3
.
2
1
.
3
4
8 3 5.
1 2 5
2 1 4
1 2 3
.
i, ( 1,2,..., )n , или номер столбца
.
называется алгебраическим дополнением
a23
a33
,
3
a21
a31
a22
a32
-
Стр.9
1 2 5
2 1 4
1 2 3
10
( 1) 1 5 2 2 3 2 4 ( 1) ( 1) 1 3 ( 1) 2 4 2 2 5
Пример 4. Вычислить определитель четвертого порядка:
1 2
0
1 5
0 1
3
M 1 2
11
M 0 1
3
13
1 2 3
2
2 0 0
Решение: Найдем миноры элементов первой строки:
1 2 3
12
2 0 0
0
1 3
1 6, M
14
2 0
Откуда A11 16,A12 24,A13 A6,
По определению определителя имеем:
14 12.
1 16 2 24 ( 1) ( 6) 5 12 1 .30
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить определитель.
2. Вычислить, используя свойства определителя.
1. а)
3 3 6
7 2 1
1 3 1
1 3 1
2. а)
3 2 1
2 1 3
б)
б)
1 3 5
7 8 1
3 3
7
2 6 10 14
2
2
2
2 4 1 5
0 8 1 2
1 3 5 7
3 8 0
2
0 2 3
1 16, M 0 2
3
24,
1
3 0 0
0
0 1 2
1 2
2 0
12
1
.
5 12 8 3 20
12
Стр.10