ФГУП «Российский федеральный ядерный центр –
Всероссийский научно-исследовательский институт
экспериментальной физики
В. Е. Шемарулин
Дифференциально-геометрические свойства
уравнений одномерной изэнтропической
газовой динамики
Монография
Саров
2015
Стр.2
УДК 517.95, 514.86
ББК 22.161.6, 22.151
Ш46
Рецензенты: зав. кафедрой прикладной математики ФБГОУ ВПО
МГТУ «СТАНКИН» доктор физ.-мат. наук, профессор Л. А. Уварова,
доктор физ.-мат. наук А. Б. Надыкто
Шемарулин В. Е.
Ш46 Дифференциально-геометрические свойства уравнений одномерной
изэнтропической газовой динамики : монография / В. Е. Шемарулин.
– Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015. – 199 с., ил.
ISBN 978-5-9515-0302-2
УДК 517.95, 514.86
ББК 22.161.6, 22.151
ISBN 978-5-9515-0302-2
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015
© В. Е. Шемарулин, 2015
Стр.3
Содеpжание
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Предварительные сведения об уравнениях газовой динамики
7
11
23
1.1
Дифференциальные уравнения газовой динамики . . . . . . . 23
1.2 Установившиеся течения. Интеграл Бернулли . . . . . . . . . 26
1.3 Безвихревые изэнтропические течения. Интеграл Коши–Лагранжа.
Уравнение для потенциала скоростей . . . . . . . . . 27
1.4 Одномерные изэнтропические течения с плоскими волнами.
Инварианты Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Глава 2. Высшие симметрии и законы сохранения уравнений одномерных
плоских изэнтропических течений политропного газа 33
2.1 Основные понятия и конструкции теории высших симметрий
и законов сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Линеаризация уравнения для потенциала скоростей преобразованием
Лежандра. Сведение к уравнению Эйлера–Дарбу Yn 45
2.3 Внутренние координаты на Yn,∞ и некоторые формулы для
операторов полного дифференцирования . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Алгебра контактных симметрий уравнения Yn и его операторы
рекурсии первого порядка; n = 0,−1 . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Симметрии высших порядков ϕ ∈ C∞(Jl), l ≥ 2 уравнения
Yn; n = 0,±1,±2, . . . ,± (l −1),−l . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Описание алгебры SymYn высших симметрий уравнения Yn;
n ∈ Z
2.7 Описание группы локальных законов сохранения для уравнения
Yn; n ∈ Z
Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8 О симметриях и законах сохранения уравнения Yn при n ∈ Z
3
Z. Фундаментальный закон сохранения . . . . 75
Z 81
Стр.4
4
СОДЕPЖАНИЕ
2.9 Базис локальных законов сохранения для системы уравнений
одномерной газовой динамики. О гамильтоновых симметриях
системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Глава 3. Структура алгебр высших симметрий и локальные эквивалентности
уравнений Эйлера–Дарбу
95
3.1 Линейные базисы алгебры NSymYn. Некоторые изоморфизмы 97
3.2 Формулы коммутирования для операторов рекурсии. Разложение
NSymYn в прямую сумму нечетномерных неприводимых
sl2-модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3 Об идеалах и подалгебрах в SymYn и NSymYn. Каноническая
градуировка алгебры NSymYn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4 Размерность пространств R(u)-инвариантных решений уравнения
Yn; R(u) ∈ NSymYn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5 Условие изоморфности алгебр SymYn и SymYm и локальной
эквивалентности уравнений Yn и Ym, n,m ∈ Z
3.7 Представление алгебры [U(L)/(∆n)]L линейными обыкновенными
дифференциальными операторами . . . . . . . . . . . . 114
3.6 Описание полного множества локальных эквивалентностей
уравнений Yn и Ym; n,m ∈ Z
3.8 Описание полного множества изоморфизмов g алгебр NSymYn
и NSymYm, удовлетворяющих условию g(NSymcYn) = NSymcYm
в случае n,m ∈ Z
Z; n,m = 1
2(±i−1), i = 2, 4, 6, . . . . . . . . . . 121
Глава 4. Локальные законы сохранения для одномерного волнового
уравнения
125
4.1 Определяющая система уравнений для производящих функций
законов сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Отображение Грина. Общее решение определяющей системы
уравнений. Описание пространства локальных законов сохранения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Два следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Глава 5. Базис контактных законов сохранения полиномиального
типа в одномерной газовой динамике
137
5.1 Описание пространства контактных законов сохрaнения уравнения
для потенциала скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 Операторы рекурсии и базис контактных законов сохранения
полиномиального типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Z. Примеры
нелокальных эквивалентностей уравнений Yn и Ym . . . . . . 105
Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Стр.5
СОДЕPЖАНИЕ
5
5.3 Дифференциальные соотношения для одного класса специальных
полиномов. Общие решения дифференциальных уравнений,
определяющих эти полиномы . . . . . . . . . . . . . . 146
Глава 6. Фундаментальная система решений уравнений одномерных
плоских изэнтропических течений политропного газа
149
6.1 Фундаментальная система однородных полиномиальных решений
линейного уравнения для потенциала Лежандра . . . 150
6.2 Решение задачи Коши с аналитическими начальными данными
на плоскости переменных годографа . . . . . . . . . . . . 151
6.3 Биномиальные представления для коэффициентов однородных
полиномиальных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Однородные полиномиальные решения и операторы рекурсии 154
6.5 Примеры газодинамических течений, определяемых фундаментальными
полиномами низших степеней . . . . . . . . . . 155
Глава 7. Операторы типа Дарбу в одномерной газовой динамике 159
7.1 Оператор Дарбу в теории одномерных течений политропного
газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2 Уравнения одномерной изэнтропической газовой динамики
на плоскости переменных годографа . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3 Формальная связь уравнений в переменных Эйлера и Лагранжа.
Оператор типа Дарбу и ассоциированный с ним оператор
рекурсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4 Групповая природа оператора типа Дарбу. Связь с галилеевской
инвариантностью уравнений газовой динамики . . . . . 174
Заключение
Список литературы
177
181
Стр.6
194
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
162. Дарьин Н. А. Алгебра операторов симметрии для инвариантного уравнения
нелинейного переноса // ТМФ. 1995. Т. 105, № 3. С. 364 – 370.
163. Деревенский В. П. Разрешимость в квадратурах линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений третьего порядка в присоединенном представлении
алгебр Ли // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27,№4. С. 699 – 702.
164. Деревенский В. П. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
третьего порядка в присоединенном представлении простых алгебр Ли //
Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 10. С. 1675 – 1683.
165. Деревенский В. П. Матричные линейные дифференциальные уравнения второго
порядка // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 11. С. 1925 – 1926.
166. Деревенский В. П. Общий тип линейных дифференциальных уравнений третьего
порядка в присоединенном представлении разрешимых алгебр Ли //
Изв. вузов. Сер. Математика. 1996. № 3. С. 29 – 37.
167. Деревенский В. П. Системы матричных линейных дифференциальных уравнений
первого порядка // Матем. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 1. С. 63 – 75.
168. Дубров Б. М., Комраков Б. П. Симметрии вполне интегрируемых распределений
// Докл. РАН. 1998. Т. 360, № 2. С. 151 – 153.
169. Дымников В. П. Об общих представлениях интегральных законов сохранения
нелинейных дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 2002. Т. 382,
№ 2. С. 173 – 175.
170. Зильберглейт Л. В. Симметрии и законы сохранения задач Минковского и
Александрова // ДАН СССР. 1985. Т. 281, № 2. С. 270 – 275.
171. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Симметрии нелинейных управляемых
систем // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 2. С. 155 – 157.
172. Киселев А. В. Классические законы сохранения для эллиптического уравнения
Лиувилля // Вестник МГУ. Сер. Физика. Астрономия. 2000. № 6. С. 11 –
13.
173. Магадеев Б. А. О групповой классификации нелинейных эволюционных
уравнений // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5. Вып. 2. С. 141 – 156.
174. Маликова Д. Р., Эскин Л. Д. Приближенные симметрии уравнения конвективного
теплопереноса и их приложения // Дифференц. уравнения. 1998.
Т. 34, № 10. С. 1385 – 1393.
175. Сенашов С. И. Группы Ли и классификация упругих материалов // Докл.
РАН. 1994. Т. 335, № 6. С. 712 – 713.
176. Тимошин М. И. Касательные симметрии обыкновенных дифференциальных
уравнений // Матем. моделирование. 1995. Т. 7, № 5. С. 76 – 77.
Стр.195
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
195
177. Устинов М. Д. Преобразование и некоторые решения уравнений движения
идеального газа // Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1966.
№3. С. 68 – 74.
178. Ферапонтов Е. В. Преобразования по решению и их инварианты // Диф.
уравнения. 1989. № 7. С. 1256 – 1265.
179. Юмагужин В. А. Локальная классификация линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений // Докл. РАН. 2001. Т. 377, № 5. С. 605 – 607.
180. Geometry in Partial Differential Equations / Ed. by A. Prastaro and
Th. M. Rassias. Singapore: World Scientific, 1994.
181. Interplay between Differential Geometry and Differential Equations / Ed. by
V. V. Lychagin. American Mathematical Society Translations. Series 2. Vol. 167.
1995.
182. Willard Miller, Jr. Symmetries of differential equations. The hypergeometric and
Euler–Darboux equations // SIAM J. Math. Anal. 1973. Vol. 4,№2. P. 314 – 328.
XV. Публикации автора по теме монографии
183. Шемарулин В. Е. Высшие симметрии и законы сохранения уравнения одномерных
плоских изэнтропических течений политропного газа // Матем.
заметки. 1990. Т. 47. Вып. 3. С. 138 – 140.
184. Шемарулин В. Е. Контактные симметрии и законы сохранения некоторых
уравнений газовой динамики // Матем. заметки. 1990. Т. 48. Вып. 3. С. 154 –
156.
185. Шемарулин В. Е. Фундаментальная система решений уравнения одномерных
плоских изэнтропических течений политропного газа // Вопросы атомной
науки и техники. Сер. Математич. моделирование физич. процессов. 1990.
Вып. 1. С. 35 – 40.
186. Шемарулин В. Е. Базис контактных законов сохранения полиномиального
типа в одномерной газовой динамике // Вопросы атомной науки и техники.
Сер. Математич. моделирование физич. процессов. 1991. Вып. 1. С. 44 – 50.
187. Шемарулин В. Е. Базис контактных законов сохранения в одномерной газовой
динамике // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 4. С. 851 – 855. (English
translation // Soviet Physics Doklady. 1991. Vol. 36 (10). P. 680 – 682).
188. Шемарулин В. Е. Высшие законы сохранения для одномерного волнового
уравнения // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математич. моделирование
физич. процессов. 1992. Вып. 1. С. 11 – 17.
Стр.196
196
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
189. Шемарулин В. Е. Геометрическое исследование некоторых уравнений газовой
динамики. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МГУ, 1992.
190. Шемарулин В. Е. Операторы типа Дарбу в одномерной газовой динамике //
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математич. моделирование физич.
процессов. 1993. Вып. 1. С. 38 – 43.
191. Шемарулин В. Е. Контактные симметрии и законы сохранения некоторых
уравнений изэнтропической газовой динамики // Вопросы атомной науки и
техники. Сер. Математич. моделирование физич. процессов. 1993. Вып. 3.
С. 9 – 15.
192. Шемарулин В. Е. Структура алгебр высших симметрий и локальные эквивалентности
уравнений Эйлера–Дарбу // Докл. РАН. 1993. Т. 330, № 1. С.
24 – 27 (English translation // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. Vol. 47, № 3. P.
383 – 388).
193. Шемарулин В. Е. Базис локальных законов сохранения в одномерной газовой
динамике // Тезисы докладов Международной школы-семинара «Аналитические
методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа».
Арзамас-16, 1994. С. 122.
194. Shemarulin V. E. Higher symmetries and conservation laws of Euler–Darboux
equations // Geometry in Partial Differential Equations / Ed. by A. Prastaro
and Th. M. Rassias. Singapore: World Scientific, 1994. P. 389 – 422.
195. Shemarulin V. E. Higher symmetry algebra structures and local equivalences
of Euler–Darboux equations // Interplay between Differential Geometry and
Differential Equations / Ed. by V. V. Lychagin. American Mathematical Society
Translations. Series 2. Vol. 167. 1995. P. 217 – 243.
196. Shemarulin V. E. The local conservation laws basis for one-dimensional gas
dynamics, Hamiltonian symmetries, Euler–Darboux equation // Nonlinear
Mathematical Analysis and its Applications / Ed. by Th. M. Rassias. Florida,
USA: Hadronic Press Inc., 1998. P. 235 – 256.
XVI. Литература общего характера
197. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
1979.
198. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика.
Л.: Гидрометеоиздат, 1982.
199. Баутин С. П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального
газа. Новосибирск: Наука, 1997.
Стр.197
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
197
200. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука,
1973.
201. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука,
1974.
202. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред.
С. К. Годунова. М.: Наука, 1976.
203. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
204. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.
205. Какичев В. А., Ле Динь Зон. Система двух уравнений Эйлера–Дарбу. Деп.
рукоп. № 1679-В89. М.: ВИНИТИ, 1989.
206. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М.: Наука, 1976.
207. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. М.: Наука, 1968.
208. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные
уравнения математической физики. М.: Госуд. изд-во физ.-мат. лит., 1962.
209. Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа.
Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986.
210. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.
211. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. М.: Изд-во
иностран. лит., 1958.
212. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.
213. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного
порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
214. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985.
215. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука,
1971.
XVII. Литература к заключению
216. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях
теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах //
Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24. С. 852 – 864.
217. Бондаренко Ю. А., Воронин Б. Л., Шемарулин В. Е. и др. Описание систе
Стр.198
198
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
мы тестов для двумерных газодинамических методик и программ. Часть 2.
Тесты 8 – 15 // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математич. моделирование
физич. процессов. 1991. Вып. 2. С. 10 – 14.
218. Нерешенные задачи группового анализа. Часть 1 / Составитель С. И. Сенашов.
Красноярск: изд-во Красноярского госуд. ун-та, 1989.
219. Сенашов С. И. Законы сохранения и точное решение задачи Коши для уравнений
идеальной пластичности // Докл. РАН. 1995. Т. 345, № 5. С. 619 – 620.
220. Shemarulin V. E. A direct method for solving boundary-value problems //
International Conference on Secondary Calculus and Cohomological Physics.
Moscow, August, 1997. http:// www.emis.de/ proceddings/ SCCP97/.
221. Шемарулин В. Е. Прямой метод решения краевых задач // Докл. РАН. 1999.
Т. 368, № 2. С. 168 – 170.
222. Шемарулин В. Е. О нелокальном операторе рекурсии и базисе полиномиальных
решений для уравнения фильтрации однородной жидкости в
трещиновато-пористой среде // Тезисы докладов Международного семинара
«Супервычисления и математическое моделирование». Саров, 2000. С. 62 –
64.
223. Шемарулин В. Е. О нелокальном операторе рекурсии и базисе полиномиальных
решений для уравнения фильтрации однородной жидкости в
трещиновато-пористой среде // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математич.
моделирование физич. процессов. 2000. Вып. 4. С. 53 – 57.
Стр.199
Научное издание
Шемарулин Валерий Евгеньевич
Дифференциально-геометрические свойства
уравнений одномерной изэнтропической
газовой динамики
Монография
Текст печатается в авторской редакции
_____________________________________________
Подписано в печать 19.08.15 Формат 70×100/16
Уч.-изд. л. ~ 14,6
Тираж 200 экз.
Усл. печ. л. ~ 16,1
Заказ 1273-2015
Печать офсетная
_____________________________________________
Отпечатано в Издательско-полиграфическом
комплексе ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»
607188, г. Саров Нижегородской обл., ул. Силкина, 23
Стр.200