ФГУП
«Российский федеральный ядерный центр − ВНИИЭФ»
Н. Б. Бабичев
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
НЕЙТРОННО-КИНЕТИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
Монография
Саров
2015
Стр.2
УДК 539.125.523
ББК 22.38
Б12
Б12
Бабичев, Н. Б.
Теория подобия нейтронно-кинетических процессов: Монография.
Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015, 218 с.
ISBN 978-5-9515-0301-5
Книга посвящена расчетно-теоретическим разработкам, которые проводились
начиная с 1972 года по сей день.
Построена усовершенствованная теория подобия процессов нейтронной
кинетики, протекающих в однородных и профильных системах.
Получены некоторые точные решения уравнения переноса нейтронов.
В то же время большое внимание уделено поиску приближенных
аналитических решений различных задач.
Монография может быть использована в качестве учебного пособия
для студентов, аспирантов и молодых специалистов-ядерщиков
УДК 539.125.523
ББК 22.38
ISBN 978-5-9515-0301-5
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015
Стр.3
3
Предисловие .
Введение .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ОГЛАВЛЕНИЕ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.1. Общий вид исходного нестационарного односкоростного
кинетического уравнения для нейтронов .
.
1.2.1. Частный случай подобных систем с постоянной плотностью
ρ = const .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.2.2. Подобные системы с произвольным профилем плотности
вещества .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.2.3. Произвольные по геометрии подобные системы
с разными, но не зависящими от координат
параметрами α и β .
.
.
.
.
1.2.4. Подобные системы с зависящими от координат
активностью и величинами α, β .
. . . . . . . .
.
.
1.2.4.1. Подобные системы, в которых от координат
зависит только активность веществ .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
1.2. Соотношения подобия, полученные из односкоростного
уравнения переноса нейтронов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Глава 1. Односкоростное кинетическое уравнение и вытекающие
из него соотношения подобия процессов нейтронной
кинетики . .
.
.
.
.
. 12
. 14
. 16
. . . . . . . .
.
.
. 16
. 17
. 18
20
. 22
. . . . 23
. . . . . 23
1.2.4.2. Подобные объекты с параметрами α и β, зависящими
от координат .
1.3. Элементы теории подобия нейтронной кинетики нестационарных
однородных систем с произвольной геометрией . .
1.3.1. Теорема подобия решений уравнения переноса нейтронов
в однородных нестационарных системах .
.
.
.
1.3.2. Формулы подобия .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Глава 2. Общее и частные решения задачи на главные собственные
значения (ГСЗ) и главные собственные функции (ГСФ),
полученные в односкоростном приближении для однородных
систем .
.
.
.
.
.
2.1. Общее решение задачи .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
. . . . . . . . . . . 24
. 26
. 26
. 27
. 30
. 30
2.2. Приближенные формулы для ГСЗ, выражающие явные
зависимости Λ от βR и λ от различных параметров . . . . . . 31
Стр.4
4
2.2.1. Приближенное решение задачи на ГСЗ, полученное
в диффузионном приближении . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2.1.1. Основные диффузионные соотношения и полученные
из них результаты, имеющие методическое
и практическое значение .
.
2.2.1.3. Область применимости теории диффузии
нейтронов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
2.2.2.1. Формула В. П. Незнамова для λ однородных шаров,
выполненных из делящихся материалов .
2.2.2.2. Явный вид приближенной универсальной зависимости
Λ(βR)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2.3. Приближенное решение задачи на ГСЗ, найденное для
однородных шаров из произвольных веществ, находящихся
в вырожденном или в близком к вырожденному
состоянии . . . . .
.
2.3.1. Зависимости ГСЗ λ однородных систем с произвольной
активностью от оптической толщины . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 31
. 32
2.2.1.2. Новые формулы, выражающие явную зависимость
коэффициента диффузии от физических величин . . 35
. 36
2.2.2. Приближенное решение задачи на ГСЗ, справедливое
в широком диапазоне изменения физических величин . . . 38
. 38
. . . . . . 40
2.3. Некоторые теоретические и численные результаты . . . . .
.
.
. 40
42
. 42
2.3.1.1. Характерные качественные зависимости ГСЗ от
оптической толщины однородного объекта с произвольными
геометрией и активностью .
.
.
.
2.3.2. Приближенное аналитическое решение задачи на ГСФ,
справедливое в случае идеального поглотителя
нейтронов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.3. Ширина особой области (ОО) в пространственном
распределении нейтронов внутри однородных
активных шаров .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.3.2. Уравнение баланса полного числа нейтронов
в системе .
.
.
.
.
.
.
. 42
2.3.1.2. Зависимости λ однородного шара от его оптической
толщины и активности, полученные с помощью
аналитических вычислений и расчетов . . . .
. 46
2.3.2.1. Вывод приближенных формул для ГСФ . . . . . . . . 52
2.3.2.2. Результаты численных расчетов . . . .
. 51
. 53
.
.
.
2.3.3.1. Приближенное аналитическое решение задачи на
ГСФ и ГСЗ .
.
. . . . . .
.
.
.
. 55
. 57
. 59
Стр.5
5
2.3.3.3. Некоторые результаты аналитических вычислений
и численных расчетов . . . . . .
2.3.3.4. Ширина особой области (ОО) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.5. Выводы и ряд замечаний . .
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.3.5. Изучение вопроса об областях применимости
полученных решений .
2.3.4. Явный графический вид универсальной функции
Λ(βR) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Глава 3. Проблема Милна в теории переноса нейтронов . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.2.1. Материалы теоретических исследований . .
3.2.2. Результаты численных расчетов. .
. . . . . . . .
3.4.1. Постановка задачи .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.2. Точное решение однообластной нестационарной задачи
Милна, справедливое при любых значениях активности h
однородной среды .
.
.
.
.
.
.
.
3.1. Стационарная однообластная задача Милна с однородным
полубесконечным инертным (h = 1) веществом .
.
.
.
.
. . . . 60
.
. 65
. 68
. 70
. 71
. 73
. 73
. . . . . 74
3.3. Поведение собственной функции вблизи границы . . . . . . 76
3.4. Точные решения нестационарной двухобластной задачи
Милна .
.
.
.
.
3.4.2. Решения, справедливые в случае надкритических
двухобластных систем из делящихся материалов . . . . . 78
3.4.3. Полное решение двухобластной задачи Милна .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.5. Некоторые графические результаты, полученные из приближенного
аналитического решения однообластной
задачи Милна . .
.
.
.
. 80
. 81
Глава 4. Оптически толстые подобные системы и поиск решений
кинетического уравнения за их пределами (в вакууме) . . . 87
4.1. Предельная теорема подобия, справедливая для однородных
систем с произвольной геометрией, и некоторые новые
результаты .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.1.2.1. Доказательство на основе однородного кинетического
уравнения и основные выводы .
.
4.1.3. Формулы подобия .
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
4.1.1. Формулировка теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.2. Доказательство теоремы .
4.1.2.2. Второй способ доказательства предельной теоремы
подобия . . . . . .
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . .
.
.
. . . . . 87
.
. 87
. 87
. . . . 89
.
4.2. Пространственное распределение нейтронов в вакууме . . . 89
4.3. Подведение итогов . .
. 89
. 94
. . . . . . 77
.
. 77
. 60
. 63
Стр.6
6
Глава 5. Нестационарная задача Милна с постоянным объемным
источником нейтронов в полубесконечной инертной
среде (точное аналитическое решение кинетического
уравнения) .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
5.2. Решение нестационарной однообластной задачи Милна
с постоянным источником . . . . . .
5.2.1. Теоретические результаты .
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. 96
5.1. Возможные типы решений неоднородного кинетического
уравнения в случае систем с предельно большой оптической
толщиной .
. . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . .
Глава 6. Приближенные аналитические решения неоднородного
интегрального уравнения переноса нейтронов в оптически
тонких системах .
.
.
.
6.1. Создаваемые источником нейтронные поля внутри и за
пределами сферических систем .
. . . . . . . .
.
.
6.1.1.1. Вывод формул .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 96
97
. 97
5.2.2. Результаты численного расчета . . . . . . . . . . . . . . 99
. . . . . . . .
.
.
.
. 101
. 101
6.1.1. Приближенные аналитические решения стационарного
интегрального уравнения переноса нейтронов
в однородных оптически тонких активных шарах . . . . 102
.
6.1.1.2. Результаты аналитических вычислений и численных
расчетов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1.2.1. Приближенные формулы для нейтронной плотности
внутри оболочки .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1.3. Результаты аналитических вычислений . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1.2.2. Многообластные сферически-симметричные
системы .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.3. Нейтронные характеристики шара и оболочки, выполненных
из чистого изотопа 238Pu (результаты численных
расчетов)
6.3.2. Результаты, полученные для оболочки из 238Pu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.3.1. Нейтронные характеристики шаров из 238Pu с радиусами
R = 0,07; 0,1; 0,13 см .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1.2. Некоторые решения нулевого порядка и численные
данные . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
6.2. Приближенное аналитическое решение задачи с постоянным
объемным источником нейтронов внутри оптически
тонкой пластины .
.
.
.
. 102
. 108
108
. 108
. 109
. 109
. 111
. . . . 113
.
.
.
. 114
. 116
Стр.7
7
Глава 7. Результаты исследований, основанных на однородных
спектральных уравнениях переноса нейтронов . . . . . . . 118
7.1. Точные формулы подобия, полученные из общего спектрального
кинетического уравнения Больцмана .
.
7.1.1.1. Общая структура точного кинетического
уравнения .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.1.2. Формулы подобия .
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.1.1. Точное нестационарное спектральное уравнение
переноса нейтронов в профильных системах и вытекающие
из него следствия . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
. 118
. 118
. 118
7.1.1.2. Следствия, вытекающие из фундаментального
свойства инвариантности точного кинетического
уравнения по отношению к преобразованиям
подобия . . . . . .
.
.
. . . 120
. . . . . 123
7.1.2.1. Связь между пространственными распределениями
частиц в подобных нестационарных объектах с профилями
плотности . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2.3. Доказательство теоремы подобия профильных
критических систем с произвольными ядерно-физическими
свойствами . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.2.1. Спектр быстрых и надтепловых нейтронов . . . . . .
7.2.2. Спектр тепловых и эпитепловых нейтронов . . .
.
7.2.3. Определение ГСЗ λ и Кэф .
.
.
.
.
.
.
.
7.3. Некоторые результаты численных расчетов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.2. Приближенные решения спектрального уравнения переноса
нейтронов в водородосодержащих однородных системах
с большой оптической толщиной .
.
.
. 123
7.1.2.2. Формулы подобия для ГСФ, ГСЗ и вид общего
решения спектральной задачи на задачи на
ГСЗ λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
. 125
. 126
. 127
. . . 131
.
Глава 8. Характеристики однородных и профильных систем,
в которых от координат зависит только активность
(новые результаты, полученные в односкоростном
приближении и из упрощенного спектрального
уравнения переноса нейтронов) . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1. Результаты, справедливые в односкоростном приближении
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8.1.1. Развитие процессов нейтронной кинетики во времени .
8.1.2. Исследования, выполненные с использованием свойства
инвариантности кинетического уравнения по
отношению к преобразованиям подобия . . . .
.
.
.
. . . . . . 137
. 138
. 139
. 135
. 135
Стр.8
8
8.1.2.1. Класс подобных профильных систем, найденный
из нестационарного уравнения переноса
нейтронов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8.1.2.2. ГСЗ и ГСФ подобных профильных систем .
.
.
8.2.1. Общее решение задачи на ГСЗ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8.2. Аналитические решения задачи на ГСЗ, полученные из
безразмерного односкоростного кинетического
уравнения .
.
.
.
.
.
.
.
8.2.2. Приближенные аналитические решения задачи на ГСЗ
явного вида .
.
8.3.2. О синхронности выхода решений безразмерного
нестационарного кинетического уравнения на ГСФ
и ГСЗ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 139
. 142
. 143
. . . . . . 143
.
8.3. Эволюция нейтронных процессов во времени . . . . . . . . 145
8.3.1. Уравнение баланса полного количества нейтронов в
системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
.
.
. 146
8.3.3. Приближенная формула подобия для логарифмических
производных и область ее применимости . . . .
8.4. Метод нахождения приближенного решения упрощенного
спектрального уравнения переноса нейтронов в активных
профильных системах .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . 147
. . . . 148
Глава 9. Обобщение результатов исследований, основные выводы
и замечания .
. . . . .
.
.
.
.
152
9.1. Исходное односкоростное кинетическое уравнение . . . . . 152
9.2. Безразмерные односкоростные уравнения переноса частиц
и формулы подобия для функций распределения нейтронов
в нестационарных профильных системах .
. . . 153
9.2.1. Интегродифференциальное безразмерное уравнение
переноса нейтронов .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.2.3. Уравнение баланса полного количества нейтронов
в системе .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.2.4.1. Частный случай объектов с подобной
геометрией .
.
.
.
.
. .
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . 153
9.2.2. Дифференциальное уравнение для нейтронной плотности
и векторного потока нейтронов . . . . . . . . . . 154
. . . . . . . . . . . . 154
9.2.4. Вывод формулы подобия для функции распределения
нейтронов внутри нестационарных профильных
объектов .
.
.
.
9.2.4.2. Формула подобия общего вида для функции распределения
нейтронов в нестационарных профильных
системах .
.
.
.
.
.
.
. 155
. . . . . . . . . . . 156
. 156
. 144
Стр.9
9
9.3. Общее решение задачи на ГСЗ и ГСФ, полученное в односкоростном
приближении на основе безразмерного уравнения
переноса нейтронов в профильных системах .
9.3.1. Вывод основных общих формул .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
9.3.2. Некоторые предельные решения задачи о критических
параметрах активных однородных и профильных
шаров .
9.4. Формулы подобия, имеющие место в односкоростном
приближении . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.4.1. Формула подобия для ГСФ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
9.4.2. Общая формула подобия для главных собственных
чисел уравнения переноса нейтронов в профильных
системах . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
. . . . .
.
9.5. Решение упрощенного спектрального уравнения переноса
нейтронов в нестационарных профильных системах .
9.5.1. Основные результаты .
.
9.5.2. Упрощающие предположения, принятые для решения
односкоростных и спектральных задач . . . . . . .
.
9.6.1. Общее решение задачи на ГСЗ .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.6.2. Частные решения задачи на ГСЗ для активных профильных
шаров, справедливые в диффузионном
приближении . .
.
.
.
. 157
. . . . . 157
. 159
. 161
. 161
. 161
. 162
. . . . 162
.
9.6. Новые результаты аналитических исследований, обобщенные
на спектральный случай . .
.
.
.
.
. 164
. 165
. . . . . . 165
. 165
9.6.3. Модернизированные формулы В. П. Незнамова,
предназначенные для аналитических вычислений ГСЗ Λ
и λ профильных шаров из делящихся материалов .
9.6.4. Формулы подобия для ГСЗ и ГСФ . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9.6.5.2. О приближенном характере численных решений
упрощенного спектрального уравнения переноса
нейтронов в профильных системах .
.
Заключение . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
166
. . . . 166
9.6.5. Некоторые замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.6.5.1. Замечание по поводу средних параметров, входящих
в полученные выше формулы .
.
. . . 167
. 167
. . . . . . . .
Приложение А. Теорема Н. А. Дмитриева о сведении сферической
задачи с постоянным пробегом нейтронов к плоской
и ее применение .
.
А.1. Доказательство теоремы .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. 169
. 171
. . . . . . . 171
Стр.10
10
А.2. Один из простых примеров использования теоремы
Н. А. Дмитриева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Приложение Б. Вывод приближенных формул для случая
однородных шаров из произвольных материалов, находящихся
в вырожденном и близком к вырожденному состояниях .
.
.
.
.
.
.
.
.
. 173
Б.1. Метод нахождения аналитических решений . . . . . . . . . . . . . 173
Б.2. Аналитические решения, имеющие место в случае вырожденного
ядра интегрального уравнения переноса нейтронов . . . . . . 176
Б.2.1. Решения, справедливые внутри однородных шаров .
Б.2.2. Формулы, предназначенные для вычислений λ и Кэф . . . . . . 181
Б.2.3. Поле нейтронов, вылетевших из шара .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Б.3.1. Поле нейтронов внутри активного шара . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Б.3. Аналитические решения внутри глубокоподкритичных шаров
из делящихся материалов .
.
.
.
Б.4. Некоторые графические результаты вычислений и численных
расчетов . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Б.3.2. Формулы для ГСЗ λ, полученные с использованием теории
возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. 176
. 182
. 184
. . . . . . . 184
.
.
Приложение В. Нейтронные характеристики однородных шаров
из чистых (без примесей) изотопов 238Pu и 239Pu . . . .
В.2. Результаты, полученные из односкоростного кинетического
уравнения .
В.2.1. Одногрупповые нейтронные константы 238Pu и 239Pu . . . . . . 191
В.2.2. Некоторые решения задачи на ГСЗ .
В.1. Результаты расчетов «Монте-Карло» и вычислений физических
величин по точным формулам подобия . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Приложение Г. Нейтронная кинетика двумерных и трехмерных
систем из плутония-238 и плутония-239 .
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Г.1. Нейтронные характеристики однородного вытянутого
эллипсоида вращения из 239Pu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Г.2. Результаты аналитических вычислений и численных расчетов,
полученные для 3D-систем из изотопов 239Pu и 238Pu .
Г.2.1. Однородный куб из 239Pu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 190
. 190
. 191
. 192
В.2.3. Определение погрешности решения одной из нестационарных
задач .
.
.
.
Г.2.2. Значения ГСЗ λ для профильных кубов из 239Pu, полученные
с помощью формулы подобия и расчетов на спектральных
константах ENDF B-6 .
.
. . . 193
. 196
. 197
. 198
. . . . 198
. 198
.
. 187
. 188
Стр.11
11
Г.3. Двухобластные кубы из 239Pu и 238Pu с профилем плотности
(решение односкоростных задач на ГСЗ и ГСФ) .
Г.3.1. Решение задачи на ГСЗ λ .
.
.
.
.
.
.
Г.3.2. Решение задачи на ГСФ . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Приложение Д. Приближенные аналитические решения
однообластной задачи Милна с активностью среды h ≥ 1 . . . .
Д.1. Алгоритм поиска приближенных аналитических решений . .
Д.2. Приближенные аналитические решения внутри среды .
.
Д.3. Приближенные аналитические решения, справедливые за
пределами полубесконечной однородной среды .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Д.4. О расходимости аналитических решений на плоской границе
между веществом и пустотой . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Приложение Е. Один из способов вывода формул для ГСЗ и ГСФ,
справедливых в случае профильных гетерогенных систем .
.
Список литературы .
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
.
.
.
.
. 200
. 201
. 202
. . 205
.
. 205
206
. 208
. 209
. 210
. 212
Стр.12
209
nz h ⎣⎦+ γ −γ + e
[1] ⎡⎤ ⎡ Ei( )
2
(, 1)
≥=− γ −γ + γ −
1
Ei( ) ( 1)e
jz h
ex
= ⎡⎤ ⎡⎤ ⎪
⎪⎣⎦ ⎢⎥ ⎬⎣⎦ ⎪
Ve
Ei
⎧z
22
⎪ 0 2
⎨
() ( 1)
⎩⎭
γ −γ + γ− − +
3
jz h jex
−γ
− ≥= ≥=z h
e
[1]
ex(, 1) (, 1)
−γ
+ ≥=
[1]
1
(1)
2
γγ− γ 3
− −γEi() . (Д.26)
6
⎫
0
h 1 ,zh
γ= −
[1] (, 1) 0,
(Д.25)
ex 42 ,
z
−γ−γ ⎤
⎣
⎦ (Д.24)
Д.4. О расходимости аналитических решений на плоской
границе между веществом и пустотой
В параграфе 3.3 показано, что для логарифмической производной
от нейтронной плотности вблизи плоской границы х = 0 полубесконечной
среды с пустотой справедлива следующая точная
формула:
nx dx →+
⎛⎞ β=−β⎜⎟
dn x
⎝⎠ 2
1( )
()
решение
⎛⎞ β
[1]
⎜⎟ =−β = −
⎜⎟ +z0
⎝⎠ 2 1
nx
1( 2z0
()
dn x)
dx
[1]
ln
x→+0
x
β
1,704
ln .βx
(Д.28)
x
0
Логарифмической расходимостью обладает и приближенное
ln .
x
(Д.27)
Стр.210
210
Приложение Е
ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ВЫВОДА ФОРМУЛ
ДЛЯ ГСЗ И ГСФ, СПРАВЕДЛИВЫХ В СЛУЧАЕ
ПРОФИЛЬНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ
⎜⎟ βπ∫d f
для функции
∂ζ ⎢⎥ 4
⎝⎠ ⎣⎦
Ω ⎢⎥ζ Ω+ Λ − Ω τ (9.31)
∂ζ
∂ζ
∂α
()
ff ,
(
В качестве
функцию
A ()ζ
ζΩ = τ ζ Ω
,, )e−Λτ
)
(
,
(Е.1)
величину Λ определим способом, отличающимся от использованного
выше (см. параграф 9.3.1).
возьмем ступенчатую (кусочно-постоянную)
∑
AA (
θ ii 1 ()0
ζ − ζ =
( ) 00)ii i
ζ =θζ − ζ
i
A ( ) 0,
∂ζ
а в точках 0 ,iζ
имеются разрывы производных
0
d () () .
d i
θζ − ζ = δ ζ − ζ =±∞
ζ
ii
∫∫ ∑∑ ζθ ζ − ζ = ζ =
dA d A θ ζ − ζ =ii iA d
ζζ = ζ
(
) () () 1.
ii
∫
0i
∫ d
ii
0
в том числе и на внешней границе 0 1iζ =
∂ζ
=
и соответственно
(Е.2)
с независящими от координат амплитудами А0i, у которой внутри
всех интервалов
(Е.3)
системы,
(Е.4)
Отметим, что профильные функции отнормированы условием
00 0
(Е.5)
fZ f ζ Ω= ω ζ ω,,(⎡⎤) () ( ) (),
⎛⎞ AZB ζ
Приняв за основу кинетическое уравнение
Стр.211
211
С учетом (Е.2) и (Е.3) получаем значительно более простое,
чем (9.31), уравнение переноса нейтронов в неоднородных гетерогенных
системах
⎜⎟ ζ Ω+Λ ζ Ω= ω ζ ω
π
⎛⎞
Ω ∂
⎝⎠
∫d f
∂ζ () () ( ) (),, ,
ZB ζ
fZf
ψξ= Ω = ζ Ω Λ − τ t( )
⎝⎠
⎛⎞λt ⎡⎛⎞ ⎤
r ef
⎜⎟
R
)exp⎢⎜⎟ ⎥,
β
α
⎣⎝⎠ ⎦
λ= β Λ β − () .Vα⎤
β ⎥
RR R
⎡
⎢
⎣
онной формуле
λ= β ⎢
R
⎣ tg⎢ ϕβR
( )
()
⎦
− β R
α⎤V
⎥
⎥
⎦
при значениях α= 0,7 1/см, β= 1,2 1/см, β= R = 3 см и соR
3,6,
ответствующего численного расчета.
Обратим внимание на одну тонкость. Расчет можно проводить
в постановке со значениями параметров β и ,α входящими в выражение
(Е.9).
Приведем результаты аналитических вычислений и численного
расчета.
Величина λ, найденная по формуле (Е.9), составила λ =
= 27,9639⋅107 1/с, а при численном решении односкоростного кинетического
уравнения получилось значение λрасч = 27,9547⋅107 1/с.
Таким образом, реализовалась погрешность определенной в диффузионном
приближении формулы (Е.9)
расч
δ=
λ−λ
λ
= 0,033 %.
(Е.10)
4
Воспользовавшись связью величин λ и Λ
,(,
.
(Е.6)
(Е.7)
приходим к следующему результату, полученному в главе 9 другим
способом:
(Е.8)
Сравним результаты аналитических вычислений по диффузи⎡
ϕβR
.
(Е.9)
Стр.212
212
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Донской Е. Н., Ельцов В. А., Житник А. К. и др. Метод Монте-Карло
во ВНИИЭФ // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование
физических процессов. 1993. Вып.2. С. 61–64.
2. Шагалиев Р. М., Гребенников А. Н., Артемьев А. Ю., Будников
В. И. Развитие основных методик и программ ИТМФ // Журнал
Атом. 2011, № 50–51.
3. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Издательство
Главного управления по использованию атомной энергии при Совете
Министров СССР, 1960.
4. Белл Д., Глесстон С. Г. Теория ядерных реакторов. М.:
Атомиздат, 1974.
5. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Незнамов В. П. Теория подобия
в рамках односкоростной нейтронной кинетики квазистационорных
систем // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика.
2008. Вып. 1. С. 56–66.
6. Robert Serber The Los Alamos Primer, The First Lecture on
How To Build Atomic Bomb. Edited with an introduction by Richard
Rhodes. ISBN: 0520075765. University of California Press, 1992.
7. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А.А. Элементы
теории подобия нестационарных однородных систем в односкоростной
нейтронной кинетике // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная
физика. 2008. Вып. 2. С. 18–20.
8. Бабичев Н.Б., Лутиков И. В. Решение односкоростной задачи
по нейтронной кинетике на собственные значения и собственные
функции, справедливое в классе односвязных объектов с невогнутыми
внешними поверхностями // ВАНТ. Сер. Теоретическая и
прикладная физика. 2011. Вып. 1–2. С. 61–64.
9. Бабичев Н. Б., Беженцев Б. В., Бондарев П. С., Забусов П. В.
Собственные значения односкоростного уравнения переноса нейтронов
в однородных системах // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная
физика. 2009. Вып. 3. С. 68–70.
10. Романов Ю. А. Критические параметры реакторных систем.
Точные решения односкоростного кинетического уравнения и их
Стр.213
213
использование для решения диффузионных задач (усовершенствованный
диффузионный метод). М.: Госатомиздат, 1960. С. 3–26.
11. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А. А. Нейтронная
кинетика однородных шаров из плутония-238 и плутония-239,
находящихся в произвольных состояниях // ВАНТ. Сер. Теоретическая
и прикладная физика. 2014. Вып. 3. С. 46–60.
12. Бабичев Н. Б., Беженцев Б. В., Бондарев П. С. Новые формулы
для вычисления коэффициентов диффузии нейтронов // ВАНТ.
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2008. Вып. 3. С. 44–48.
13. Бабичев Н. Б. К вопросу о применимости диффузионной
теории в случае среды с высокой активностью // ВАНТ. Сер. Теоретическая
и прикладная физика. 2015. Вып. 1. С. 3–5.
14. Peierls R. Critical conditions in neutron multiplication // Proc.
Cambridge Philos. Soc. 1939. Vol. 35. Part. 4. P. 610–615.
15. Заграфов В. Г. Секторный метод расчета критических параметров
тел произвольной формы из делящегося материала // ВАНТ.
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 1993. Вып. 3. С. 11–14.
16. Ахиезер А., Померанчук И. Некоторые вопросы теории ядра.
Л.: Оборонгиз, 1950.
17. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Незнамов В. П. Некоторые
решения вырожденного и близкого к вырожденному уравнений
переноса нейтронов // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика.
2009. Вып. 1. С. 3–10.
18. Бабичев Н. Б., Забусов П. В., Лутиков И. В., Незнамов В. П.
Приближенное аналитическое решение задачи на главные собственные
значения односкоростного кинетического уравнения переноса
нейтронов в случае однородного шара из произвольного вещества
при любых его оптических толщинах // ВАНТ. Сер. Теоретическая
и прикладная физика. 2009. Вып. 3. С. 14–17.
19. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Нейтронные поля внутри
и за пределами однородных глубокоподкритичных шаров // ВАНТ.
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2015. Вып. 1. С. 6–19.
20. Бабичев Н. Б., Забусов П. В., Лутиков И. В., Незнамов В. П.
Характерные зависимости главных собственных значений кинетического
уравнения для нейтронов от оптической толщины произвольной
однородной системы // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная
физика. 2010. Вып. 1–2. С. 6–11.
Стр.214
214
21. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А. А. Кинетика
однородных систем, выполненных из поглощающих нейтроны
и инертных веществ // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная
физика. 2014. Вып. 3. С. 70–75.
22. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А. А. Аналитические
решения задач по нейтронной кинетике однородных шаров
из произвольных материалов // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная
физика. 2014. Вып. 3. С. 76–83.
23. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Оценка ширины особой
области в пространственном распределении нейтронов внутри однородных
активных шаров // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная
физика. 2015. Вып. 1. С.20–24.
24. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А. А. Нейтронная
кинетика однородных шаров, состоящих из плутония-238 и
плутония-239 // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика.
2014. Вып. 3. С. 46–60.
25. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А. А. Нейтронная
кинетика двумерных и трехмерных систем из плутония-238 и плутония-239
// ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2015.
Вып. 1. С. 30–34.
26. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Критические параметры
однородных шаров, состоящих из плутония-238 и плутония-239 //
ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2014. Вып. 3.
С. 28–35.
27. Howerton R. J., Dye R. E., Perkins S. T. Evaluated Nuclear Data
Library(ENDL). Report UCRL-50400, vol. 4, rev. 1, appendix C. 1982.
28. Herman M., Trkov A. ENDF-6 Format Manual, Data Formats
and Procedures for the Evaluated Nuclear Data Files ENDF/B-VI and
ENDF/B-VII. BNL-90365. National Nuclear Data Center, Brookhaven
National Laboratory, Upton, New York 11973-5000, July 2010.
29. Solution of an initial-value problem in linear transport theory:
monoenergetic neutrons in a slab with infinite reflectors. by Perry A.
Newman and Robert L. Bouden Langley Research Center (the material
presented herein was thesis entitled “Time-Dependent Monoenergetic
Neutron Transport in a Finite Slab With Infinite Reflectors“ submitted
in partial fulfillment of the requirements the degree of Doctor of Philosophy
in Physics “), Virginia Polytechnic Institute, Blacksburg, Virginia,
December 1969 by Perry A. Newman.
Стр.215
215
30. Bouden, Robert L., Jr.: Time-Dependet Solution of the Neutron
Transport Equation in a Finite Slab. Ph. D. Thesis, Virginia Polytech.
Inst., Jan. 1963.
31. Bouden, Robert L.; and Williams, Clayton D. Solution of the
Initial-Value Transport Problem for Monoenergetic Neutrons in Slab
Geometry // J. Math. Phys. Vol. 5, N. 11, Nov. 1964. P. 1527–1540.
32. Newman, Perry A.; end Bouden, Robert L.: Solution of the Initial-Value
Neutron- Transport Problem for a Slab With Infinite Reflectors
// J. Math. Phys. Vol. 11, N. 8 Aug. 1970. P. 2445–2458.
33. Yamagishi T. Solutions of Monoenergetic Time Dependent
Neutron Transport Equation in Slab Geometry // J. Nucl. Sci. and Technology.
Vol. 10 (5). P. 284–291. 1973.
34. Schwarzschild K. // Math. Phys. Klasse. 1906. Vol. 41.
35. Сase K. M. // Rev. Mod. Rhys. 1957. Vol. 29. P. 65.
36. Placzek G, Seidel W Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 550.
37. Placzek G Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 556.
38. Mark C Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 558.
39. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Незнамов В. П. Особенности
односкоростной кинетики нейтронов в оптически толстых однородных
системах и решение квазистационарного варианта задачи
Милна // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2008.
Вып. 2. С. 21–31.
40. Бабичев Н. Б., Бондарев П. С. Поле нейтронов в надкритической
активной системе из двух соприкасающихся полубесконечных
сред // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2008.
Вып. 2. С. 32–37.
41. Бондарев П. С. Решение общей задачи Милна с двумя средами,
хотя бы одна из которых размножает нейтроны // ВАНТ. Сер.
Теоретическая и прикладная физика. 2011. Вып. 1–2. С. 70–76.
42. Бабичев Н. Б., Бондарев П. С., Незнамов В. П. Теория подобия
в нейтронной кинетике и ее использование для решения прикладных
задач РФЯЦ-ВНИИЭФ // УФН. 2011. Т. 181, № 9. С. 953–963.
43. Бабичев Н. Б., Бондарев П. С. Решение нестационарной
двухобластной задачи Милна в теории переноса нейронов // ВАНТ.
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2012. Вып. 1. С. 25–29.
44. Case K.M., Zweifel P.F. Linear Nransport Theory. Reading,
Mass. Addison-Wesley Publ. Co., 1967.
Стр.216
216
45. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир,
1972.
46. Winer N, Hopf E Berliner // Ber. Math. Phys. Klasse. 1931. P. 696.
47. Бабичев Н. Б., Колобянина Н. В., Лутиков И. В., Мжачих
С. В., Севастьянов А. А. Верификация блока расчета нейтронной
кинетики разностной расчетной методики ARCTUR на основе
сравнения численных и точных решений задачи Милна // ВАНТ.
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2009. Вып. 2. С. 3–13.
48. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Особенности пространственного
распределения нейтронов вблизи границ // ВАНТ. Сер.
Теоретическая и прикладная физика. 2008. Вып. 2. С. 32–37.
49. LeCaine // J. Phys. Rev. 1947. Vol. 72. P. 564.
50. LeCaine // J. Can. Journ. of research. 1950. Vol. 28. P. 242.
51. Бабичев Н. Б., Забусов П. В. Приближенные аналитические
решения задачи Милна в теории переноса нейронов // ВАНТ. Сер.
Теоретическая и прикладная физика. 2009. Вып. 1. С. 11–16.
52. Бабичев Н. Б., Лутиков И. В., Севастьянов А. А. Нестационарная
задача Милна с постоянным объемным источником нейтронов
в полубесконечной инертной среде // ВАНТ. Сер. Теоретическая
и прикладная физика. 2008. Вып. 3. С. 35–38.
53. Perry R. T. and Wilson W. B. Neutron Production from (α, n)
Reactions and Spontaneous Fission in ThO2, UO2, and (U,Pu)O2 Fuels.
Los Alamos National Laboratory report LA-8869-MS (June 1981). фоны
54. Lederer C. M. and Shirley V. S. Eds., Table of Isotopes, 7th ed.
(John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978). тепло
55. Firestone R. B., Chu S. Y. F., Shiley V. S. Table of Isotopes
CD-ROM // Wiley-Interscience, 8-th Edition, Ver. 1.0, March 1996. тепло
56. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Об эффекте саморазогрева
плутония-238 в простых по геометрии сферически-симметричных
системах // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2014.
Вып. 3. С. 85–88.
57. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Нейтронные поля внутри
простых по геометрии сферически-симметричных систем, создаваемые
нейтронами спонтанных делений изотопа 238Pu // ВАНТ,
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2015. Вып. 1. С. 25–29.
58. Бабичев Н. Б., Севастьянов А. А. Соотношения подобия,
полученные из неоднородного кинетического уравнения для ней
Стр.217
217
тронов // ВАНТ, Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2015.
Вып. 2. С. 56–60.
59. Климов В. Н. Кинетическое уравнение для примесей // Теория
вероятностей и ее прменение. Т. 2. Вып. 2. 1957.
60. Бабичев Н. Б., Бондарев П. С., Незнамов В. П. Уравнения
переноса нейтронов: Учебное пособие по теоретической нейтронной
кинетике для студентов и молодых специалистов. Институт
теоретической и математической физики (ИТМФ) РФЯЦ-ВНИИЭФ.
Саров. 2010.
61. Судэк Г. Материалы комиссии атомной энергии США:
ядерные реакторы (том 1, физика ядерных реакторов), глава 4 (Статистика
реактора, теория и общие результаты) М.: Изд-во иностр.
лит., 1956.
62. Бабичев Н. Б., Морозов В. Г., Севастьянов А. А. Приближенный
метод определения спектра нейтронов и других характеристик
в оптически толстых водородосодержащих системах // ВАНТ.
Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2008. Вып. 3. С. 39–43.
63. Лалетин Н. И. Дифференциальные уравнения для термализации
нейтронов в бесконечных однородных средах. М.: Атомная
физика, 1963. Т. 14. Вып. 5. С. 402.
64. Лалетин Н. И. Спектры медленных нейтронов в воде с поглотителями.
Н. И. Лалетин. М.: Атомная физика, 1964. Т. 16. Вып. 5.
С. 142.
65. Коген Е. Экспериментальные реакторы и физика реакторов //
Доклады иностранных ученых на Международной конференции по
мирному использованию атомной энергии. 1955 г., г. Женева. М:
ГосТехиздат, 1956. С. 257.
66. Beyster J. R. // Nucl. S. Eng. 1961. Vol. 9. P. 168.
67. Nelkin M. S. // Phys.Rev. 1961. Vol. 119. P. 741.
68. Голдман Д. Т. // Термализация нейтронов. 1964. С. 44.
69. Бабичев Н. Б. Некоторые вопросы теоретической нейтронной
кинетики // ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика.
2015. Вып. 1. С. 41–52.
70. Бабичев Н. Б. Усовершенствование теории подобия процессов
нейтронной кинетики и результаты аналитических исследований
// ВАНТ. Сер. Теоретическая и прикладная физика. 2015. Вып. 2.
С. 45–55.
Стр.218
Научное издание
Бабичев Николай Борисович
Теория подобия нейтронно-кинетических процессов
Монография
Редактор Н. П. Мишкина
Компьютерная подготовка оригинала-макета
Н. В. Мишкина
Подписано в печать 09.07.2015. Формат 60×90/16
Печать офсетная. Усл. печ. л. ~12,6. Уч.-изд. л. ~10
Тираж 300 экз. Зак. тип. 28-2015
Отпечатано в ИПК ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»
607188, г. Саров Нижегородской обл.
Стр.219