В результате освоения темы занятия студент будет знать основные характеристики векторного пространства, уметь выполнять различные линейные операции. <...> Существуют ли нетривиальные линейные комбинации векторов системы a1,a2 , … ,ak , равные нулевому вектору0? <...> Система векторовa1,a2 , … ,ak называется линейно зависимой, если существует нетривиальная нулевая линейная комбинация ее векторов, то есть существует линейная комбинация λ1a1 + λ2a2 + … + λkak =0, в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. <...> Система векторовa1,a2 , … ,ak называется линейно независимой, если не существует нетривиальной нулевой линейной комбинации ее векторов, то есть из равенства λ1a1 + λ2a2 + … + λkak =0 следует, что λ1 = λ2 = … = λ k = 0. <...> Базисом подпространства L называется система векторов этого подпространства, которая удовлетворяет двум условиям: – эта система линейно независима; – эта система порождает подпространство L, то есть любойвектор подпространства L может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. <...> Размерностью dim L подпространства L называется количество векторов в каком-либо базисе этого подпространства. <...> Поскольку пространство Rn является подпространством самого себя, то к нему применимо определение базиса подпростран7 тор пространства Rn может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. <...> Все свойства базисов подпространства справедливы и для баства. <...> Базисом пространства Rn называется система векторов этого пространства, которая удовлетворяет двум условиям: – эта система линейно независима; – эта система порождает пространство Rn, то есть любой векзисов пространства Rn. <...> Базисом системы векторов называется ее подсистема (часть системы), которая удовлетворяет двум условиям: – эта подсистема линейно независима; – любой вектор исходной системы может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой подсистемы. <...> Рангом системы векторов <...>
Математический_анализ_интегральное_исчисление_практикум_Направление_подготовки_231300.62_–_Прикладная_математика._Профиль_«Программное_обеспечение_и_администрирование_информационных_систем»._Бакалавриат.pdf
УДК 519.64 (075.8)
ББК 22.161.1 я73
М 34
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Северо-Кавказского федерального
университета
М 34 Математический анализ: интегральное исчисление:
практикум / авт.-сост.: А. С. Мараховский, А. Н. Белаш. –
Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2015. – 160 с.
Практикум содержит планы практических занятий, включающие
теоретическую и практическую части, задания, контрольные
вопросы и литературу; способствует формированию общекультурных
и профессиональных компетенций.
Предназначен для студентов-бакалавров, обучающихся по
направлению подготовки 231300.62 – Прикладная математика.
УДК 519.64 (075.8)
ББК 22.161.1 я73
Авторы-составители:
д-р экон. наук, профессор А. С. Мараховский,
канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Белаш
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры А. С. Адамчук,
д-р экон. наук, профессор Е. Л. Торопцев
© ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2015
Стр.2
ПРЕДИСЛОВИЕ
При изучении дисциплины для направления подготовки
231300.62 – Прикладная математика преследуются несколько целей,
которые согласуются с основными требованиями ООП ВПО.
Будущий выпускник – бакалавр должен обладать общекультурными
и профессиональными компетенциями, определенными
ФГОС ВПО. Данная дисциплина относится к части Б.3, выделенной
в базовом (общепрофессиональном) цикле обучения. Эта дисциплина
изучается в 1–3 семестрах. Математический анализ является
базовой, фундаментальной дисциплиной при подготовке молодого
специалиста-математика и обеспечивает студента всеми
знаниями, которые ему будут нужны при изучении других дисциплин,
например дисциплины «Дифференциальные уравнения».
В процессе обучения студенты должны сформировать
общекультурные компетенции (ОК):
– способность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять
методы математического анализа и моделирования, теоретического
и экспериментального исследования (ОК-12);
профессиональные компетенции (ПК):
– знать основные положения, законы и методы естественных
наук; обладать способностью выявить естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности,
готовностью использовать для их решения соответствующий
естественнонаучный аппарат (ПК-11);
– способность самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных
наук (ПК-14).
3
Стр.3
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие…………………………………………… 3
Практические занятия
1. Пространство линейные операции, расстояние,
сходимость……………………………………………… 4
2. Задачи, приводящие к кратным интегралам………. 14
3. Основные методы используемые при сведении
двойного интеграла к повторному…………………… 23
4. Тройной интеграл…………………………………... 30
5. Якобиан преобразования и его вычисление……… 37
6. Разные системы координат. Переход к полярным
координатам……………………………………………. 44
7. Геометрические приложения двойных и тройных
интегралов……………………………………………… 50
8. Механические приложения двойных и тройных
интегралов……………………………………………… 56
9. Работа переменной силы…………………………..
62
10. Основные теоремы криволинейных интегралов
первого рода……………………………………………. 65
11. Свойства и вычисление криволинейных интегралов
второго рода
69
12. Практическое использование криволинейных
интегралов второго рода………………………………. 73
13. Вычисление площади с помощью криволинейного
интеграла……………………………………………….. 77
14. Доказательство на практических примерах независимости
криволинейного интеграла от пути
интегрирования…………………………………………. 83
15. Точные и замкнутые дифференциальные формы… 89
16. Восстановление функции по ее дифференциалу…. 94
17. Элементы теории поверхностей. Поверхностные
интегралы первого и второго рода……………………. 98
18. Собственные и несобственные интегралы,
зависящие от параметра………………………………...
19. Скалярные и векторные поля. Инвариантное
определение градиента…………………………………
20. Поток вектора через ориентированную поверхность.
Дивергенция…………………………………………….
158
110
126
131
Стр.158
21. Инвариантное определение ротора. Теорема
Стокса…………………………………………………… 137
22. Векторные дифференциальные операции второго
порядка. Лапласиан…………………………………….. 144
23. Классификация векторных полей и их основные
свойства…………………………………………………. 146
24. Параметры Ламе. Вычисление градиента, дивергенции
ротора в криволинейных координатах………. 151
Литература……………………………………………... 157
159
Стр.159