Оптимизация. Псевдообращение. Итерации и рекурсии (190,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

УДК 519.863 П433 Авторы: А.К. Погодаев, С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов, А.С. Сысоев Рецензенты: кафедра «Информационные системы и защита информации» Тамбовского государственного технического университета (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Громов Ю.Ю.); Рубан А.И., д-р техн. наук, проф., заслуженный деятель науки РФ, зав. кафедрой информатики Института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета Погодаев, А.К. П433 Оптимизация. Псевдообращение. Итерации и рекурсии [Текст]: учебное пособие / А.К. Погодаев, С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов, А.С. Сысоев. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. – 193 с. ISBN 978-5-88247-741-6 В пособии систематически описаны элементы теории математического программирования, определение, примеры, свойства и алгоритмы псевдообращения, а также постановка и решение нелинейной задачи о наименьших квадратах, что приводит к рекуррентноитерационным алгоритмам. Предназначено для студентов направлений, получающих углублённую математическую подготовку, и связано с решением широкого круга задач. Включённый в пособие материал будет полезен также инженерам, аспирантам, научным работникам, применяющим в расчётах математические методы; для них пособие может служить и в качестве справочника. В доступной для начинающих форме изложены важнейшие, наиболее часто используемые определения, свойства и примеры задач оптимизации, удобные в вычислительном отношении, пригодные для непосредственной реализации алгоритмы. Рекомендовано УМС ЛГТУ в качестве учебного пособия для бакалавров, обучающихся по направлению подготовки ВПО 01.03.04 «Прикладная математика», магистров по направлениям 01.04.04 «Прикладная математика», 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника». УДК 519.863 П433 ISBN 978-5-88247-741-6 ○ ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2015 ○ Погодаев А.К., Блюмин С.Л., Миловидов С.П., Сысоев А.С., 2015 c c

Стр.3

Оглавление Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава I. Основы оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 1. Задачи математического программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 2. Безусловная оптимизация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 § 3. Классическая задача математического программирования. . . . . . . . 19 § 4. Нелинейное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 5. Пример численного решения задачи многомерной нелинейной оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Глава II. Алгоритмы псевдообращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 § 6. Определение псевдообратной матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 § 7. Свойства псевдообратных матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 § 8. Рекуррентные алгоритмы псевдообращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 § 9. Примеры нахождения псевдообратных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 § 10.Системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов . . 89 Глава III. Итерации и рекурсии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 § 11.Общая классификация алгоритмов оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 § 12.Нелинейная оптимизация: итерационные процедуры . . . . . . . . . . . . . 123 § 13.Линейный метод наименьших квадратов: рекуррентные процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 § 14.Нелинейный метод наименьших квадратов: рекуррентно-итерационные процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Задания и упражнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3

Стр.4

Введение Многие практические задачи различных сфер человеческой деятельности связаны с проблемами определения наилучшего, оптимального варианта решения. Таковы, например, задачи выбора оптимальной производственной программы предприятия, задача оптимального распределения ресурсов, транспортные задачи и так далее. Для решения задач такого рода в математической науке созданы и стремительно развиваются оптимизационные процедуры. Существует огромное количество работ, посвящённых различным сторонам математического программирования и теории оптимизации, прикладным аспектам, методам численного решения. Изучение методов оптимизации становится необходимым для практической работы специалиста любой области – будь то экономика или техника. Название пособия как бы разделяет его на три основные части: введение в понятия оптимизации, понятие и алгоритмы псевдообращения матриц и рекуррентно-итерационные процедуры решения задач о наименьших квадратах. В первой главе отражается стремление дать читателю развернутое, чёткое и логически связанное представление об основных понятиях теории оптимизации. Она начинается с постановки задачи оптимизации и подробно расcматривает решение её в линейном виде (задача линейного программирования). Излагаются известные классические методы отыскивания экстремумов дифференцируемых функций. Переход к задаче нелинейного программирования (нелинейной оптимизации) показывает, что линейная задача является частным случаем нелинейной. Основные теоремы доказываются с помощью теоремы Куна-Таккера. Усвоение материала облегчается последовательным применением множителей Лагранжа и их содержательной интерпретацией. 4

Стр.5