РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ИНСТИТУТ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ
Ефремов Александр Петрович
ИССЛЕДОВАНИЕ КВАТЕРНИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ И ИХ ВЗАИМОСВЯЗИ
С СИСТЕМАМИ ОТСЧЕТА И ФИЗИЧЕСКИМИ ПОЛЯМИ
Монография
Москва 2005
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ: КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Глава 1. Предварительные математические сведения
1.1. Комплексные числа
1.2. Кватернионы
Глава 2. Кватернионный базис
2.1. Преобразования кватернионных единиц
Тензорная форма таблицы умножения кватернионов
Форм-инвариантность правила умножения
Связь матриц спинорного и векторного преобразований
Некоторые алгебраические свойства матриц векторного преобразования
2.2. Кватернионный базис
Кватернионный базис и его действительные вращения
Собственные функции векторных кватернионных единиц
Примеры собственных функций
Алгебраические свойства собственных функций
Собственные функции как проекторы
Векторы-кватернионы, их проекции и форм-инвариантность
Дифференцирование Q-базиса и кватернионная связность
Локализация параметров R-вращений
Q-базис как репер Френе-Серре
Глава 3. Векторные кватернионные пространства
3.1. Касательное Q-пространство
Дифференцируемые многообразия и касательные пространства
Кватернионные касательные пространства
Примеры построения касательных Q-пространств
3.2. Трехмерное Q-пространство
Собственно кватернионные пространства
Кватернионная метрика
3.3. Дифференциальная структура Q-пространств
«Внутренний» анализ аффинных свойств Q-пространства
«Внешний» анализ свойств Q-пространства
Дифференциальные уравнения структуры
3.4. Схема классификации кватернионных пространств
Классификация Q-пространств «по неметричности»
Классификация Q-пространств «по аффинным характеристикам»
Обсуждение понятия и классификации Q-пространств
3.5. Представление матриц вращения коэффициентами Ламе
Представление поворотов Q-триады лифтами Ламе
Преобразование римановой кривизны при поворотах Q-триады
ЧАСТЬ ВТОРАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В ФИЗИКЕ
Глава 4. Уравнения механики Ньютона в кватернионном базисе
4.1. Произвольно вращающиеся системы отсчета
2
4
9
5
14
21
21
21
22
25
27
28
28
29
32
34
37
39
41
43
46
51
51
51
52
53
55
55
57
58
59
62
63
66
66
68
69
71
71
74
75
75
Стр.2
Q-пространство вращающихся триад и уравнения динамики Ньютона
4.2. Уравнения Ньютона в следящем репере
Определения и общий вид уравнений
Свободная частица в следящем репере
Следящий репер: частица со связью в поле постоянной силы
Следящий репер: частица в поле центральной силы
Вычисление «сил инерции»
Вращающийся осциллятор
Маятник Фуко
Глава 5. Кватернионные релятивистские системы отсчета
5.1. Бикватернионы и бикватернионные векторы
Элементы алгебры бикватернионов
Форм-инвариантность бикватернионных чисел
Специальные группы инвариантности BQ-чисел
5.2. Кватернионная теория относительности
Пространственно-временной BQ-вектор
Эффекты СТО и диаграммы скоростей
5.3. Неинерциальные релятивистские системы отсчета
Гиперболическое движение
Релятивистское движение по окружности
Прецессия Томаса
5.4.Новые примеры и эффекты релятивистского движения
Релятивистский сдвиг спутников планет
Способы измерения времени
О парадоксе часов и времени жизни π-мезона
Релятивистский гармонический осциллятор
5.5.Вариант уравнений кватернионной релятивистской динамики
BQ-импульс частицы
Соотношение ускорений 1
Соотношение ускорений 2
Уравнение релятивистской задачи двух тел
5.6.Некоторые задачи релятивистской динамики
Движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле
Движение частицы в поле центральной силы
Глава 6. Физические проявления кватернионных структур
6.1.Q-пространство и уравнение Паули
6.2. Гравитационные поля в поляризованных Q-пространствах
Уравнения структуры пространства-времени с трехмерным Q-сечением
Уравнения гравитационного поля в квазиримановом Q-пространстве
Уравнения гравитационного поля в пространстве с Q-неметричностью
6.3. Пространства с Q-неметричностью и поле Янга-Миллса
Кривизна Q-неметричности и напряженность поля Янга-Миллса
6.4. Функции-кватернионы и уравнения электродинамики
Кватернионные условия Фютера
Шестимерный аналог уравнений электродинамики
Принцип соответствия 6D и 4D уравнений
О решениях уравнений 6D-аналога электродинамики
Заключение
Список литературы
3
75
77
77
79
81
82
83
84
86
88
88
88
90
93
95
95
97
103
103
109
113
120
120
122
124
128
136
136
136
143
145
147
147
148
158
158
161
162
165
175
186
186
193
193
195
198
200
202
206
Стр.3
ВВЕДЕНИЕ
Создание алгебры кватернионных чисел заслуженно связывается
с именем Уильяма Роуэна Гамильтона, который в 1843 г.
окончательно сформулировал правило умножения четырех
базисных единиц алгебры1. Известно, однако, что некоторые
соотношения кватернионной алгебры рассматривались еще в
XVIII веке Л.Эйлером и К.Гауссом [2], [3], а в 1840 г.
О.Родригес, исследуя кинематику твердого тела, записал выражение,
сходное с правилом умножения кватернионов [4],
[5]. Во всех случаях эти ученые приходили к кватернионным
соотношениям, основываясь на модельных структурах механики
и трехмерной геометрии.
У.Гамильтон был, видимо, первым, кто поставил перед собой
задачу построения именно математической структуры – столь
же самосогласованной и завершенной, как и алгебра комплексных
чисел, но – не на двумерной поверхности, а в некотором
пространстве. Как известно, эта задача была успешно
решена, но результат вышел весьма неожиданным. Умножение
чисел новой алгебры оказалось некоммутативным, ее базисные
единицы были связаны между собой серией нелинейных
соотношений. Более того, число единиц оказалось равным
четырем, то есть размерность искомого пространства на единицу
превысила размерность привычного по опыту физического
пространства конфигураций. Наконец, возникла дилемма
определения кватернионных коэффициентов: ими могли
быть как действительные, так и комплексные числа, хотя последние,
вообще говоря, алгебру несколько ухудшали (не всегда
определялась норма числа, пропадала общность деления).
Родившийся новый математический объект – кватернионная
алгебра – вызвал большой энтузиазм и не меньшую озабоченность,
прежде всего, у его автора. В главных работах
1 Обзор истории создания и развития кватернионного исчисления приведен
в работе [1].
4
Стр.4
У.Гамильтона [6], [7] с очевидностью прослеживаются две цели:
-
разобраться в геометрической (если угодно – в физической,
в те времена – в механической) сущности кватернионов,
-
передать читателям, ученикам представление (не исключено,
что интуитивное) об их безусловной важности
для последующего развития и эксплуатации точных
наук.
Ни одна из этих целей автором, да и его учениками достигнута
не была, несмотря на то, что Гамильтон остаток своей жизни,
по сути, посвятил изучению и пропаганде кватернионов.2
Объект оказался слишком сложным для своего времени. Несмотря
на усилия последователей Гамильтона, в первую очередь,
П.Г.Тэта [8] и даже на тот факт, что именно на языке
кватернионов Дж.Максвелл впервые записал свои уравнения
электродинамики [9] и понимал это исчисление как некую
«универсальную арифметику» [10], в математике и физике
весьма скоро возобладала более практичная, но иная в своей
основе и несколько эклектичная векторная алгебра Д.Гиббса и
О.Хэвисайда; кватернионное исчисление отодвинулось на
второй план.
Не слишком многого удалось достичь и в понимании геометрической
сущности кватернионов, хотя то, что в этой математике
лежит на поверхности, было замечено сразу: «специальные
кватернионы» – «мнимые» кватернионные единицы – уже
Гамильтоном однозначно связывались с триадой направляющих
векторов декартовой системы координат. Собственно, это
было и все. Даже ставшая довольно быстро знаменитой кватернионная
методика расчета векторных поворотов явилась,
всего лишь технологическим инструментом, действующим,
скорее, загадочно (потому что так получается!), нежели де2
Как и Эйнштейн – почти 40 лет после создания им теории относительности
безуспешно пытался создать на ее базе единую теорию поля.
5
Стр.5
тально проанализированным. Да и в дальнейшем кватернионы
использовались более как математический аппарат, удобный
(а иногда и искусственно подгоняемый) для решения математических
и физических задач.
Анализ литературных источников создает впечатление, что
исследование собственно математики кватернионов как таковой,
в том числе ассоциированной геометрии, в конце XIX века,
по существу, остановилось. Значимыми этапами этого периода
явились работы К.Клиффорда (включившие изучение
комплексных кватернионов, или бикватернионов; см., например,
[11]), а также доказательство теорем ФробениусаГурвица
(подробное изложение дано в работе [12]) об исключительности
– в смысле «хорошего» определения действий
над числами – алгебры кватернионных чисел и следующей по
размерности алгебры октав.
Дальнейшее исследование кватернионов не было отмечено
сколь либо значимыми событиями, несмотря на то, что интерес
к ним определенно сохранялся. В начале XX века в Европе
даже было создано «Международное общество содействия
изучению кватернионов». Оно просуществовало до начала
первой мировой войны, после чего по известным причинам
распалось. Последовавшее вскоре бурное развитие экспериментальной
физики потребовало привлечения множества различных
математических аппаратов для описания наблюдаемых
явлений. Целенаправленная разработка методов описания
распространения полей, квантовых и статистических явлений
не способствовала углублению понимания «старого» и «неудобного»
аппарата кватернионной алгебры. Даже Э.Картан,
один из основоположников теории подвижного репера, оставил
без внимания отмеченную еще Гамильтоном возможность
использования триады «специальных кватернионов» в качестве
пространственной составляющей системы отсчета.
В начале XX века публикации, связанные с кватернионами,
носят, в основном прикладной характер. Известны работы по
теории винтов А.Котельникова [13] и Э.Штуди [14]; рядом
6
Стр.6