МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Шероховатость поверхности
Учебно-методическое пособие
Составитель:
О.И. Иванищева
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
1
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................ 4
§ 1. Математическая модель шероховатости ............................................... 5
1.1. Представление о шероховатости и ее влияние на основные
эксплуатационные свойства детали ............................................................... 5
1.2. Моделирование шероховатости с помощью случайного поля ......... 5
§ 2. Распределение напряжений на шероховатой поверхности .................. 7
2.1. Вектор нормали к шероховатой поверхности .................................... 7
2.2. Постановка граничных условий на шероховатой поверхности ....... 8
§ 3. Напряженное состояние упругого тела с шероховатой границей ..... 10
3.1. Напряженное состояние упругой полуплоскости
с шероховатой границей при растяжении ............................................................ 10
3.2. Граница с синусоидальным видом шероховатости ......................... 13
3.3. Граница полуплоскости со случайными шероховатостями ........... 14
3.4. Оценка глубины зоны возмущенного напряженного состояния ........ 15
§ 4. Концентрация напряжений на шероховатой поверхности тел
при сложном напряженном состоянии ................................................................. 17
4.1. Шероховатое круговое отверстие в бесконечной
полуплоскости под действием равномерного нормального давления ............. 17
4.2. Постановка задачи о напряженном состоянии шероховатого
цилиндра .................................................................................................................. 23
§ 5. Стохастическая задача теплопроводности для тела
с шероховатой границей ........................................................................................ 25
5.1. Построение температурного поля полупространства
с шероховатой границей ........................................................................................ 25
5.2. Распределение температур в волокнистом полупространстве
под действием теплового потока на шероховатой границе .............................. 27
5.3. Самостоятельная работа по теме «Температурное поле
полупространства с шероховатой границей» .................................................... 28
5.4. Самостоятельная работа по теме «Распределение температур
в волокнистом полупространстве под действием теплового потока
на шероховатой границе» ..................................................................................... 29
§ 6. Задача устойчивости пластины с шероховатыми
поверхностями .................................................................................................................... 29
6.1. Метод возмущений в стохастической задаче устойчивости ............. 29
6.2. Устойчивость микропористой пластины с шероховатой
поверхностью ......................................................................................................... 32
6.3. Самостоятельная работа по теме «Метод возмущений
в стохастической задаче устойчивости» ........................................................... 33
6.4. Самостоятельная работа по теме «Устойчивость
микропористой пластины с шероховатой поверхностью» ............................. 34
Библиографический список ....................................................................... 36
3
Стр.3
Модель шероховатости можно рассматривать как результат наложения
случайной компоненты на детерминированную периодическую основу (рис. 1).
Анализ причин образования неровностей позволяет предложить следующую
классификацию шероховатых поверхностей: детерминированная
периодическая со случайной фазой (рис. 2,а), детерминированная основа с
наложенной на нее случайной компонентой (композиционная шероховатость)
(рис. 2,б), случайная анизотропная (рис. 2,в) и случайная изотропная
(рис. 2,г)
а)
б)
в)
г)
Рис. 2. Классификация шероховатых поверхностей
Индивидуальным особенностям методов и условий обработки поверхности
соответствуют различные классы случайных функций.
В случае отсутствия регулярной составляющей профиля шероховатой
поверхности его удобно описывать нормальной стационарной случайной
функцией ()H x с нулевым математическим ожиданием и корреляционной
функцией ()K
. Функция ()H x , очевидно, полностью описывается в рамках
корреляционной теории, так как если известны ее моменты первых двух порядков,
то многомерное нормальное распределение полностью определено.
Однако, многие задачи практики требуют исследования свойств поверхности
в целом и изучение ее сечений может оказаться недостаточным.
В таких случаях прибегают к моделированию с помощью случайных полей.
Случайным полем, заданным в nR , называется случайная функция
12
H MH x , x xn
() (
=
,...,) от точки M , ,..., )nxx x
= ( 12
, принадлежащей nR .
Рис. 3. Набор профилей шероховатой поверхности
Выделяют две двумерные модели вероятностного описания шероховатости.
В одной шероховатая поверхность интерпретируется как реализация
6
τ
Стр.6
однородного изотропного случайного поля двух переменных (, )H xy , в другой
– как реализация поля, полученного из однородного изотропного с помощью
невырожденного аффинного преобразования. Поле второго типа является
простейшим случаем анизотропного поля. Очевидно, свойство однородности
при этом сохраняется.
Для однородного поля математическое ожидание постоянно, а корреляционная
функция зависит только от разности между аргументами
11 2 2
(, ; , )
( 2 1 2 1)
;
расстояния между точками
rx21 2 1
=− y
() (+ y −
x
22)
.
Если предполагаются выполненными условия эргодических теорем для
моментов поля, то моменты можно вычислять осреднением по площади одной
реализации (при достаточно большой площади), а в случае изотропного
поля, по его сечению.
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ НА ШЕРОХОВАТОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
2.1. Вектор нормали к шероховатой поверхности
Шероховатости поверхности являются эффективными концентраторами
напряжений и могут в несколько раз снижать усталостную прочность.
Поэтому представляет интерес оценка напряженного состояния вблизи поверхности
тел.
В дальнейшем будем рассматривать пример математической модели
шероховатости, предложенный в [2] .
Введем систему криволинейных ортогональных координат 12 3,,
радиус-вектор точки в этой системе обозначим ()R R q ,q ,q12 3
=
ek
Hq
k
==
∂
∂
kk
где kH – коэффициенты Ламэ.
Назовем идеальной такую поверхность, на которой
где 3
виде
7
RR(, ,
12
= qq )q ,
qq const== .
В векторной записи уравнение шероховатой поверхности представим в
,
.
Орты касательных к координатным линиям определяются равенствами
1R,1,2,3
(2.1)
qq q и
K xy x y K x xy y=−− .
Корреляционная функция изотропного поля (, )H xy зависит только от
Стр.7
RRqq ) (, ) ,
*=+
где 12
(, ,q e H q q2
12 3 1
(2.2)
H(, )qq определяет высоту шероховатостей.
Предположим, что шероховатости малы. Тогда с точностью до малых
первого порядка на поверхности (2.1) для координаты 3q получаем следующее
выражение
qq Hq ,q
=+ H q,q ,q .
3
3 12
()
()
12
С учетом (2.1) и деривационных формул
3
∂e
∂∂
∂
qH q
e
=
∂∂
qH q23 3
=
∂∂ ∂
=+ +
R
*
∂∂ ∂
=+ +
∂∂ ∂
qH q13 3
*
∂∂ ∂q1
R
qH q23 3
2
следующим образом
()
H HH H
1
2
1 ∂H1
13 3
3
e1,
1 ∂H2
e2
выражения для векторов, касательных к поверхности (2.2), принимают вид
1
()ee,
13
(2.3)
H HH H
ee
23
q2
Тогда выражение для орта нормали к поверхности (2.2) определится
**
12
n qq ,
qq
= ∂∂
∂∂
Ч
∂∂
Ч
RR
∂∂
**
RR
12
Отсюда с использованием (2.3) и с точностью до величин первого порядка
относительно Н и ее производных получается следующее выражение
для п
n eH e H
H qH q
=− ∂∂
e3 ∂∂
−
12
11 2 2
.
(2.4)
2.2. Постановка граничных условий на шероховатой поверхности
Так как вектор нормали к поверхности со случайными неровностями
является случайной функцией координат, то детерминированные поверх8
Стр.8
ностные нагрузки создают на шероховатой поверхности случайное тензорное
поле напряжений. Используя (2.4), можно записать
kk
HH Fk
3−− = ±
11 2 2
kk ,1,2,3.
Hq H q∂∂ =
12
∂∂
12 3
(2.5)
Здесь ki – компоненты тензора напряжений в системе координат
q,q ,q , F k – внешние поверхностные нагрузки; знак + для случая, когда
нормаль (2.4) является внешней к телу, а минус – в противном случае.
Входящие в (2.5) значения напряжений при
3
3
ряд Маклорена
ki=+ ∂ ki
H
ki qq
3 33
= Hq qq
∂
3=
Так как поверхностные нагрузки также могут зависеть от Н и ее производных,
представим kF в следующем виде
(0)
где Fk
(0)
FF F=+ H .
kk k
(1)
– заданная функция криволинейных координат 1, 2, 3qq q , а Fk –
(2.7)
(1)
заданный линейный оператор. Из (2.5), (2.6), (2.7) с точностью до величин
первого порядка относительно Н и ее производных следует
kk (2.8)
∂∂1q H ∂q2
3+− −
Hq H33 1
qq
HH H FF H,1,2,3.
(1)
∂ ∂∂kk k
31 2
2
= ± ()
0
k
±
k =
Граничные условия в форме (2.8) должны удовлетворяться на идеальной
поверхности тела 3 = . Поскольку они строились с учетом величин
первого порядка относительно Н и ее производных, выражения для напряжений
имеет смысл искать с той же степенью точности. Поэтому положим
ki=+
(0)
где
ki =
(0)
ki
ki ki
(1) ,
(2.9)
– составляющая напряжений, не зависящая от Н, а (1)
ki
возмущения напряжений, вызванные шероховатостью поверхности.
9
–
+... .
(2.6)
qq H
=+ H разложим в
ττ
τ
τ
ττ
τ
τ
τ
ττ
τ
ττ
τ
ττ
Стр.9
Подставляя (2.9) в (2.8) и сохраняя слагаемые до первого порядка относительно
H
H
,, 1
i
∂
k =±Fk
(1)
(0)
3
k3
()
∂q ki
, получим граничные условия (при 3 = ) для опредеqq
ления
обеих составляющих напряжений
()
0
,
= − ++± =
∂∂
HH H FH k
Hq H
∂ ∂∂ (1)
k
(0)
(0)
(0)
kk k
31 2
3 3 11 22
q H ∂q
Кроме граничных условий (2.10), составляющие напряжений (0) (1)
33
kk,
в
области, занятой телом, должны удовлетворять уравнениям линейной теории
упругости. Располагая решением этих уравнений для тела с идеальной
поверхностью, в силу (2.10) оказывается возможным и построение выражений
для напряжений при произвольной (однако достаточно малой) шероховатой
поверхности.
Все сказанное справедливо как для изотропного, так и для анизотроп=
ного
упругих тел. Далее предполагается, что H (, )Hq q
H (, )Hq q
=
12 является случайной
функцией с нормальным законом распределения.
Случайный характер соотношений (2.10) приводит к необходимости
рассмотрения случайного тензорного поля напряжений. Поскольку в граничные
условия функция
12 и ее производные входят линейно,
то напряжения представляются линейными функционалами Н и, следовательно,
имеют нормальный совместный закон распределения. Можно поставить
задачу определения зависимости вероятностных характеристик напряжений
от вероятностных характеристик функции
H (, )Hq q
=
12 .
§ 3. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОГО ТЕЛА
С ШЕРОХОВАТОЙ ГРАНИЦЕЙ
3.1. Напряженное состояние упругой полуплоскости с шероховатой
границей при растяжении
Пусть упругая полуплоскость x ()
const ,
≥Hy с границей x ()
yx 0= ,
== = 0,
xy
=Hy находится
под действием растягивающих усилий вдоль оси y, так что при x→∞
выполняются условия
(3.1)
где ,,x yxy – составляющие тензора напряжений в системе координат
xy (см. рис. 4)
10
,1,2,3.
(2.10)
ττ
τ
τ
τ
τ
ττ
σ
σ
σσ
σσσ
Стр.10