Теорема Пифагора: a2 +b2 = c2, здесь a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза. <...> Теория и задачи Для доказательства первого равенства достаточно записать площадь треугольника ABC двумя способами: S∆ABC = 1 2hcc = 1 2ab =⇒ hc = ab c . <...> • Медианы треугольника пересекаются в однойточке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины. <...> • Биссектрисы треугольника пересекаются в однойточке, и эта точка есть центр вписаннойокружности. <...> В этом случае радиус описаннойокружности равен медиане, проведённойк гипотенузе, и половине гипотенузы. <...> Пусть катет BC =15, а проекция катета AC на гипотенузу AB равна 16. <...> Поскольку диаметр окружности, описаннойоколо прямоугольного треугольника, равен гипотенузе, нам надо найти проекцию катета BC на гипотенузу. <...> Она касается гипотенузы AB в точке M, причём AM =12 и BM =8. <...> Для того, чтобы найти площадь треугольника AOB, нам надо найти его высоту OM, которая равна радиусу вписаннойокружности. <...> Теория и задачи По свойству касательных, проведённых из одной точки, AP = AM =12 и Так как в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, то PO = 1 2QR = QO =5x. <...> Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна 2√13 см, а длина медианы большего острого угла равна 5 см. <...> Средние линии прямоугольного треугольника, параллельные катетам, равны 5 см и 12 см. Найдите высоту треугольника h, опущенную из вершины прямого угла. <...> В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, CM – медиана треугольника. <...> Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. <...> В прямоугольном треугольнике ABC AC =3,BC =4. <...> В треугольнике ABC известны стороны AC =2, AB =3, BC =4. <...> Чему равно расстояние от вершины прямого угла до центра вписаннойв этот треугольник окружности? <...> Пусть r – радиус окружности, вписаннойв прямоугольный треугольник с ка. тетами a, b и гипотенузой c. <...> 12 Теорема синусов: Теорема косинусов: sinα = b a sinβ = c sin γ =2R. <...> Здесь и далее a <...>
Геометрия._Основной_курс_с_решениями_и_указаниями.pdf
ББКУДК 373.3:51
22.1я729
З-80
Золотарёва Н. Д.
З-80 Геометрия. Основной курс с решениями и указаниями :
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова.
— 3-е изд., электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2022. —
307 с. —(ВМК МГУ—школе). — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-958-9
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
Единого государственного экзамена преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению
как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
ББКУДК 373.3:51
22.1я729
Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия.
Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ;
под редакцией М. В. Федотова. — 2-е изд. —М. : Лаборатория знаний,
2021. — 302 с. : ил. —(ВМК МГУ—школе).
ISBN 978-5-00101-345-7
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-958-9
© Золотарёва Н. Д., Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2018
© Лаборатория знаний, 2018
Стр.3
Оглавление
От редактора ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Предисловие ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Часть I. Теория и задачи
Планиметрия .
. .
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
7
7
7
7
1.2. Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . . 11
1.3. Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Подобие треугольников. Теорема Фалеса . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Площади . . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 23
2. Окружности .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 28
2.1. Углы в окружностях. Касание окружности и прямой. . . . . 28
2.2. Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 36
3. Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1. Параллелограммы .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 40
3.2. Трапеции .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 43
3.3. Общие четырехугольники. Правильные многоугольники . . . 47
4. Координаты и векторы . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 51
4.1. Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 51
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 58
. .
Стереометрия .
Введение в стереометрию .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 58
5. Призма ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 62
5.1. Прямая призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2. Наклонная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6. Пирамида .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 68
6.1. Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2. Тетраэдр .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 70
6.3. Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 74
7. Тела вращения .
7.1. Цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.2. Конус . .
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 76
7.3. Шар . .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 79
8. Координаты и векторы . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 83
8.1. Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 83
Часть II. Указания и решения
Планиметрия .
. .
87
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 87
1. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.1. Прямоугольные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2. Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов . . . . . . . 99
1.3. Медиана, биссектриса, высота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.4. Подобие треугольников. Теорема Фалеса . . . . . . . . . . . . 122
1.5. Площади . . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 135
Стр.4
4
2. Окружности . ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 150
2.1. Углы в окружностях. Касание окружности и прямой. . . . . 150
2.2. Свойства касательных, хорд, секущих . . . . . . . . . . . . . . 161
2.3. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 171
3. Многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.1. Параллелограммы . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 185
3.2. Трапеции .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 194
3.3. Общие четырёхугольники. Правильные многоугольники . . . 206
4. Координаты и векторы . . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 217
4.1. Декартовы координаты и векторы на плоскости . . . . . . . . 217
Стереометрия .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 224
5. Призма .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 224
5.1. Прямая призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2. Наклонная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
. . ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 241
6. Пирамида .
6.1. Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.2. Тетраэдр .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 247
6.3. Произвольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7. Тела вращения ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 261
7.1. Цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.2. Конус . ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 267
7.3. Шар . . ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 272
8. Координаты и векторы . . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 280
8.1. Декартовы координаты и векторы в пространстве . . . . . . . 280
Задачи ЕГЭ последних лет ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 287
Варианты ДВИ МГУ последних лет . ... .. .. .. ... .. .. .. 289
Ответы ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 296
Литература .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 302
Стр.5